2026-2027学年广西南宁市新民中学高三上学期开学质量检测数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.5 B. C. D.12.已知向量满足，，则A.4 B.3 C.2 D.03.为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（）A.估计样本数据的中位数为75分 B.样本中得分低于80分的人数大约为35人C.估计样本数据的众数为70分 D.4.已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（）A. B. C. D.5.已知为奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.6.已知，，，则（）A. B.C. D.7.若圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（）A. B. C. D.8.已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.在上单调递增 D.的一个零点为10.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（）A.抛物线的准线方程为B.若，则C.的最大值为D.为钝角11.已知，，则下列结论正确的是（）A.当时，函数在上单调递减B.当时，函数的最小值为2C.若在处取得极值，则D.若对任意，恒成立，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知各项都不为的等比数列满足，则其公比________.13.直线与圆交于A、B两点，若，则______．14.如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.16.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值．17.已知椭圆的短轴长为2，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点．（1）证明：平面；（2）若，平面平面，求二面角的正弦值．19.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲同学第局赢的概率为（1）求乙同学第局赢的概率；（2）求；（3）若存在，使成立，求的最小值.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.5 B. C. D.1答案：B解析：思路：利用复数除法求出，再利用复数模的意义求解.解答过程：由，得，所以.故选：B2.已知向量满足，，则A.4 B.3 C.2 D.0答案：B解析：思路：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.解答过程：因为.3.为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（）A.估计样本数据的中位数为75分 B.样本中得分低于80分的人数大约为35人C.估计样本数据的众数为70分 D.答案：A解析：解答过程：由于，解得，故D错误；由于前三组累计频率为，前四组累计频率为，故中位数在第四组内，设中位数为，则，解得，故A正确；得分低于80分的频率为，故样本中低于80分的人数大约为人，故B错误；由直方图知，估计样本数据的众数值为，故C错误．4.已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由双曲线方程可知一条渐近线方程为，代入点可得，即，所以双曲线的离心率为.5.已知为奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：∵当时，，∴.∵是奇函数，满足，∴.6.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由对数的性质可知，由三角函数的性质可知，由指数的运算可知，即可得答案.解答过程：因为，且，，综上，.7.若圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用圆台的结构特征及相关公式计算．解答过程：圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为，则下底面半径为，由圆台的母线与下底面成角，可知圆台的高为，则母线长为，则，，则．8.已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可.解答过程：显然该函数的定义域为全体正实数，由，设，，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，则有，问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示：由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点，即函数有两个零点，所以实数a的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.在上单调递增 D.的一个零点为答案：ABC解析：思路：选项A，利用周期公式计算；选项B，代入看是否满足对称轴方程；选项C，通过解不等式确定的范围，结合正弦函数单调性判断；选项D，先求出的表达式，再代入值判断是否为零点.解答过程：选项A，的最小正周期为，所以A正确；选项B，因为，所以的图象关于直线对称，所以B正确；选项C，由，可得，则在上单调递增，所以C正确；选项D，，，所以D不正确.故选：ABC.10.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（）A.抛物线的准线方程为B.若，则C.的最大值为D.为钝角答案：BD解析：思路：求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求解判断CD.解答过程：如图：对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误；对于B，，而，则，B正确；显然直线不垂直于轴，设其方程为，由消去得，则，，，对于C，，当且仅当时取等号，C错误；对于D，，则，结合，则为钝角，D正确.11.已知，，则下列结论正确的是（）A.当时，函数在上单调递减B.当时，函数的最小值为2C.若在处取得极值，则D.若对任意，恒成立，则的取值范围是答案：BCD解析：思路：先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性、极值、最值，结合恒成立问题分离参数得到恒成立，逐一判断各选项即可解答过程：对于A项，，当时，令，得到，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故A错误；对于B项，，令，得到，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，函数的最小值为，故B正确；对于C项，若在处取得极值，则，即，验证：时，两侧导数符号改变，确为极值点，故C正确；对于D项，，即恒成立，令，则，时，，故，在上单调递增，所以，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知各项都不为的等比数列满足，则其公比________.答案：##解析：思路：根据等比数列的基本量计算解方程即得公比的值.解答过程：由，得，因，则得,解得故答案为.13.直线与圆交于A、B两点，若，则______．答案：或解析：思路：先计算圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得所求值.解答过程：由圆，得圆心，半径.所以圆心到直线的距离.又因为，所以，即，化简得，解得或.故或.14.如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有______．答案：72解析：思路：对进行分类，再利用分步计数原理，进行求解.解答过程：分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有种；②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有种．故不同的涂色方法有种．故72四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用余弦定理求出.（2）利用正弦定理角化边，再利用已知求出三角形面积.（1）在中，由及余弦定理得，而，所以.（2）由，得，而，且，则，解得，所以的面积.16.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程.（2）分析函数的单调性，可得函数的最小值.（1）因为：，所以切点坐标为：，又，，即为所求切线的斜率.所以切线方程为：，化简得：（2），（）由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以函数在区间上的极小值为，也是最小值.17.已知椭圆的短轴长为2，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程；（2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积.（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得，将点代入，得，所以椭圆C的标准方程为.（2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为，联立椭圆方程，得，，设，，所以，，则，点到直线的距离，故.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点．（1）证明：平面；（2）若，平面平面，求二面角的正弦值．答案：（1）取的中点为，连接，又为的中点，则且，又正方形中，为的中点，则且，所以且，所以四边形为平行四边形，故，又因为平面，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形可证得结论；（2）取的中点为，的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量法求二面角的正弦值.（1）略.（2）取的中点为，的中点为，连接，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又四边形为正方形，所以.以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，则，所以，设平面的法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，，令，得，所以平面的一个法向量为，所以，设二面角的大小为，则，所以二面角的正弦值为．19.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲同学第局赢的概率为（1）求乙同学第局赢的概率；（2）求；（3）若存在，使成立，求的最小值.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）由全概率公式得到甲同学第局赢的概率，从