2026-2027学年贵州省遵义市航天高级中学高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题，的否定是（）A.， B.，C.， D.，2.已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（）A. B. C. D.3.若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（）A. B. C. D.4.已知集合，，则（）A. B.C. D.5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.6.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（）A.4 B.6 C.9 D.187.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列函数最小值为2的是（）A.， B.，C. D.10.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则下列结论正确的有（）A.的图象关于点中心对称B.是以周期为4的函数C.D.11.若正实数，满足，则（）A. B.有序数对有4个C.的最大值为 D.的最小值为24三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象关于点对称，则_______________．13.已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围为____．14.对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式.（2）已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值.16.已知数列是等差数列，且，，数列满足，.（1）求的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）若数列满足，求的前项和.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面.（1）证明：；（2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数．（1）讨论的单调性与极值点；（2）当时，（i）证明：曲线关于中心对称；（ii）若过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围．19.已知，．（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若在上有极值点．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题，的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：解答过程：存在量词命题的否定：（1）将存在量词改为全称量词；（2）取值范围保持不变，仍为；（3）否定结论：的否定为，综上，原命题的否定为，.2.已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案.解答过程：根据题意，或，是的充分不必要条件，所以且，则.故选：D3.若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误，由偶函数的性质验证C，D选项选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确，选项D：​，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误.4.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先分别求解分式不等式得到集合，再求出集合在实数集上的补集，最后逐一判断选项中集合的关系与运算是否正确解答过程：集合：对不等式移项通分，得，等价于，解得或，因此，集合：对不等式移项通分，得，等价于且，解得，因此，所以，选项A：不含元素，含元素，故，A错误；选项B：中所有元素均属于，故，B正确；选项C：集合均有元素，故，C错误；选项D：，D错误.5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：分，两种情况，结合复合函数单调性知识可得答案.解答过程：当时，,因此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则的单调递减区间为，单调递增区间为，可得在上单调递增；当时，,因此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则的单调递减区间为，单调递增区间为．若在上单调递增，有．综上可得．故选：A.6.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（）A.4 B.6 C.9 D.18答案：C解析：思路：利用二次函数值域求出的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程实根关系列式求解.解答过程：由函数的值域为，得，即，不等式，由不等式的解集为，得是方程的两个实根，因此，解得，所以实数的值为9.7.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用函数性质转化不等式求解的取值范围即可.解答过程：函数的定义域为，定义域关于原点对称，，故为奇函数，对求导得，由基本不等式得，当且仅当时取等号，又，因此，故在上为单调递增函数，因为等价于，由奇函数性质得，因为在上为单调递增函数，所以，所以，所以实数的取值范围是.8.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小.解答过程：已知，同时取对数得：，，又，且函数在区间单调递增，因此，可得：，即，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列函数最小值为2的是（）A.， B.，C. D.答案：BD解析：思路：可通过函数单调性、指数函数性质、绝对值的非负性分别求解各选项函数的最小值，判断是否为2解答过程：

选项A：函数中，和在时均为增函数，故该函数在上单调递增，最小值为，不符合要求；选项B：，时，，则，故，当时取到最小值2，符合要求；选项C：，指数函数为单调递减函数，故，最大值为1，不可能取到最小值2，不符合要求；选项D：由绝对值的非负性得，当时，此时，故函数最小值为2，符合要求.10.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则下列结论正确的有（）A.的图象关于点中心对称B.是以周期为4的函数C.D.答案：ABD解析：思路：根据奇偶函数的定义可判断AB，利用赋值法结合对数运算判断C，根据周期性判断D.解答过程：由为奇函数得，即，所以的图象关于点中心对称，故A正确；因为为偶函数得，用替换可得，在中将替换为，得，进而有，则，所以的周期为4，故B正确；在中令可得，所以，，，由，即，解得，进而，所以当时，，且，所以，其中，所以，所以.在中令可得，又，所以，所以，故D正确.11.若正实数，满足，则（）A. B.有序数对有4个C.的最大值为 D.的最小值为24答案：ABD解析：思路：A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值.解答过程：由正实数，满足，得.对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确；对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确；对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误；对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象关于点对称，则_______________．答案：2解析：解答过程：，关于点对称，由题意可知函数关于点对称，所以解得.13.已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围为____．答案：解析：思路：由题函数是单调减函数；则，解得a的取值范围．解答过程：对任意x1≠x2，都有成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则，解得.即答案为.方法提示：本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．14.对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______.答案：解析：思路：根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可.解答过程：因为函数与都是实数集上的增函数，所以函数在R上单调递增，且，当时，，所以当时，，当时，，由，即当时，恒成立，即当时，，即恒成立，设，则，当且仅当，即，即时，等号成立，.所以实数的取值范围为.故答案为.方法提示：关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式.（2）已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值.答案：（1）（2）1解析：思路：（1）根据函数的奇偶性对解析式进行求解即可；（2）由题意，化简后，使用换元法进行求解即可.（1）当时，，当时，，∴又∵为奇函数，∴当时，，又∵是定义域在上的奇函数，∴，综上所述，函数的解析式为.（2）当时，，，∴令，当时，，设，，∵，∴由二次函数知识知，当时，最小值为，令，解得（舍）或，∴当时，函数（其中）的最小值为，则实数的值为.16.已知数列是等差数列，且，，数列满足，.（1）求的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）若数列满足，求的前项和.答案：（1），由得，即，又，所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列.（2）解析：思路：（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列；（2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得.（1）设等差数列的公差为，由，，得，解得.所以.（2）由（1）可得，所以.所以.所以.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面.（1）证明：；（2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明：连接，是菱形，是对角线，，又平面平面，，又平面平面，平面，又平面.（2）解析：思路：（1）利用菱形对角线互相垂直以及线面垂直的性质，通过线面垂直的判定定理证明平面，进而得到；（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及向量，再根据线面角的向量公式（其中为直线的方向向量，为平面的法向量，为直线与平面所成角）求出线面角的正弦值。（1）略（2）取中点，连接，则，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，令，则，，设平面的法向量为，由，得，得，.18.已知函数．（1）讨论的单调性与极值点；（2）当时，（i）证明：曲线关于中心对称；（ii）若过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围．答案：（1）当时，在上单调递增，无极值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点（2）（i）证明：当时,，故.因为，所以曲线关于中心对称.（ii）解析：思路：（1）求出函数导数，分类讨论求出函数单调性及极值点；（2）（i）根据函数图象中心对称的定义式证明即可；（ii）利用导数写出函数切线方程，根据过点有三条切线，代入坐标，则新的方程有三个解，构造函数，求函数单调性和极值点，推断有三个解的条件.（1），当时，，在上单调递增，无极值点；当时，由可得或，所以在单调递增，由可得，所以在单调递减，故是极大值点，是极小值点；当时，由可得或，所以在单调递增，由可得，所以在单调递减，故是极大值点，是极小值点.综上，当时，在上单调递增，无极值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点.（2）（i）略（ii），设切点坐标为，切线的斜率为.则切线方程为，将点代入并整理得，记，，令，得或，当或时，单调递减，当时，单调递增，所以时，的极大值为，当时，的极小值为，当时，，时，，由题意得，直线与曲线有三个不同的交点，所以.19.已知，．（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若在上有极值点．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．答案：（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）（ⅰ）；（ⅱ）此时在上有唯一零点．在上单调递增，故当时，，即；当时，，即，故在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点.方法一：由上分析，，又，故；方法二：因为，由，得，则，令，则（），所以在上递减，所以，即，所以.解析：思路：（1）先求出函数的定义域，再求导后讨论导数的正负即可；（2）（ⅰ）将问题转化为导函数的