2026-2027学年河北省石家庄市石家庄二中润德学校高三上学期9月考数学试卷（含答案）

/数学一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.C. D.2.已知为纯虚数，且的实部为，则（）A. B.C. D.3.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B. C. D.4.已知函数在处有极大值，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.65.已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.6.在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（）A.1 B.3 C.5 D.77.若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.某生物公司研发的抗体的半衰期（单位：天）服从正态分布，则下列结论正确的是（）（参考数据：若，则，）A.的均值为45天 B.的方差为5C. D.10.已知，则（）A. B.C.， D.，11.已知，下面结论正确的是（）A.若，，且的最小值为，则B.存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C.若在上恰有7个零点，则的取值范围是D.若在上单调递增，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数与的图象关于直线对称，则______．13.已知椭圆及点，，点是上与，不共线的动点，则周长的最大值为____________．14.已知，，且，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值.16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥．（1）证明：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．18.设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，证明.19.口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分．（1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为，（i）求；（ii）求；（2）若共取球次，表示次取球中取到红球的次数，记．求证：．

数学一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：．2.已知为纯虚数，且的实部为，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：设且，则，所以，解得，则．3.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.解答过程：由题意，由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；对C选项，在中，，即该函数为奇函数，，与图象相符，故C正确.4.已知函数在处有极大值，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.6答案：D解析：解答过程：由可得，令，解得和，若，则，函数在上单调递增，无极值点；若，则和均为负数，极值点不可能为2，不符合题意；当时，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故为函数的极大值点，故，则.5.已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用底面直角三角形的性质求出底面外接圆半径，结合直棱柱高度确定球心位置及球心到底面的距离，根据求出球半径，进而计算表面积。解答过程：由，知为直角三角形，斜边为其外接圆直径.计算，故底面外接圆半径.直三棱柱的高，球心位于上下底面外心连线的中点，故球心到底面的距离.设球半径为，则.球的表面积.6.在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（）A.1 B.3 C.5 D.7答案：D解析：思路：二项式定理结合组合数的性质进行求解.解答过程：因为二项式的展开式中项的系数为，所以的展开式中含项的系数为.所以,展开式中前2025项均含56因子能被8整除，余7，所以除以8余数是7.7.若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值.解答过程：如下图所示：直线的斜率为，倾斜角为，故，圆的标准方程为，圆心为，半径为，易知直线交轴于点，所以，，由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，由圆的几何性质可知，且，则，故.故选：A.8.已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可得，，根据两角差正切公式可得，结合根据在上单调递增即可求解.解答过程：由题意得，，化简得，，所以，可得，根据在上单调递增，故，解得，所以.故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.某生物公司研发的抗体的半衰期（单位：天）服从正态分布，则下列结论正确的是（）（参考数据：若，则，）A.的均值为45天 B.的方差为5C. D.答案：ACD解析：解答过程：选项A，根据正态分布，可知均值为天，正确.选项B，根据正态分布，可知方差为，错误.选项C，,正确.选项D，因为，所以.又因为，所以，正确.10.已知，则（）A. B.C.， D.，答案：AC解析：思路：根据正弦型三角函数的周期性、对称性、值域及导数符号判断，需结合三角函数基本性质逐一验证判断可得.解答过程：选项A：函数的最小正周期，因此恒成立，正确.选项B：代入计算得，而，所以与不恒等，如时，B错误.选项C：当时，，此时，因此，显然恒成立，C正确.选项D：求导得，当时，，，即，因此不恒成立，D错误.11.已知，下面结论正确的是（）A.若，，且的最小值为，则B.存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C.若在上恰有7个零点，则的取值范围是D.若在上单调递增，则的取值范围是答案：BD解析：思路：先对原函数利用余弦的二倍角公式和诱导公式进行化简得到，利用正弦函数的性质求解周期判断A；先对函数进行平移，得到，然后再令，通过赋值求解出的值，然后结合条件给的范围判断B；利用正弦函数的性质结合给定条件建立不等式，求解参数判断C，可根据条件并结合正弦函数的单调性建立不等式求解参数范围判断D即可.解答过程：由已知得，对于A，若，，且的最小值为，而的最小值为，故，解得，故A错误，对于B，的图像向右平移个单位长度后得到的解析式为：，该图像要想关于y轴对称，则需满足，解得，当时，，故B正确；对于C，令，则，得到，解得，则当时，得到第个零点为，当时，得到第个零点为，因为函数在上恰有7个零点，所以，解得，故C错误，对于D，若函数在上单调递增，则，，而由正弦函数性质得在上单调递增，可得，解得，又因为，所以的取值范围是，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数与的图象关于直线对称，则______．答案：解析：思路：由函数的对称关系写出函数解析式.解答过程：由题意可知13.已知椭圆及点，，点是上与，不共线的动点，则周长的最大值为____________．答案：解析：思路：识别出点A为椭圆右焦点，利用椭圆定义将

转化为

，由三角形不等式得

，取等时

共线，结合固定边

得周长最大值.解答过程：由椭圆方程

，知

，故

.焦点为、，可见点

恰为右焦点

.设

为椭圆上一点，则椭圆定义有，而

​，所以.由三角形不等式，对任意点

，有，其中

，，故.因此，等号当且仅当

三点共线且

位于

与

之间时取得，所以的周长且最大值能达到.则周长的最大值为.14.已知，，且，则的最小值为______.答案：解析：思路：利用基本不等式求和的最小值.解答过程：因为，所以，所以.又，当且仅当即，时取“”.所以，即的最小值为11.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值.答案：（1）（）（2）解析：（1）由题可知，由（）可得（），所以的递增区间为（）．（2）由，得，因为，所以，若，则，不合题意若，则，不合题意所以，所以，所以．16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得．解答过程：（1），即：，由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦由（1）知，，所以由，得，整理得，即．又，所以，即，则．[方法二]正弦定理+方程思想由，得，代入，得，整理得，则．由，得，所以．[方法三]余弦定理令．由，得．将代入中，可得，即，解得或（舍去）．所以，从而．[方法四]射影定理因为，所以，由射影定理得，所以．方法提示：方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值；方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值；方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值；方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值；方法提示：本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥．（1）证明：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．答案：（1）证明：如图，取的中点，连接，

由三棱锥是正三棱锥，可得，

所以，

因为平面，所以平面，因为平面，所以，

因为在平行四边形中，

所以．（2）或解析：思路：（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可．（1）略（2）在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高，以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴，直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的正三角形，所以，设，则，所以，设平面的法向量，则，即，取，得，设平面的法向量，则，即，取，得，设平面与平面的夹角为，则，解得或，所以或．18.设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，证明.答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.解析：解答过程：试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线在点处的切线斜率为.从而可以写出切线方程为.令.解得切线与轴交点的横坐标.（Ⅱ）要证，需考虑通项，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出，求出初始条件当时，.当时，单独考虑，并放缩得，所以，综上可得对任意的，均有.试题解析：（Ⅰ）解：，曲线在点处的切线斜率为.从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标.（Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知.当时，.当时，因为，所以.综上可得对任意的，均有.考点：1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.19.口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分．（1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为，（i）求；（ii）求；（2）若共取球次，表示次取