2026-2027学年黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校高二上学期开学初考试数学试卷（含答案）

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.设，向量，，且，则（）A. B.1 C.2 D.43.某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（）A.27 B.28 C.29 D.304.为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（）A.127 B.136 C.133 D.1385.下表记录了上海某个月连续10天的空气质量指数（）：时间12345678910空气质量指数（）20282433313536383637则这些空气质量指数的分位数为（）A.35 B.35.5 C.36 D.376.已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，则，是异面直线B.若，，则C.若，，则D.若，，则7.已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（）A.若，则C与B相互对立B.若，则C.若事件A与B相互独立，则D.若事件A与B相互独立，则8.已知的内角的对边分别为，且，若，则的面积为（

）A. B. C. D.2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.某中学三个年级学生共人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有人，则下列说法正确的有（）A.该学校高一学生共人 B.志愿服务小组共有学生人C.志愿服务小组中高三学生共有人 D.某高三学生被选入志愿服务小组的概率为10.中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（）A. B.若且有唯一解，则C.若，则 D.若，则面积最大值为11.如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于P，B两点），若，且，则（）A.B.存在点，使得平面C.三棱锥的体积为D.异面直线与所成角的余弦值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若是纯虚数，则__________．13.已知向量，，则在方向上的投影向量为______.14.已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，且与的夹角为．（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．16.某学习小组有男同学3名，女同学2名，现从中随机选出2名同学去参加比赛.（1）求参赛的2名同学都是男同学的概率；（2）求参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学的概率.17.某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个?（2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数；（3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数.18.如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值．19.在中，内角所对的边分别是，且，．（1）求角；（2）若，求边上的角平分线长；（3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：先对复数进行分母实数化，化简得到实部和虚部，再根据对应点的坐标符号判断其在复平面的象限.解答过程：对复数的分子分母同乘，得，继续化简得，复数对应的点坐标为，该点位于第四象限.故选：D2.设，向量，，且，则（）A. B.1 C.2 D.4答案：C解析：解答过程：因为向量，，且，则，解得.3.某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（）A.27 B.28 C.29 D.30答案：B解析：思路：根据男生抽取人数求出抽取的比例，再利用分层抽样即可求解.解答过程：由抽取男生人数16人，所以抽取比例为，所以抽取人数为，故选：B.4.为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（）A.127 B.136 C.133 D.138答案：D解析：思路：根据中位数的定义结合频数分布直方图求解即可.解答过程：该班共有人，因为，所以中位数在区间内，设为，则，解得.故选：D.5.下表记录了上海某个月连续10天的空气质量指数（）：时间12345678910空气质量指数（）20282433313536383637则这些空气质量指数的分位数为（）A.35 B.35.5 C.36 D.37答案：C解析：思路：根据百分位数的概念计算.解答过程：空气质量指数的10个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，36，37，38，又，所以分位数是．故选：C．6.已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，则，是异面直线B.若，，则C.若，，则D.若，，则答案：D解析：解答过程：对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误；对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误；对于C，，，则或，故C错误；对于D，若，，则，故D正确.7.已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（）A.若，则C与B相互对立B.若，则C.若事件A与B相互独立，则D.若事件A与B相互独立，则答案：C解析：思路：根据对立事件的概念可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断CD.解答过程：对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，错误；对于B，若，则，错误；对于C，若事件A与B相互独立，则，则，正确；对于D，若事件A与B相互独立，则相互独立，则，错误.故选：C8.已知的内角的对边分别为，且，若，则的面积为（

）A. B. C. D.2答案：A解析：思路：由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解.解答过程：由正弦定理角化边得到：，即，所以，，，又，且，得，即，所以

.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.某中学三个年级学生共人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有人，则下列说法正确的有（）A.该学校高一学生共人 B.志愿服务小组共有学生人C.志愿服务小组中高三学生共有人 D.某高三学生被选入志愿服务小组的概率为答案：AC解析：思路：利用扇形图的特点和分层抽样的概念，即可判断.解答过程：对于A：由图可知，高三年级学生人数占总人数的，高二年级学生人数占总人数的，所以高一年级学生人数占总人数的，所以高一学生共人，故A正确；对于B：因为，所以志愿服务小组共有学生人，故B错误；对于C：因为志愿服务小组中高三学生共有人，故C正确；对于D：高三学生共人，志愿服务小组中高三学生共有人，所以某高三学生被选入志愿服务小组的概率为，故D错误；故选：AC.10.中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（）A. B.若且有唯一解，则C.若，则 D.若，则面积最大值为答案：ACD解析：思路：利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D.解答过程：由，则，则，由于，所以，，，故A正确；由正弦定理得，即，又有唯一解，所以或，故B错误；由，则，，则，即，,所以，则，所以，故C正确；若，则由余弦定理得，所以有，即，当且仅当时取等号，的面积为，故D正确.故选：ACD.11.如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于P，B两点），若，且，则（）A.B.存在点，使得平面C.三棱锥的体积为D.异面直线与所成角的余弦值的最大值为答案：AD解析：思路：选项A，由，故;选项B，利用反证法，假设存在这样的，然后推出矛盾；选项C，,先求,从而得到；选项D，取的中点，因此异面直线与所成的角等于与的夹角，即,由余弦定理得,求出的取值范围，从而得到的取值范围.解答过程：正四棱锥底面是边长为2的正方形，为底面中心,对角线，故；又，所以高；侧棱，故；于是、均为边长2的正三角形.选项A,在中，，，，故，A正确；选项B,反证法，假设存在这样的,因为，平面，平面，所以平面；又平面。因为，故与是过点的两条不同直线，且都在平面内；于是平面平面,但两平面都过点，必相交,矛盾,故不存在这样的点,B错误;选项C,为的中点，为公共底面，点与到平面的距离之比为，故,而,所以,C错误;选项D,取的中点，连接、,是的中位线，所以，；因此异面直线与所成的角等于与的夹角，即,设（）,由、均为边长2的正三角形，且,，分别由余弦定理得：,,故，是等腰三角形,在中用余弦定理：,又,所以，从而,当（此时点满足题意）时取到最大值，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若是纯虚数，则__________．答案：2解析：解答过程：，若是纯虚数，则，解得.13.已知向量，，则在方向上的投影向量为______.答案：解析：思路：代入投影向量公式，即可求解.解答过程：在方向上的投影向量为.14.已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是_________．答案：##解析：思路：取中点为，证明为该四棱锥的外接球的球心，进而求出四棱锥外接球半径，利用球的体积公式求球的体积.解答过程：如图，取中点，中点，连接，，，.因为，，，所以，，均为边长为1的等边三角形.所以且、，.又，为中点，所以.平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以即为二面角的平面角，为.所以.所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为.所以四棱锥外接球的体积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，且与的夹角为．（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可；（2）由数量积大于0且两向量不同向列不等式求解．（1）向量，可得，且，因为与的角为，可得，解得，所以，则，所以．（2）由向量，可得，由，解得，当向量与共线时，可得，解得，所以实数的取值范围为．16.某学习小组有男同学3名，女同学2名，现从中随机选出2名同学去参加比赛.（1）求参赛的2名同学都是男同学的概率；（2）求参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学的概率.答案：（1）（2）解析：（1）记3名男同学分别为，，；2名女同学分别为，.从5名同学中选取2名同学参赛，则样本空间设事件“参赛的2名同学都是男同学”，则.因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以.（2）设事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”，则.因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以，.17.某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个?（2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数；（3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数.答案：（1）4个（2）平均数为98，众数为100（3）估计获得表彰的同学的最低分数为138解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质，可求得a值，根据分层抽样的性质，计算即可得答案.（2）根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得平均数，由图象可得众数，即可得答案.（3）分析可得获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x，则，即可得答案.（1）由频率分布直方图性质得，解得，所以的人数有个.（2）本次考试的平均分，由频率分布直方图得：众数为100.（3）的频率为，所以获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x，则，解得，即最低分数为138.18.如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值．答案：（1）证明：如图，连接，连接交于点，连接，因为点为的中点，为中点，且四边形ABCD是正方形，所以四边形为矩形，故为的中点，又因为为的中点，所以，又