2026-2027学年黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期9月考试数学试卷（含答案）

/数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知幂函数为偶函数，且，，，则（）A. B. C. D.4.若函数，则（）A.80 B. C.240 D.5.已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（）A. B.C. D.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.7.已知函数，，若在上不单调，则a的取值范围为（）A. B.C. D.8.已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.若正实数满足，则（）A.的最小值是B.的最大值是C.的最大值是D.的最小值是10.已知函数，则（）A.是偶函数 B.在区间上单调递增C.是的极大值点 D.的最大值为，最小值为11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（）A. B.的周期为C.的图象关于中心对称 D.三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)12.函数，若，则__________．13.已知函数在处有极值8，则等于______．14.若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____．四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数在处取得极值.（1）求函数的解析式;（2）求函数的单调区间及极值.16.已知等比数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．17.如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．（1）求证：平面平面；（2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值；（3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.18.已知，，是自然对数的底数．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围．19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的零点个数；（3）若有两个极值点，证明：当时，.

数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先解一元二次不等式化简集合A，解分式不等式化简集合B，再进行交集运算即可.解答过程：集合，集合，则.故选：D.2.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据绝对值不等式、一元二次不等式的解法，结合充分、必要条件的定义，即可得答案.解答过程：由题意的解集为，的解集为，则，故“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．3.已知幂函数为偶函数，且，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：为幂函数，所以，即，因式分解得：，解得：或，为偶函数，所以，，因为，所以在单调递增，所以，，即得.4.若函数，则（）A.80 B. C.240 D.答案：D解析：思路：利用导数的概念即可求解.解答过程：因为，所以.故选：D5.已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用导数的运算法则先求导，再根据导数的几何意义即可求解.解答过程：由题意得：，所以，所以，根据导数的几何意义得，所以.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据奇偶性和排除错误选项即可.解答过程：由得，函数的定义域为，因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD；又，所以，排除C.7.已知函数，，若在上不单调，则a的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：求得，转化为在上有变号零点，设，求得在上单调递增，列出不等式组，即可求解.解答过程：由函数，可得，要使得函数在上不单调，即在上有变号零点，设，可得，所以在上单调递增，即在上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围为.8.已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出，设，推导出，转化为方程在区间上有两解，参变分离，在区间上有两解，构造函数，得到函数单调性，数形结合得到结论.解答过程：由题意得函数与的图象关于直线对称，故，，设，则方程，即均在函数图象上，假设，因为在上单调递增，故，又，故，与假设矛盾，舍去；假设，因为在上单调递增，故，又，故，与假设矛盾，舍去；综上，，即方程在区间上有两解，即，在区间上有两解，令，，则，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，又，，其中，即，画出函数在上的图象如下：要想在区间上有两解，需要，解得.二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.若正实数满足，则（）A.的最小值是B.的最大值是C.的最大值是D.的最小值是答案：BC解析：思路：根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D.解答过程：，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误；由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确；，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确；，当时，取得最小值，故D错误．10.已知函数，则（）A.是偶函数 B.在区间上单调递增C.是的极大值点 D.的最大值为，最小值为答案：ACD解析：思路：结合奇偶性定义判断对称性，借助导数工具分析函数单调性、极值点，结合指数函数的衰减性判断函数最值，利用偶函数的对称性可简化非负区间的性质研究，降低运算复杂度.解答过程：对于A选项：∵的定义域为，关于原点对称，且，∴是偶函数，A正确.对于B选项：当时，，求导得，当时，，，故，∴在上单调递减，B错误.对于C选项：当时，，，故，单调递增；当时，，，故，单调递减，∴是的极大值点，C正确.对于D选项：由偶函数的对称性，只需分析时的最值即可：当时，；当时，，且，故，因此的最大值为1.由前面的分析可得的极小值点为，对应极小值为，∵是单调递增函数，故越大，越大，的绝对值越小，即函数值越大，∴当时，极小值取得最小值，与选项给出的最小值一致，故的最大值为1，最小值为，D正确.11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（）A. B.的周期为C.的图象关于中心对称 D.答案：AD解析：思路：由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B.周期，判断B错；C.验证不是函数对称中心，C错误；D.利用的周期，求出，结合计算.解答过程：由，得关于直线对称，即，由是奇函数，得，即，所以关于点中心对称，且，由，，所以，得到，周期，已知，，A选项：由，令得，A正确；B选项：的周期是，B错误；C选项：由得，由，，得，即，所以是奇函数，因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为，又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为，所以函数的对称中心为，令，得，不符合，所以不是对称中心，C错误；D选项：的周期，，所以，，所以，D正确.三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)12.函数，若，则__________．答案：或解析：思路：考查分段函数的求值，重难点为分段函数的分类讨论及复合函数由内到外的求解逻辑，首先由解析式分析，，再分类讨论，求出值.解答过程：已知.设，则由分段函数可知，仅有1个解为，所以结合分段函数性质可得.若，则，，所以；若，则，解得.因此满足条件的的值为或.13.已知函数在处有极值8，则等于______．答案：解析：思路：求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可．解答过程：若函数在处有极值8，则即解得：或，当时，，此时不是极值点，故舍去；当时，，当或时，，当，故是极值点，故符合题意，故，故.故答案为.14.若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____．答案：解析：思路：根据导函数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值.解答过程：设公切线为，是与的切点，是与的切点，，，所以的方程为，因为，整理得，同理，因为，整理得．依题意两条直线重合，可得，两式相除得，所以，代入①得由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点，因为，令，则或．当时，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以有极小值为，有极大值为，当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，所以当，即时，直线与曲线有三个交点，故的取值范围为．四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数在处取得极值.（1）求函数的解析式;（2）求函数的单调区间及极值.答案：（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为.解析：思路：（1）由题设可得，据此可得答案；（2）由（1）中验证过程可得的单调区间与极值.（1）.由在处取极值可得，则此时.，，得在上单调递增，在上单调递减，即符合题意；（2）由（1）分析可得：在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为.16.已知等比数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可；（2）利用错位相减法求和即可.（1）当时，，相减可得当，即，．因为是等比数列，．当时，，可解得．数列的通项公式为．（2）∵∴，①①3得，②由①②得，即，化简得．17.如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．（1）求证：平面平面；（2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值；（3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.答案：（1）设，的交点为，连接，因为四边形与均为菱形，且，所以，，又因为，且为中点，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）（3）存在，点在延长线上且满足.解析：思路：（1）设，的交点为，连接，根据线面垂直的判定定理得到平面，根据面面垂直的判定定理得到平面平面．（2）利用线面垂直的判定定理以及勾股定理证垂直，从而以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用向量的数量积公式求出的值.（3）设，求出的坐标，求出平面的法向量，由平面得到，计算出的值，从而得到点在延长线上，且满足.（1）略（2）因为，，且，平面，所以平面，设，因为四边形与均为菱形，且，所以，，又因为，在中，，所以，因为，，，平面，所以平面，以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图：所以，，，，，由，得到，所以，，设平面的法向量，，所以，因为平面的法向量，设平面与平面的夹角为，所以.（3）设，所以，则，，，设平面的法向量，，所以，因为平面，所以，所以，此时在平面FDM外，符合题意，所以存在点M符合题意，且点在延长线上，满足.18.已知，，是自然对数的底数．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围．答案：（1）当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．解析：思路：（1）求出导函数，分和，分类讨论计算函数的单调性；（2）把方程有两个不等实根转化为与有2个交点，结合导函数得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围.（1）函数的定义域为，求导得，当时，恒有，则函数在上单调递增；当时，由，得，由，得，即函数在上单调递减，在上单调递增；所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）方程，即，当时，方程不成立，则；令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点，求导得，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，而当时，，当时，，且当时，取得极小值，作出函数，的大致图象，如图，观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点，所以的取值范围为．19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的零点个数；（3）若有两个极值点，证明：当时，.答案：（1）（2）（3）证明：的定义域为，因为有两个极值点，有两个极值点，意味着有两个不同正根.设，其导数.若，，在递增，不会有两个正根.当，令，得.在，递增；在，递减.要使有两个正根，需，即，解得.所以当时，有两个极值