2026-2027学年湖北省荆州市荆州中学高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合B满足，则集合的个数为（）A.2 B.4 C.7 D.82.已知复数（为虚数单位，），则“”是“为实数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，且，则的最小值为（）A.64 B.8 C. D.4.已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（）A. B. C. D.5.已知定义在上的偶函数，若，，，则（）A. B.C. D.6.从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，）A.228 B.230 C.232 D.2347.已知中，，，则（）A. B. C.或 D.或8.已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.若，则10.如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（）A.三棱锥的体积为4B.过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形C.三棱锥的外接球表面积为D.一质点从点出发沿正方体表面绕行到点的最短距离为11.在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（）A.的方程为B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某班组织文艺晚会，准备从A，B等7个节目中选出3个节目演出，要求A，B两个节目中至少有一个被选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为______.13.已知偶函数有两个零点，的取值范围为___________.14.已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列的前n项和为，且.（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n.16.如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且.（1）证明：四点共面；（2）设平面与棱的交点为，求点到平面的距离.17.已知A盒中有3个红球和2个白球，B盒中有3个白球，这8个球除颜色外完全相同.（1）若每次从A盒中任取1个球，记录颜色后放回A盒，共取球三次，求恰好有两次取出的球颜色相同的概率；（2）现设计如下试验流程：每次从A盒中任取2个球，将取出的红球用B盒中的白球替换；取出的白球不进行替换，然后把得到的2个球放回A盒，记作一次试验结束.设两次试验结束后A盒中红球的个数为X，求X的分布列及数学期望.18.用一平面截取某足够大的圆锥，则该平面与该圆锥的侧面的交线为圆锥曲线.设圆锥的母线与圆锥轴线夹角为，截面与圆锥轴线夹角为，则截得的圆锥曲线离心率.从该大圆锥中取一个小圆锥，其顶点为，底面半径为1，高为.如图所示，平面过点且与圆锥的轴线夹角为，且.与该圆锥侧面的交线为椭圆.以椭圆长轴中点为原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，在平面内建立平面直角坐标系，此时椭圆的方程为.（1）求椭圆的方程；（2）若平面过点，且垂直于椭圆的长轴，（i）求平面截圆锥所得的圆锥曲线的离心率；（ii）若平面截取圆锥后的顶部锥体为，求的内切球体积.19.已知函数，其中，定义域为（1）当时，求在内的极值点；（2）讨论函数在上的单调性，并指出极值点个数；（3）若是在内的极大值点．证明：．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合B满足，则集合的个数为（）A.2 B.4 C.7 D.8答案：D解析：解答过程：由可得，又因，故集合的个数即集合的子集个数，为个.2.已知复数（为虚数单位，），则“”是“为实数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据复数的定义，结合充分条件、必要条件判断即可.解答过程：充分性：由，得或.当，时，是纯虚数，所以充分性不成立.必要性：若为实数，则，此时，所以必要性成立.综上，“”是“为实数”的必要不充分条件.3.已知，且，则的最小值为（）A.64 B.8 C. D.答案：C解析：思路：由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可.解答过程：已知，且，对等式两边同除以，可变形得到：

..由基本不等式，得.​

因此​，当且仅当​，即时取等号，所以的最小值为​.4.已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先通过“至少一个不发生”的概率求出，再用概率加法公式求得，最后利用对立事件算出都不发生的概率.解答过程：，，，.5.已知定义在上的偶函数，若，，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先由函数为偶函数，求出，由此得在区间上单调递减，再由对称性将转化为，由利用单调性可得大小.解答过程：由函数为偶函数，所以，即，解得，当时，为偶函数，满足题意.函数的图像关于轴对称，且在上单调递减．又，，，由，所以.故.故选：C.6.从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，）A.228 B.230 C.232 D.234答案：B解析：解答过程：设“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过天，则，即：，两边取对数得：，所以而，，代入得.7.已知中，，，则（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：思路：根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得的值，结合两角和的余弦公式，即可求解.解答过程：因为，且，可得，又因为，可得，由，得，所以，所以，因为，即，所以.8.已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先判断得函数是定义在上的奇函数，所以对恒成立等价于对恒成立，化简可得对恒成立，令，，由基本不等式化简计算即可求解.解答过程：因为函数定义域为，且，所以函数是定义在上的奇函数，所以对恒成立等价于对恒成立，即，化简可得，令，，因为，所以，当且仅当，时，等号成立，即，同理可得，要使不等式对恒成立，则，即，所以实数的取值范围为.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.若，则答案：AC解析：思路：由对数函数性质得，然后根据不等式的性质判断ABD，构造函数，用导数确定函数的单调性后判断C．解答过程：由及换底公式得，，又单调递减，故，A正确；由得，则，故B错误；令，则，所以在区间上单调递增，又即，即，故C正确；由，，，，故D错误.故选：AC10.如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（）A.三棱锥的体积为4B.过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形C.三棱锥的外接球表面积为D.一质点从点出发沿正方体表面绕行到点的最短距离为答案：BCD解析：思路：利用等体积法可求得三棱锥的体积判断A；利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形判断B，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积判断C，分别求出将面沿着展开和将面沿着展开两种情况分别求解长度判断D即可解答过程：如图，作出符合题意的图形，对于A，由题意得，故A错误；对于B，由中位线性质可得，在正方体中，，所以，所以四点共面，又因为，所以截面为梯形，故B正确；对于C，因为面，，所以三棱锥的外接球等价于长为2，宽为2，高为1的长方体外接球，可得半径，则表面积，故C正确；对于D，如图，将面沿着展开和面共面，此时由勾股定理得，如图，将面沿着展开和面共面，此时由勾股定理得，如图，将面沿着展开和面共面，此时由勾股定理得，如图，将面沿着展开和面共面，此时由勾股定理得，则从点出发沿正方体表面绕行到点的最短距离为，故D正确.11.在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（）A.的方程为B.C.D.答案：ABD解析：思路：根据已知条件求出点的轨迹方程，结合两点间距离公式、余弦函数性质、余弦定理及二次函数的性质逐项判断即可.解答过程：对于A，设，易知，，则，.易知，当点在轴上方时，即为直线的斜率，即为直线的倾斜角补角的正切，此时，，所以，整理得，即的方程为.同理可得，当点在轴下方时，的方程为.当点在轴上时，不满足.综上，的方程为，即，A正确.对于B，由选项A可知，点，所以，B正确.对于C，当点为短轴顶点时，最大，最小，此时，则，.在中，.所以，当点运动时，，C错误.对于D，由选项A可知，（且），则，所以，而且，所以，即，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某班组织文艺晚会，准备从A，B等7个节目中选出3个节目演出，要求A，B两个节目中至少有一个被选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为______.答案：130解析：思路：分类讨论结合不相邻问题计算即可.解答过程：分两类：第一类，A，B只有一个选中，则不同演出顺序有种情况；第二类：A，B同时选中，则不同演出顺序有种情况；故不同演出顺序的种数为.13.已知偶函数有两个零点，的取值范围为___________.答案：解析：思路：利用偶函数的性质可以计算的值，再利用最小值小于0即可求得的取值范围.解答过程：因为为偶函数，所以，所以，化简得：，则，所以，，令，解得：，即：在单调递增，在单调递减，所以，且当时，，时，，若有两个零点，则需满足，即：，所以的取值范围为.14.已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________.答案：##解析：思路：构造函数，将条件不等式化成，由题意推得，借助于得到，由求出即可求得答案.解答过程：设，因在上连续，则在上连续，且，即函数为上的偶函数.由可得，若，则可取遍一切实数，即对于，即为常函数.因，则①，又因②，将代入①，得，将②代入上式，可得，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列的前n项和为，且.（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n.答案：（1）由，得，两式相减得，整理得同除以得：又由得，则所以数列则，所以（2）．解析：（1）略（2）由（1）可知，，则，所以，，显然数列为递增数列，且，，使成立的最大正整数．16.如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且.（1）证明：四点共面；（2）设平面与棱的交点为，求点到平面的距离.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）解法一：建立空间直角坐标系，用基底向量表示向量，进而可得四点共面；解法二：构造平面，再证明平面与棱的交点与重合，进而可得四点共面；（2）解法一：直接用向量的方法求点到面的距离可得；解法二：用等体积法求点到面的距离可得.（1）解法一：在正方体中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，于是，且向量不共线，所以向量共面，又向量有公共点，所以四点共面.解法二：延长交于点，连接交于点，因为，所以，且，所以，所以，所以点与点重合，故四点共面.（2）解法一：设，则，由点平面，得，即，得，解得，，，即.，而，则，，设平面的法向量，则，即，令，则，所以.设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.解法二：等体积法，连接，设点到平面的距离为，如图：由解法一知，所以，.由，所以，，解得，点到平面的距离为.17.已知A盒中有3个红球和2个白球，B盒中有3个白球，这8个球除颜色外完全相同.（1）若每次从A盒中任取1个球，记录颜色后放回A盒，共取球三次，求恰好有两次取出的球颜色相同的概率；（2）现设计如下试验流程：每次从A盒中任取2个球，将取出的红球用B盒中的白球替换；取出的白球不进行替换，然后把得到的2个球放回A盒，记作一次试验结束.设两次试验结束后A盒中红球的个数为X，求X的分布列及数学期望.答案：（1）（2）的分布列为X0123P解析：思路：（1）利用并事件的概率公式求解；（2）先求出的取值范围,再求出每个的取值的概率，列出分布列，利用期望公式求出期望.（1）记恰好有两次取出红球，恰好有两次取出白球，从5个小球中任取一个球，为红球的概率是，为白球的概率是，则两次取出的球颜色相同的概率为：.（2）的取值范围是.，，，.所以的分布列为X0123P.18.用一平面截取某足够大的圆锥，则该平面与该圆锥的侧面的交线为圆锥曲线.设圆锥的母线与圆锥轴线夹角为，截面与圆锥轴线夹角为，则截得的圆锥曲线离心率.从该大圆锥中取一个小圆锥，其顶点为，底面半径为1，高为.如图所示，平面过点且与圆锥的轴线夹角为，且.与该圆锥侧面的交线为椭圆.以椭圆长轴中点为原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，在平面内建立平面直角坐标系，此时椭圆的方程为.（1）求椭圆的方程；（2）若平面过点，且垂直于椭圆的长轴，（i）求平面截圆锥所得的圆锥曲线的离心率；（ii）若平面截取圆锥后的顶部锥体为，求的内切球体积.答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：(1)先根据小圆锥的底面半径和高，求出母线与轴线夹角的余弦值，再结合题目给出的离心率公式计算椭圆的离心率，再利用椭圆中的关系求解，得到椭圆方程.(2)(i)，先确定平面与圆锥轴线的夹角，再代入离心率公式计算；(ii)，先明确是小圆锥，其内切球的球心在轴线上，且到侧面的距离等于到平面的距离，结合几何关系求出内切球半径，再用球的体积公式计算体积.（1）由底面半径1、高，母线长为，得，.由和离心率公式，得.椭圆方程可写为，故，，.所以椭圆的方程为.（2）（i）在轴截面内，平面与轴线的交线即为椭圆的长轴所在直线，它与轴线的夹角为.平面垂直于椭圆长轴，故的法向量方向与长轴方向相同，即的法向量与轴线的夹角也为.设平面与圆锥轴线的夹角为，则，所以.因此，.（ii）设内切球的球心为，由对称性知，在圆锥轴线上.设，则.球心到平面的距离为；球心到圆锥侧面的距离为.内切球与侧面及底