2026-2027学年湖北省荆州市荆州中学高三上学期起点考试数学试卷（含答案）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设，其中，是实数，是虚数单位，则（）A.1 B. C. D.22.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知等比数列满足.设，记数列的前项和为，则（）A.149 B.153 C.155 D.1574.已知展开式的二项式系数和为64，则该展开式中常数项为（）A.15 B.20 C. D.5.已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（）A. B. C. D.6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种7.已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知，则（）A. B.C. D.10.已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（）A.函数的一个对称中心为B.C.函数为周期函数，且一个周期为4D.11.函数，下列说法中正确的有（）A.函数是偶函数B.，使为周期函数C.当时，的极小值为1D.当时，恒成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合,且则的取值范围是____________.13.命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________；14.已知：（ⅰ）在一系列独立重复的伯努利试验中，用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，记每次试验中事件发生的概率为，则的分布列为，．如果随机变量具有上式的形式，则称随机变量服从几何分布，且；（ⅱ）若随机变量，满足，则．连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到2，4，6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设正项数列的前n项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．16.如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上.（1）求证：平面平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求.17.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲同学第局赢的概率为（1）求乙同学第局赢的概率；（2）求；（3）若存在，使成立，求的最小值.18.已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且．（ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；（ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围．19.已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；（2）若对恒成立，求整数的最小值；（3）当时，证明：在上存在唯一零点和唯一极小值点，且.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设，其中，是实数，是虚数单位，则（）A.1 B. C. D.2答案：D解析：思路：利用复数的乘法运算法则化简后，根据复数相等的条件即可得解.解答过程：,为实数，所以,故选：D.2.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可.解答过程：一方面：，另一方面：，但，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知等比数列满足.设，记数列的前项和为，则（）A.149 B.153 C.155 D.157答案：B解析：思路：根据等比数列的通项公式求解，从而可得的通项公式，根据分组求和可得的值.解答过程：设等比数列的公比为，则，则，可得，所以，则，所以.故选：B.4.已知展开式的二项式系数和为64，则该展开式中常数项为（）A.15 B.20 C. D.答案：A解析：思路：首先利用求出，然后再利用二项展开式的通项即可求解.解答过程：根据题意可得，解得，则展开式的通项为，令，得，所以常数项为.故选：A.5.已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可.解答过程：由于

服从两点分布，且

，因此.由全概率公式得，即，所以，由条件概率计算公式得.故选：D6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：B解析：思路：先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.解答过程：由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B.7.已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围.解答过程：时，，时，，若要使得存在最小值，只需要，即.故选：D.8.已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可.解答过程：因为偶函数，则①，对两边求导得，②，在③中，用代替得④，由①②④可得，⑤，联立③⑤得，，则化简为，，令，则，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，故，则实数的取值范围是.故选：A二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：ABD选项，利用基本不等式求最值即可；C选项，利用特殊值判断.解答过程：，即，解得，当且仅当时等号成立，故A错；可整理为，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；当，时，，故C错；，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BD.10.已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（）A.函数的一个对称中心为B.C.函数为周期函数，且一个周期为4D.答案：ABD解析：思路：先应用函数为奇函数代入化简得出对称中心判断A，根据函数为偶函数结合赋值法判断B,特殊值法判断C，赋值法得出函数值判断D.解答过程：对于A，因为为奇函数，所以，即，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，所以A正确，对于B，在中，令，得，得，因为函数为偶函数，所以，所以，所以，令，则，所以，得，所以B正确，对于C，因为函数的图象关于点对称，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C错误，对于D，在中令，则，令，则，因为，所以，因为，所以，所以D正确，故选：ABD．11.函数，下列说法中正确的有（）A.函数是偶函数B.，使为周期函数C.当时，的极小值为1D.当时，恒成立答案：ACD解析：思路：利用奇偶性和周期性的定义判断A，B；利用导数求函数极值判断C；设，利用导数求最小值大于0，判断D.解答过程：对于A，为偶函数，A对.对于B，不是周期函数，则不可能是周期函数，B错.对于C，时，，令，则或所以在和上单调递增，在和上单调递减，，C对.对于D，令，设，则，设，则，当在上单调递增，，在上单调递增，在上单调递增，，即恒成立，D对.故选：ACD方法提示：思路点睛：对于选项D，利用作差法判断不等式恒成立.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合,且则的取值范围是____________.答案：解析：思路：由集合元素与集合的关系即可得到答案.解答过程：因为集合,且所以，解得，所以的取值范围是.故方法提示：本题考查集合的基本定义，属基础题.13.命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________；答案：解析：思路：命题“，”为，则：，.由为假命题可知为真命题，即，恒成立，由分离变量法可得结果.解答过程：设命题“，”为，则：，.由为假命题可知为真命题，即，恒成立，，所以.又，，当且仅当时，，所以，即的取值范围是.故答案为.14.已知：（ⅰ）在一系列独立重复的伯努利试验中，用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，记每次试验中事件发生的概率为，则的分布列为，．如果随机变量具有上式的形式，则称随机变量服从几何分布，且；（ⅱ）若随机变量，满足，则．连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到2，4，6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为_____．答案：11解析：思路：根据题中给的条件，构造随机变量，用题中给的规律计算期望.解答过程：设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为偶数.设随机变量表示事件第一次发生时已经进行的抛掷次数.由于每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，.记第一个投出的偶数点数为.设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了以外的两个偶数.设随机变量表示从出现第一个偶数后，直到出现第二个不同偶数所进行的额外抛掷次数.在接下来的每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，.记第二个出现的偶数点数为.设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了，以外的那个偶数.设随机变量表示从出现第二个不同偶数后，直到出现第三个偶数所进行的额外抛掷次数.在接下来的每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，.经过三个步骤，能保证2，4，6点恰好均出现，且出现次数最少的点数出现的次数为1.随机变量为抛掷骰子直至2，4，6均出现时已经进行的试验次数..故故11四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设正项数列的前n项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.（1）由得，可知，两式相减得，即，，∵当时，，则是首项为1，公差的等差数列，的通项公式为；（2），，.16.如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上.（1）求证：平面平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求.答案：（1）证明：由正方形有，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，过点作，则，，，所以，所以，即，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）或解析：思路：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，设即可求得点的坐标，利用夹角公式即可求解.（1）略（2）由（1）知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图：则有，设，则，设，则有，解得，得，所以，设平面的法向量为，则有，令，得，设直线与平面所成角为，所以，解得或，所以或.17.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲同学第局赢的概率为（1）求乙同学第局赢的概率；（2）求；（3）若存在，使成立，求的最小值.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）由全概率公式得到甲同学第局赢的概率，从而得到答案；（2）得到为等比数列，得到通项公式，得到答案；（3）参变分离，利用导函数得到函数单调性，要求的最小值，即求的最大值，分为偶数和奇数两种情况，得到为最大值，得到答案（1）由题意甲同学第局赢的概率为，所以乙同学第局赢的概率为；（2）由已知时，，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以；（3）即，令，则，易知是减函数，，所以时，，单调递减，显然，因此要求的最小值，即求的最大值，又，为偶数时，，随着的增大，减小，所以，为奇数时，，随着的增大，增大，所以，所以是中的最大值，所以，故k的最小值为.18.已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且．（ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；（ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围．答案：（1）（2）（ⅰ）过定点，定点坐标；（ⅱ）解析：思路：（1）由离心率和双曲线上的点结合，解得，即可得出答案；（2）（ⅰ）设，方法一：由，设，得直线即的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理求得，写出直线的方程，进而可得，分和两种情况，得直线的方程即可得直线所过的定点；方法二：设直线的方程为，一方面，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到；另一方面，写出直线的方程，进而得到的坐标，再由得到.从而有，即可得到直线所过的定点.（ⅱ）由（ⅰ）结合得到在双曲线的右支上根据渐近线方程得到，通过换元并利用导数可求得的取值范围.（1）因为离心率，所以，而，所以．所以双曲线的方程为．将点代入双曲线方程，得，所以．所以的方程为．（2）（ⅰ）直线过定点．由双曲线的方程可知，设．方法一：由，可设，则直线即的方程为．联立整理得.由题设知，且．由根与系数关系，得，所以．所以，即．又直线即的方程为，联立得，由题设知，且．由根与系数关系，得，所以，所以.∴．当时，直线的斜率．直线的方程为．化简整理得，直线过定点．当时，，即，解得．直线也过定点．综上，直线过定点．法二：设直线的方程为，联立整理得，则．所以．直线．令，得．直线，令，得．由，得，即，所以．即．因为，所以．整理可得．所以，所以直线过定点．（ⅱ）由（ⅰ）知，直线过定点，则．由（ⅰ）知，∴．又点在双曲线的右支上，双曲线的渐近线方程为．所以．令，则，于是．令，，则，在单调递减，所以在单调递增，当，即时，取得最小值．所以的取值范围