2026-2027学年湖北省襄阳市第四中学高一上学期卓越班新起点考试数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知a，b为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，4.设函数，则（）A. B. C. D.5.已知函数，则（）A. B.C. D.6.设，，且，则的最小值为（）A.12 B.9 C.8 D.47.函数的定义域为A，值域为B，若区域表示一个正方形区域，则该区域的面积为（）A.3 B.6 C.9 D.不确定8.函数满足，且，则这样的函数个数有（）A.2个 B.4个 C.6个 D.10个二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数的定义域为，则函数的定义域为B.和表示同一个函数C.函数的值域为D.定义在上的函数满足，则10.已知不等式，下列说法正确的是（）A.若，则不等式的解集为B.若不等式对恒成立，则整数的取值集合为C.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是D.若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是11.对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（）A.如果，，那么B.如果，，那么C.如果，那么D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集为____________．13.已知函数的最小值为，则的取值范围为______．14.若非零实数a，b满足，则的最小值为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知集合，，全集．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．16.已知函数.（1）用定义证明函数在定义域上为增函数；（2）求解不等式.17.两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略．策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为．（1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额.（2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由；（3）请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．”18.已知函数（1）若关于的不等式的解集是或，求实数的值；（2）解关于的不等式；（3）设函数，，对于，都有成立；同时也，使成立，求满足条件的实数的取值范围.19.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集．记符号表示集合中的元素个数．当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合.（1）已知集合，若，求集合，并求出的值（2）已知，记集合或．（i）当时，证明的充要条件是；（ii）若，求的所有可能取值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过列举法确定集合，再由交集运算即可求解.解答过程：由题意可得，则.2.已知a，b为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：因为等价于，即，则或，所以当时，成立，当时，不一定成立，如，满足，但不满足，故“”是“”的充分不必要条件.3.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：根据全称命题的否定判断即可.解答过程：命题“，”的否定是，.4.设函数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为函数，.5.已知函数，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用换元法，令，，代入化简即可求解．解答过程：令，则，因为，所以，由，可得，所以．6.设，，且，则的最小值为（）A.12 B.9 C.8 D.4答案：B解析：思路：通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可.解答过程：由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9.7.函数的定义域为A，值域为B，若区域表示一个正方形区域，则该区域的面积为（）A.3 B.6 C.9 D.不确定答案：B解析：思路：由题可先得函数的值域，并求出定义域，利用对应集合的长度相等求出的值，进而求得对应区域的面积.解答过程：由区域表示一个正方形区域，知.由，得令，则记的解集为,，则所以，解得.所以该区域的面积为.故选：B.8.函数满足，且，则这样的函数个数有（）A.2个 B.4个 C.6个 D.10个答案：C解析：思路：先分析出值域中包含元素，然后分别根据值域中包含个元素进行分类讨论，由此求得结果.解答过程：因为，所以值域中必有元素，当值域中仅有一个元素，则值域为，此时，仅有个函数满足；当值域中有两个元素，只能其中一个为，另一个为或，若值域中的两个元素是时，则或，若值域中的两个元素是时，则或，此时有个函数满足；当值域中有三个元素，即值域为，只能，此时有个函数满足，综上所述，共有个函数满足要求，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数的定义域为，则函数的定义域为B.和表示同一个函数C.函数的值域为D.定义在上的函数满足，则答案：AD解析：思路：根据抽象函数的定义域可判断A选项，根据具体函数的定义域可判断B选项，直接法可得函数的值域，可判断C选项，消元法求函数解析式可判断D选项.解答过程：A选项，对于，令，则，则，所以，即的定义域为，A选项正确；对于B，的定义域为，的定义域为，所以和不是同一个函数，B选项不正确；对于C，因为，所以，即函数的值域为，故C选项不正确；对于D，由，可得，所以由，可得，D选项正确.故选：AD.10.已知不等式，下列说法正确的是（）A.若，则不等式的解集为B.若不等式对恒成立，则整数的取值集合为C.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是D.若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是答案：ACD解析：思路：根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可.解答过程：对于A，时，不等式为，化简得，令，解得，即或，所以不等式的解集为，所以A正确；对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误；对于C，令，因为不等式对恒成立，且是关于的一次函数，所以只需满足且即可.由恒成立，由，解得，C正确；对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，所以使不等式成立的整数.设对应的两个根为，则.所以，解得，D正确.故选：ACD.11.对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（）A.如果，，那么B.如果，，那么C.如果，那么D.若，则答案：ACD解析：思路：分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合中元素一样的特征.解答过程：A、B选项：如果，，不妨设，，则，，即A选项正确，B选项错误；C选项：，由，，，故，C选项正确；D选项：因为，当，至少有一个为0时，；当，均为非零整数时，若均为奇数，则，均为偶数，为4的倍数；若一个为奇数，一个为偶数时，则，均为奇数，为奇数；若均为偶数时，则，均为偶数，为4的倍数；又，，所以，所以.D选项正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集为____________．答案：解析：思路：根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果.解答过程：由，得到，等价于，解得，所以不等式的解集为.故答案为.13.已知函数的最小值为，则的取值范围为______．答案：解析：思路：根据分段函数两段函数的单调性和最值，即可列式求解.解答过程：由题意可知，若，则时，单调递减，此时，函数无最小值；故需满足，得，若函数的最小值为，对于，，其最小值为，当且仅当对称轴，对于，恒成立，又知，故时，，所以需，解得，由和可得，综上可知，.故14.若非零实数a，b满足，则的最小值为_____.答案：解析：思路：变形给定等式可得，令并换元，再利用基本不等式求出最小值.解答过程：依题意，，则，即，令，则，，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知集合，，全集．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据集合的交并补运算即可.（2）根据得到是的子集，分和两种情况计算，取并集即可.（1）当时，，又或，所以.（2）因为，所以是的子集.当时，，解得.当时，，解得，所以，综上，.16.已知函数.（1）用定义证明函数在定义域上为增函数；（2）求解不等式.答案：（1）设任意；因为，所以，所以，即，所以在上是增函数；（2）解析：思路：（1）根据增函数的定义，作差证明即可；（2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可.（1）略（2）是上的增函数且.解得所以不等式的解集为17.两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略．策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为．（1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额.（2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由；（3）请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．”答案：（1）策略①购得120件产品，共用180元；策略②购得135件产品，共用180元（2）答案见解析（3）答案见解析.解析：思路：（1）由采用策略①和②，结合题意，得出策略①和②中购买的产品总量和总金额；（2）根据题意，分别求得策略①和②中购买的平均价格，比较大小，即可得答案；（3）由（2）的结论，由得到，即，结合基本不等式，即可求解.（1）因为，采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为，则采用策略①购买的产品总量为，总金额为；采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为，则策略②购买的产品总量，总金额为.（2）采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为；采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量，则两次平均价格为，因为，于是当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济；当时，，采用策略②比采用策略①更经济.（3）由（1）知，，且，当且仅当时取等号，当时，由，得，即，因此，当且仅当时取等号，则，所以的最小值为2.18.已知函数（1）若关于的不等式的解集是或，求实数的值；（2）解关于的不等式；（3）设函数，，对于，都有成立；同时也，使成立，求满足条件的实数的取值范围.答案：（1）（2）答案见解析（3）解析：思路：（1）由解集确定，再结合一元二次方程韦达定理即可求解；（2）将不等式转换成，根据的取值分类讨论即可；（3）通过分离参数得到，，和，，进而求解即可.（1）由的解集为或，可知，且方程的两根为和，所以，解得：（2）由，得当时，不等式为，解得；当时，，当时，若，即，不等式解集为或；若，即，不等式的解集为；若，即，不等式的解集为或；当时，则，不等式的解集为，综上所述：时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式解集为；时，不等式的解集为；时，不等式解集为（3）由条件可得：，，使成立，即，，分离参数得到，令，当时，，当时，令，则，则，当且仅当时，取等号，所以在时，最小值为，所以由条件可得：，因为，都有成立，即，恒成立，又，当时取得最小值，所以，综上可知：19.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集．记符号表示集合中的元素个数．当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合.（1）已知集合，若，求集合，并求出的值（2）已知，记集合或．（i）当时，证明的充要条件是；（ii）若，求的所有可能取值．答案：（1），；（2）（i）证明见解析；（ii）解析：思路：（1）先根据求出的值，可确定集合，进而求.（2）（i）先证充分性，再证必要性.（ii）根据和，分析中元素的特征，求出，进而确定的值.（1）因为，由，所以，所以且，所以必有，所以，所以，所以.（2）（i）因为，可设，.先证充分性：因为，所以且，从而可以设，其中，此时中的元素为，故，再证必要性，设，，其中，注意到和集中的最小元素为，最大元素为，因为，所以中