2026-2027学年上海市曹杨第二中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海市曹杨第二中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设a，b是平面上两个非零向量，那么“a⋅b<0”是“〈a，bA.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2.总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为(

)

5044664421

6606580562

6165543502

4235489632

1452415248

2266221586

2663754199

5842367224A.42 B.16 C.56 D.063.下列物体中，能够被整体放入棱长为1m的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(    )个．

(1)直径为1.1m的球体

(2)棱长为1.4m的正四面体

(3)底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱

(4)底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体A.0 B.1 C.2 D.34.已知α，β，γ>0，且不全相等的三个复数z1，z2，z3满足(β+γ)z12+(γ+α)z22+(α+β)z32=2αz2z3+2βz3A.不能构成三角形 B.可构成锐角三角形 C.可构成直角三角形 D.可构成钝角三角形二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知集合A={x|2x<3}，B={−1,0,1,2}，则A∩B=

6.已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为

．7.若等差数列{an}的首项a1=1，前5项和S5=25，则8.已知(1+x)5=1−2C51+4C9.一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为

．10.已知a+2b=1，则3a+9b的最小值为

11.设f(x)=x3−2ax+b(常数a，b∈R)，若函数y=f(x)为奇函数，且在x=1处取得极值，则a−b=

12.已知函数f(x)=|lnx|−kx−2，若f(x)有三个零点，则k的取值范围为

．13.若向量a和单位向量b满足|a−b|=1，则|a|+|14.玩具厂家设计一款儿童益智玩具，玩具主体是由一矩形托盘和放置在托盘中的L形木块构成．L形木块的水平截面如图1所示，矩形托盘中间有一隔断，隔断的宽为a，隔断上有一开口，开口的长为b，水平截面如图2所示．若木块可以按照图2所示的方式紧贴托盘底部旋转穿过隔断，则2b−a的最小值为

．15.已知一个长方体的表面积为144，体对角线长为9，则这个长方体体积的取值范围是

．16.已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆x2+y2=16上的动点，定点A(−3,2)，现将坐标平面沿y轴折成2π3的二面角，使点A翻折至A′，则A′，P三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：

(1)求该公司员工年龄的平均数和第25百分位数；

(2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间[30,40)内为事件A，所抽取员工年龄在区间[40,50]内为事件B，判断事件A与B是否互相独立，并说明理由．18.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，M，N分别为BC，PD中点．

(1)求证：MN//平面PAB；

(2)若PA=AB，PA⊥平面ABCD，求直线MD与平面AMN所成角的正弦值．19.(本小题14分)

已知函数f(x)=2sin(x+π6)．

(1)求函数f(x)的单调递增区间和f(x)图像的对称中心的坐标；

(2)将f(x)的图像向右平移π3个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像，若函数y=g(x)−a在区间[0,13π12]内恰有3个零点x1，20.(本小题18分)

已知双曲线E：x23−y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作斜率为k1(k1≠0)的直线l交双曲线E于M，N两点．

(1)若k1=1，求点F2到直线l的距离；

(2)已知E的右顶点为A，点B(0,m)(m>0)，若E上存在一点C使得BC=2AC，求正实数m的值；

(3)若点D(1,0)，直线MD21.(本小题18分)

已知函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)，若存在常数T>0，使得对任意的x∈(0,+∞)，都有f(Tx)=f(x)+T，则称函数y=f(x)具有性质P(T)．

(1)若函数y=f(x)具有性质P(3)，求：f(3)−f(1)的值；

(2)设f(x)=log12x，求证：存在常数T>0，使得y=f(x)具有性质P(T)；

(3)若函数y=f(x)具有性质P(T)，且y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数y=f(x)的值域为1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】{−1,0,1}

6.【答案】8

7.【答案】9

8.【答案】−2

9.【答案】12

10.【答案】211.【答案】3212.【答案】(0,e13.【答案】[2,214.【答案】415.【答案】[108,112]

16.【答案】7

17.【答案】平均数为40，第25百分位数是32

事件A与B互相独立，理由见解析

18.【答案】(1)证明：取PA的中点E，连接EN，BE，

因为底面ABCD是边长为2的正方形，M，N分别为BC，PD中点，

可得EN/​/AD，且EN=12AD，而BM/​/AD，且BM=12AD，

所以EN//BM，且EN=BM，所以四边形BENM为平行四边形，

所以MN/​/BE，

而MN⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，

所以MN/​/19.【答案】解：(1)已知函数f(x)=2sin(x+π6)，

令−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，

解得−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z，

所以函数f(x)的单调递增区间为[−2π3+2kπ,π3+2kπ],k∈Z，

令x+π6=kπ,k∈Z，

解得x=kπ−π6,k∈Z，

所以函数f(x)图象的对称中心的坐标为(kπ−π6,0),k∈Z；

(2)将f(x)的图象向右平移π3个单位长度，

得到y=2 sin(x+π6−π3)=2 sin(x−π6)的图象，

再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，

得到的图象对应的解析式为g(x)=2sin(2x−π6)．

当x∈[0,13π12]时，2x−π6∈[−π6,2π]，

令t=2x−π6，

函数h(t)=2sint在(−π6,π2)上单调递增，在(π2,3π2)上单调递减，在(3π2,2π)上单调递增，

20.【答案】解：(1)由双曲线方程得c=3+1=2，所以F1(−2,0)、F2(2,0)．

当k1=1时，直线l的方程为y=x+2，即x−y+2=0．

因此点F2到直线l的距离为d=|2−0+2|12+(−1)2=22．

(2)双曲线的右顶点为A(3,0)，设C(u,v)．

由BC=2AC得(u,v−m)=2(u−3,v)，

所以u=2u−23v−m=2v，解得u=23v=−m，所以C(23,−m)．

将点C的坐标代入双曲线方程，得(23)23−m2=1，即m2=3．

因为m>0，所以m=3．

(3)设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则yi=k1(xi+2)，且xi2−3yi2=3，其中i=1、2，

由题意可知直线l的斜率存在且不为零，则M、N为不同点，故x1≠x2．

设点DP=t21.【答案】解：(1)因为函数y=f(x)具有性质P(3)，

所以f(3×1)=f(1)+3，

所以f(3)−f(1)=f(1)+3−f(1)=3；

(2)证明：设T>0，则f(Tx)=log12(Tx)=log12T+log12x，

令log12T=T，即log12T−T=0，g(x)=log12x−x,x>0，

因为g(1)=−1<0，g(12)=12>0，

所以在区间(12,1)上函数g(x)存在零点x0，

当T=x0时，则log12T=T，此时函数f(x)具有性质P(T)；

(3)证明：设n∈N∗，因为f(Tx)=f(x)+T，所以f(Tnx)=f(x)+n