陕西省汉中中学2026-2027学年高二（上）学情诊断数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年陕西省汉中中学高二（上）学情诊断数学试卷（一）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.点P（2，-3，-4）关于平面Oxy对称的点是（）A.（2，-3，4） B.（2，-3，-4） C.（-2，3，-4） D.（-2，3，4）2.已知向量，，且，则n-m等于（）A.2 B.1 C.-1 D.-23.四面体ABCD中，G是CD的中点，连接AG，则（+）+=（）A. B. C. D.4.若直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，-1），则（）A.l∥α或l⊂α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交5.已知=（1，1，0），=（0，1，1），=（1，0，1），=-，=+2-，则•=（）A.-1 B.1 C.0 D.-26.已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（-1，3，1），则下列结论正确的是（）A.与是共线向量

B.与共线的单位向量是（1，1，0）

C.与夹角的余弦值是

D.平面ABC的一个法向量是（-1，-2，5）7.已知=（2，1，0），=（0，1，2），=（2，2，m），若，，共面，则m=（）A.0 B.1 C.2 D.-18.空间直角坐标系O-xyz中，定义经过点P（x,y,z）且法向量为=（A，B，C）的平面π方程为Ax+By+Cz+D=0（A，B，C，D∈R，A2+B2+C2+D2≠0），平面外的一点Q（x0，y0，z0）到平面π的距离.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为x-2y-2z-2=0，在y轴上求一点M使它到平面α的距离为6，则点M的坐标为（）A.（0，8，0） B.（0，-10，0）

C.（0，10，0）或（0，8，0） D.（0，-10，0）或（0，8，0）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知空间向量，，=（-4，4，-1），则（）A. B.向量，，不是共面向量

C. D.（+）•=1010.下列结论正确的是（）A.直线l的方向向量，平面α的法向量，则l∥α

B.两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则α⊥β

C.若直线l的方向向量，平面α的法向量，若l⊥α，则实数k=15

D.若，，，则点P在平面ABC内11.如图，在棱长均为2的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且∠A1AB=∠A1AD=60°，下列选项正确的是（）A.AA1∥BD

B.A1C⊥B1D1

C.BD1长为

D.异面直线AC与BD1所成角的余弦值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图所示，在四面体O-ABC中，=，=，=，D为BC的中点，E为AD的中点，则=

（用，，表示）．

13.已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是

.14.如图在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，，若PG交平面DEF于点M，且，则λ+μ的最小值为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量=(1，-3，2)，=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2)．（1）求|2+|；（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥?（点O为原点）16.(本小题15分)

如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AB的中点，E为CC1上靠近点C1的三等分点.设=，=，=，，AB⊥AC.

（1）用，，表示向量；

（2）若||=2，||=||=3，求.17.(本小题15分)

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC，AB=AC，AA1=2AB，点M在侧棱CC1上，且满足.

（1）求证：BM⊥A1C；

（2）求直线BA1与平面ABM所成的角的正弦值.18.(本小题17分)

四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD=CD=，BC=2，PA=1，N为PC的中点.

（1）求证：DN∥平面PAB；

（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，如果存在，求出BM与平面MAC所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．

（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；

（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】BD

11.【答案】BC

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】1

15.【答案】解：（1）∵=(1，-3，2)，=(-2，1，1)，

∴2+=（2，-6，4）+（-2，1，1）=（0，-5，5），

∴|2+|==5；

（2）假设存在点E（x，y，z）满足条件，

则，且​​​​​​​=0，

∵点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2)，

∴​​​​​​​=（x+3，y+1，z-4），=（1，-1，-2），

又∵=（x，y，z），=(-2，1，1)，

∴，解得，

∴在直线AB上，存在一点E（-，-，），使得⊥．

16.【答案】=-+；

12

17.【答案】解：（1）证明：由题得，以A为坐标原点，以，，方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

如图所示，

设AB=2，则B（2，0，0），M（0，2，1），A1（0，0，4），C（0，2，0），

，，

由，

∴BM⊥A1C；

（2）由题得=（2，0，0），=（0，2，1），，

设平面ABM的一个法向量为=（x,y,z），

则，即，

取=（0，1，-2），

设直线BA1与平面ABM所成的角为θ，

则，

∴直线BA1与平面ABM所成角的正弦值为．

18.【答案】解：（1）取PB中点E，连接AE，EN，

则，

又，∴EN∥AD且EN=AD，

∴四边形ADNE为平行四边形，则DN∥AE，

又DN⊄平面PAB，AE⊂平面PAB，∴DN∥平面PAB．

（2）由已知得，AB=2，AC=2，，

∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

又PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，

PA⊥AB，AP⊥AC，

以A为坐标原点，AB，AC，PA所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-1，1，0），P（0，0，1）．

假设存在点M，满足要求，令，

又，∴，

∴，则M（-λ，λ，1-λ），

∴，

设平面AMC的法向量为，

则，取x=1-λ，则y=0，z=λ，

∴平面AMC的法向量为，

显然平面ACD的一个法向量为，

若平面MAC与平面ACD的夹角为45°，

则，

即2λ2=1-2λ+2λ2，解得，∴，

∴，

记BM与平面MAC所成角为θ，

．

∴存在点M，满足要求，且BM与平面MAC所成角的正弦值为．

19.【答案】证明：如图，

（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，

∴ABFD为矩形，AB⊥BF．

∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF

∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，

∴平面ABE⊥平面BEF．

（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD

又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．

以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴