北师大版数学八年级下册 4.1因式分解（题型专练） 同步练习 含答案

4.1因式分解题型一

判断是否是因式分解1．（山西省朔州市朔州市部分学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（

）甲：．乙：．A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解2．（25-26八年级上·福建福州·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．3．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．5．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是．（填序号）①；②；③；④．6．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）在下列等式中：①②；③．其中属于因式分解的是，属于整式乘法的是．（填序号）7．（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有，是因式分解的有．题型一

已知因式分解的结果求参数1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若多项式可分解为，则的值为（

）A． B．C． D．2．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（

）个．A．5 B．4 C．3 D．23．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）已知多项式分解因式为，则，的值分别是

（

）A．， B．，4 C．， D．，5．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若能因式分解为，则的值为（）A． B． C．5 D．76．（25-26八年级上·山东日照·月考）多项式分解因式后有一个因式是，则等于（

）A．1 B． C．5 D．77．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知关于x的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（）A． B． C． D．无法确定8．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若多项式可分解为，则的值为．9．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知整式，整式，若可以分解为，求．题型二

由因式分解错值求参数1．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则，题型三

与因式分解有关的材料阅读题1．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，得，则，∴解得．∴另一个因式为，m的值为．仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．(2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值．2．（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为，得，则，，解得，另一个因式为，m的值为．请你根据上述信息，解答下列问题：(1)若，则_______，_______．(2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值．(3)若，则_______．(4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值．3．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题．已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值．解：设另一个因式是，则．可得：．所以解得所以另一个因式是，m的值是22．请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值．4．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题．整式除以整式——长除法类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是：（1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）；（2）用竖式进行运算；（3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．例如，求的商式和余式，可以计算：因此，商式是，余式是．(1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？(2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解．(3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？(4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系．5．（25-26八年级上·重庆万州·期中）阅读材料，完成下列问题．材料一：已知多项式有一个因式是，求的值．解：设（A为整式）；由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值．解：设（A为整式）；由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．(1)已知多项式有一个因式是，则的值为；(2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值；(3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值．6．（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若是多项式的一个因式，求的值；(2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；(3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解．题型一

因式分解的综合运用1．（24-25八年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（

）①当的结果为关于x的三次三项式时，则；②若二次三项式能分解成，则；③当多项式A与B的乘积中不含项时，则；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）某水果店售卖A，B，C，D四种水果套餐，其中A，B两种水果的单价相同，D种水果的单价是C种水果单价的7倍，第一天，A，C两种水果的销量相同，B种水果的销量是D种水果销量的7倍，结果第一天A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元，且四种水果第一天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于D种水果不易保存，摊主便将D种水果打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果第二天除了B种水果销量下降了20%，其他几种水果的销量跟第一天一样，若A种水果与C种水果的单价之差超过6元但不超过13元，B种水果和D种水果第一天的单价之和不超过35元，则第二天四种水果总销售额最多为元．3．（21-22八年级上·湖南长沙·期末）方法探究：已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．问题解决：(1)对于二次多项式，我们把x＝代入该式，会发现成立；(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．

4.1因式分解题型一

判断是否是因式分解1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】③6．【答案】①③②7．【答案】①②题型一

已知因式分解的结果求参数1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】39．【答案】【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解．分别计算和的值，进而作答即可．【详解】解：，，∵可以分解为，∴，解得：．题型二

由因式分解错值求参数1．【答案】A2．【答案】题型三

与因式分解有关的材料阅读题1．【答案】(1)另一个因式为，的值为(2)，【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式．（2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式．本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键．【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则，∴解得∴另一个因式为，的值为．故答案为：另一个因式为，的值为．（2）（2）解：设另一个因式为，得∴，∴，，，∴，，．故答案为：，．2．【答案】(1)，(2)另一个因式为，k的值为；(3)(4)【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点．（1）直接计算后作答即可；（2）仿照题干作答即可；（3）计算后求出的值，进而作答即可；（4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论．【详解】（1）解：，则，∴，．故答案为：，；（2）解：设另一个因式为，得则，，解得，另一个因式为，k的值为；（3）解：，则，∴，∴，故答案为：；（4）解：设另一个因式为，得则，∴，，解得：，，∴∴，∴代数式的值为．3．【答案】另一个因式是，【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键．按题目中所给解题思路，按步骤求解即可．【详解】解：设另一个因式是，则，可得，，，解得，另一个因式是，m的值是3．4．【答案】(1)，长除法见解析(2)，见解析(3)(4)【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键．（1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可；（2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可；（3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值；（4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案．【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下：若因式为，用长除法操作如下：故该因式为；（2）解：用长除法操作如下：故；（3）解：用长除法操作如下：那么，∴为；（4）解：用长除法操作如下：那么，∴．5．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则．（1）根据题干提供的方法，求解即可；（2）设，分别令，，得出方程组，解方程组即可；（3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可．【详解】（1）解：设（A为整式）；由于上式为恒等式，为方便计算取，，解得：．（2）解：设，令，则，令，则，即，解得：；（3）解：令，，令，则；令，则；∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，，，，，．6．【答案】(1)(2),(3)【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键．（1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值；（2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值；（3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解．【详解】（1）解：依题意，把代入，∴∴；（2）解：把和分别代入，即解得：（3）解：∵能使多项式的值0，∴是多项式的一个因式又∵当时，，当时，∴是的因式∴．题型一

因式分解的综合运用1．【答案】B2．【答案】215.8//3．【答案】(1)±2(2)a=0，b=-3；(3)【分析】（1）将x=±2代入即可；（2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可；（3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可．【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0，故答案为：±2；（2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，∴1-a=1，b=-3，∴a=0，b=-3；（3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，∴多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，∴a-2=4，2b=18，∴a=6，b=9，∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2．【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键．

4.1因式分解题型一

判断是否是因式分解1．（山西省朔州市朔州市部分学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（

）甲：．乙：．A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解【答案】D【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.．甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解．【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积，甲:，左边为乘积，右边为多项式，甲是整式的乘法，不是因式分解；乙:，右边为和的形式，不是乘积，乙不是因式分解.甲、乙均不是因式分解．故选：D．2．（25-26八年级上·福建福州·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的定义，判断等式右边是否为整式的积的形式，即可【详解】解：因式分解是将多项式化为整式的积的形式，A、右边为，不是积的形式，不是因式分解；B、是整式的乘法运算，不是因式分解；C、右边含有分式，不是整式，不是因式分解；D、，是因式分解，故选D3．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．【详解】解：中等号右边不是积的形式，则A不符合题意，是乘法运算，则B不符合题意，是乘法运算，则C不符合题意，符合因式分解的定义，则D符合题意，故选：D．4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A.左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解，故本选项符合题意；B.左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项不符合题意；C.右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解，故本选项不符合题意；D.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意．故选：A．5．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是．（填序号）①；②；③；④．【答案】③【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解；选项②右边不是积的形式，不是因式分解；选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解；选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解；故答案为③．6．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）在下列等式中：①②；③．其中属于因式分解的是，属于整式乘法的是．（填序号）【答案】①③②【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可．【详解】解：①是因式分解；②这是整式乘法，不是因式分解；③是因式分解；故答案为：①③；②．7．（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有，是因式分解的有．【答案】①②【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可．【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法；变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解；变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解；故整式乘法的有①，因式分解的有②，故答案为：①；②．题型一

已知因式分解的结果求参数1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若多项式可分解为，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键．通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算．【详解】展开，与原多项式比较系数，得：，且，解得：，，∴；故选：B．2．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（

）个．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数．【详解】解：，则，，由于a、b为整数，则所有整数因子对满足有：、、、、、、、，当、，，当、，，当、，，当、，，当、，，当、，，当、，，当、，，则不同的m值为5、7、、，共4个，故选：B．3．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得且，其中、为整数．列举所有满足，计算，并找出最大值．【详解】解：，，且、、为整数，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；的可能值为，，，，，，其中最大值为．故选：C．4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）已知多项式分解因式为，则，的值分别是

（

）A．， B．，4 C．， D．，【答案】C【分析】本题考查了由已知因式分解的结果求参数，将因式分解形式展开，与原始多项式比较系数，即可求出和的值，正确利用公式计算是解题的关键．【详解】解：由，∴，∴，，故选：．5．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若能因式分解为，则的值为（）A． B． C．5 D．7【答案】A【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，从而求出参数a的值．【详解】解：∵，又∵能因式分解为，∴，故选：A．6．（25-26八年级上·山东日照·月考）多项式分解因式后有一个因式是，则等于（

）A．1 B． C．5 D．7【答案】A【分析】本题考查了多项式乘以多项式，设，结合多项式乘以多项式的运算法则将右边展开，对应相等，计算即可得出结果，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键．【详解】解：∵多项式分解因式后有一个因式是，∴设，∵，∴，∴，故选：A．7．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知关于x的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了因式分解与多项式的乘积的关系，设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应关系求解.【详解】解：设另一个一次多项式为，∵，且，∴，∴，∴另一个一次多项式为，故选A8．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若多项式可分解为，则的值为．【答案】3【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；通过整式的乘法展开，并比较系数，求出a和b的值，再求和即可．【详解】解：由得，与多项式比较系数，得：，解得：，∴；故答案为3．9．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知整式，整式，若可以分解为，求．【答案】【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解．分别计算和的值，进而作答即可．【详解】解：，，∵可以分解为，∴，解得：．题型二

由因式分解错值求参数1．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可．【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是，正确，，乙看错了的值，分解的结果是，正确，，正确多项式为，因式分解得．故选：A．2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则，【答案】【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．分别展开甲和乙的因式分解结果，得到a和b的值．【详解】解：甲的结果为，∴；乙的结果为，∴，故答案为：12，题型三

与因式分解有关的材料阅读题1．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，得，则，∴解得．∴另一个因式为，m的值为．仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．(2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值．【答案】(1)另一个因式为，的值为(2)，【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式．（2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式．本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键．【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则，∴解得∴另一个因式为，的值为．故答案为：另一个因式为，的值为．（2）（2）解：设另一个因式为，得∴，∴，，，∴，，．故答案为：，．2．（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为，得，则，，解得，另一个因式为，m的值为．请你根据上述信息，解答下列问题：(1)若，则_______，_______．(2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值．(3)若，则_______．(4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值．【答案】(1)，(2)另一个因式为，k的值为；(3)(4)【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点．（1）直接计算后作答即可；（2）仿照题干作答即可；（3）计算后求出的值，进而作答即可；（4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论．【详解】（1）解：，则，∴，．故答案为：，；（2）解：设另一个因式为，得则，，解得，另一个因式为，k的值为；（3）解：，则，∴，∴，故答案为：；（4）解：设另一个因式为，得则，∴，，解得：，，∴∴，∴代数式的值为．3．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题．已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值．解：设另一个因式是，则．可得：．所以解得所以另一个因式是，m的值是22．请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值．【答案】另一个因式是，【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键．按题目中所给解题思路，按步骤求解即可．【详解】解：设另一个因式是，则，可得，，，解得，另一个因式是，m的值是3．4．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题．整式除以整式——长除法类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是：（1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）；（2）用竖式进行运算；（3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．例如，求的商式和余式，可以计算：因此，商式是，余式是．(1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？(2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解．(3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？(4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系．【答案】(1)，长除法见解析(2)，见解析(3)(4)【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键．（1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可；（2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可；（3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值；（4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案．【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下：若因式为，用长除法操作如下：故该因式为；（2）解：用长除法操作如下：故；（3）解：用长除法操作如下：那么，∴为；（4）解：用长除法操作如下：那么，∴．5．（25-26八年级上·重庆万州·期中）阅读材料，完成下列问题．材料一：已知多项式有一个因式是，求的值．解：设（A为整式）；由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值．解：设（A为整式）；由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．(1)已知多项式有一个因式是，则的值为；(2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值；(3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则．（1）根据题干提供的方法，求解即可；（2）设，分别令，，得出方程组，解方程组即可；（3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可．【详解】（1）解：设（A为整式）；由于上式为恒等式，为方便计算取，，解得：．（2）解：设，令，则，令，则，即，解得：；（3）解：令，，令，则；令，则；∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，，，，，．6．（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若是多项式的一个因式，求的值；(2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；(3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解．【答案】(1)(2),(3)【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键．（1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值；（2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值；（3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解．【详解】（1）解：依题意，把代入，∴∴；（2）解：把和分别代入，即解得：（3）解：∵能使多项式的值0，∴是多项式的一个因式又∵当时，，当时，∴是的因式∴．题型一

因式分解的综合运用1．（24-25八年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（

）①当的结果为关于x的三次三项式时，则；②若二次三项式能分解成，则；③当多项式A与B的乘积中不含项时，则；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④根据③所求列方程组求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵的结果为关于x的三次三项式，，均为非零常数，，，故①正确；，，，，故②正确；，∵多项式A与B的乘积中不含项，∴，，故③错误；④，，解得：，，故④错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解三元一次方程组，因式分解，整式的加减计算，正确理解题意列出对应的方程和方程组是解题的关键．2．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）某水果店售卖A，B，C，D四种水果套餐，其中A，B两种水果的单价相同，D种水果的单价是C种水果单价的7倍，第一天，A，C两种水果的销量相同，B种水果的销量是D种水果销量的7倍，结果第一天A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元，且四种水果第一天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于D种水果不易保存，摊主便将D种水果打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果第二天除了B种水果销量下降了20%，其他几种水果的销量跟第一天一样，若A种