广东省佛山市南海区2026年九年级上学期期中数学试题附答案

九年级上学期期中数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1．早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱文记为文，那么亏钱3文记为（）A．文 B．文 C．文 D．文2．2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．计算的结果为（）A． B． C． D．64．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）A． B．C． D．5．若两个相似三角形的面积比为，则这两个相似三角形的周长比（）A． B． C． D．无法确定6．如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（）A．7 B．8 C．9 D．107．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（）A． B．C． D．8．小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（）A．小明家到体育馆的距离为B．小明在体育馆锻炼的时间为C．小明家到书店的距离为D．小明从书店到家步行的时间为9．如图，小明同学想要测量第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内投点，通过大量的重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.7附近，则吉祥物图案的面积为（）．A．3 B．9 C．2.1 D．6.310．如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．分解因式：．12．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于．13．若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．14．已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式．15．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。16．下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：解：方程两边同乘________，得第一步去括号，得第二步移项、合并同类项，得第三步………………（1）第一步中横线处应填________，依据是_______；（2）小明在写第四步时已经发现前面的步骤有错误，请正确写出解方程的全部过程．17．小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架完全张开的侧面示意图，立杆相交于点，两点置于地面上，经测量与比对，有，．（1）连接，求证：；（2）现已测量出长度为，求长为多少厘米．18．如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明．小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．请你选择一位同学的说法，并进行证明．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。19．【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目式学习活动．同学们从收集的槐树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：序号12345678910柳树叶的长宽比22.42.12.42.81.82.42.22.11.7槐树叶的长宽比1.51.61.51.41.51.41.71.51.61.4【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差柳树叶的长宽比2.19m2.40.0949槐树叶的长宽比1.511.5n0.0089【问题解决】（1）上述表格中：m=______，n=______；（2）①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小；②该小组收集的树叶中有一片长为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，这片树叶来自于______树的可能性大；（3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率．20．某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？（参考数据：．结果保留小数点后一位）21．如图，在中，，D是的中点，E是的中点．（1）请用尺规作图法在射线上找一点F，使得（保留作图痕迹），求证：四边形是菱形；（无需证明，可直接使用）（2）在（1）的基础上，若，菱形的面积为，点M在线段上且，，请求出的长．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……（1）【问题提出】如图，是的角平分线，求证：；小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作交的延长线于点，利用“三角形相似”；小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”；请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明．（2）【理解应用】填空：如图，平行四边形中，平分交于点，则的长度为______；（3）【深度思考】如图（c），矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的长；（4）【拓展升华】如图（d），正方形中，为上一点，连接，将沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与的延长线交于点．若，求的长．23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．（1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；（2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．

答案1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】​​​​​​​12．【答案】13．【答案】且14．【答案】（答案不唯一）15．【答案】116．【答案】（1）；等式的基本性质2（或解分式方程时需两边同乘最简公分母以消去分母）（2）解：，方程两边同乘得：，

去括号得：，

移项得：，

合并同类项得：，

系数化成1得：，

检验：当时，，

所以是增根，

∴原方程无解．17．【答案】（1）证明：∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴长为厘米18．【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：如图，连接，，，四边形是平行四边形，，，，又，点D在的延长线上，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，；②选择小红的说法，证明如下：如图，连接，，由①可知四边形是矩形，，四边形是平行四边形，，．19．【答案】（1）2.15；1.5（2）①柳；②杨（3）解：四名同学用A，B，C，D表示，其中A表示小颖，B表示小娜，根据题意，列表如下：

ABCDA

B

C

D

由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同时被选中的结果共有2种．

∴P（小颖和小娜同时被选中的概率）．20．【答案】解：任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，∵，∴，，∵，∴，∴；任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，∴，四边形为矩形，∴，∴，∴；∴该活动中心移动了2米.21．【答案】（1）证明：图形如图所示：

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴四边形是菱形；（2）解：如图，连接交于点O，过点A作于点H．∵菱形的面积为，，

∴，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵

∴点M在点H的右侧，．

综上所述，的长为1．22．【答案】（1）解：小明思路：过点作，交的延长线于点，，，是△的角平分线，，，，，，；小红思路：过点作交于点，作交于点，过点作交于点，是△的角平分线，，，，．（2）4；（3）解：将△沿所在直线折叠，，，，四边形为矩形，，，，，，，；（4）解：连接，四边形为正方形，，，，．，将沿过点的直线折叠，，，，，，，，，，，．23．【答案】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，反比例函数的表达式为：，

当时，，

点D在反比例函数图象上，

该函数为矩形的“友好函数”；（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，正比例函数表达式为，

正比例函数是矩形的“友好函数”，

点C在直线上