专题03平行四边形(压轴考点)

专题03平行四边形（压轴考点）

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目录

【典型例题】.....................................................................................1

【考点一利用平行四边形的性质求解】........................................................1

【考点二添一条件成为平行四边形】..........................................................4

【考点三利用平行四边形的判定与性质求解】.................................................7

【考点四平行四边形中无刻度作图】.........................................................13

【考点五平行四边形中的折叠问题】.........................................................17

【考点六平行四边形中动点问题】...........................................................21

【考点七平行四边形中综合探究问题】......................................................28

【典型例题】

【考点一利用平行四边形的性质求解】

【例题1】（2023春•山东滨州•八年级统考期中）如图，在YA8c。中，AE=4,AD=\0,N8CQ的平分线

与8力的延长线相交于点£则的长为.

【答案】6

【分析】由平行四边形4?。，CE平分4CQ,可得NE=NBCE,利用等角对等边得出8C=10,

结合图形中线段间的数量关系即可得出结果.

【详解】解：•••四边形48c是平行四边形，

AAS//CD,AD=BC=IO,CD=AB,

・•.NE=NECO,

•.•CE平分/BCD,

・•・£BCE=NECD,

：.2E=NBCE,

BE=BC=10,

：.AB=BE-AE=\0-4=6,

CD=AB=6.

故答案为：6.

【点睹】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握运用这些

基础知识点是解题关键.

【变式1112023春・湖南长沙•八年级校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，连接力C,已知NBAC=40°,

4c6=80。，则N8C£>=.

【答案】120。/12（）度

【分析】根据平行线的性质可求得N4CQ,即可求出N8CQ.

【详解】•・•四边形488是平行四边形，N84C=40°,

:.ABHCD,

・•・AACD=ZBAC=40°,

•；ZJC5=80°,

・••/BCD=N4C8+Z.ACD=\20°,

故答案为：120。.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键.

【变式12］（2023春・浙江杭州•八年级统考期中）如图，。ABCD中,E,4是对角线42上两点,

AE=EF=CD,bADF=90°,NBCD=57°,则.

【答案】19。

【分析】设=由等腰三角形的性质和直角三角形得出。七=；4"二4七二以"/DAE=/ADE=x,

则DE=CO,推出NOCE=/£>EC=2x,再由平行四边形的性质得出NQCE=N〃CO—/〃C4=57。一工，得

出方程，解方程即可.

【详解】解:设N4O£=x,

vAE=EF,^）ADF=90u,

...DE=-AF=AE=EF,

2

Z.DAE=/.ADE=x,

vAE=EF=CD,

DE=CD,

£DCE=/DEC=2x,

•••四边形/4CQ是平行四边形，

/.AD//BC,

Z.DAE=Z.BCA=x,

/.NDCE=/BCD-ZBCA=57°-x,

:.2x=51°-x,

解得：x-19°,

即乙4DE=19。,

故答案为：19。.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；

根据角的关系得出方程是解题的关键.

【变式13］（2023春•八年级单元测试）在平行四边形/14CO中，AB=7,BF平分N4BC交边AD于点、F,

C£平分N8C。交边力。于点E,且）=2,则力。的长是.

【答案】12或16/16或12

【分析】分两种情况：如图1所示，当"与8厂有交点时，如图2所示，当CE与6尸没有交点时，分别证

明,48=4产=7,DE=CD=7,即可得到答案.

【详解】解：如图1所示，当CE与〃尸有交点时,

【答案】AB=CD（答案不唯-）

【分析】可再添加•个条件力B=CD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形48C。是

平行四边形.

【详解】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AB=CD

故答案为：AB=CD（答案不唯一）.

【点睛】此题丰要考杳平行四功形的判定.是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关犍.

【变式21］（2023春・江西赣州•八年级期中）如图，在Y48。中，E,尸分别是OC上的点，请添

加一个条件，使得四边形E引力为平行四边形，则添加的条件是（答案不唯一）.

【答案】AE=CF

【分析】根据平行四边形的性质与判定可进行求解.

【详解】解：添加的条件是力£=3,理由如下：

•・•四边形48CQ是平行四边形，

:.AB〃CD、AB=CD,

VAE=CF,

・•・DF=EB,

•:DF〃BE,

・•・四边形EBFD是平行四边形；

故答案为AE=CF.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键.

【变式22］（2023春•全国•八年级专题练习）如图，在四边形4BC。中，AB=DC,请添加一个条件，使

四边形48CQ成为平行四边形，你所添加的条件为（写一个即可）.

B

【答案】48〃0c（答案不唯一）

【分析】根据平行四边形的判定条件解答即可.

【详解】解:・：AB=DC,

再加48〃QC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

故答案为：答案不唯一）

【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

【变式231（2023春•黑龙江齐齐哈尔・九年级校联考期中）如图，在平行四边形48CO中，E,尸是对角线

上的两点，请添加一个条件______,使四边形力尸是平行四边形（填一个即可）

【答案】BF=DE（答案不唯一〉

【分析】可连接对角线4C,通过对角线互相平分得出结论.

【详解】解：添加的条件为8/=。七；

连接4C交BD于O

•・•四边形48C。是平行四边形,

AO=CO.BO=DO,

<BF=DE,

・•・四边形力5"是平行四边形；

故答案为：BF=DE（答案不唯一）.

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键.

【考点三利用平行四边形的判定与性质求解】

【例题3】（2023春•全国•八年级期中）如图，在中，b是CO的中点，延长到点£使

连结8F,CE.

⑴求证：四边形4E6是平行四边形；

（2）若力8=6,力0=4,N4=60°,求CE的长.

【答案】（1）见解析

⑵后

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到力且力"=£）C由产是CD的中点，得到一根

据平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）如图，过点C作CHLBE于点H.解直角三角形得到C”,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】（1）证明：在。4BCD中,AB//CD,且力B=DC.

•・•尸是CD的中点,

：.CF=jCD.

又♦:BE=gAB,

:・CF=BE,旦CF〃BE,

・•・西边形BECF是平行四边形；

（2）解：如图，过点C作CHJL8E于点

・・・NCBE=60。.

•：4B=6,40=4,,

:・CB=AD=4,

：.BH=^CB=2,C，=20.

在匚BECF中,BE=CF=^CD=3,则1.

:.在Rt/\CHE中，根据勾股定理如CE=+仅可=713.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理.平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认

直领会它们D间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

【变式31］（2023春・全国•八年级专题练习）如图，在Y48CO中，AE1BD,CF1BD,垂足分别为点

点尸，连接/尸、CE.

⑴试判断彳E与b的关系，并说明理由；

⑵若CQ=CE,的面积是2cm二则Y48co的面积为.

【答案】（1）力£=3，力E〃b，理由见解析；

⑵12cm2.

【分析】（1）求出48E=NCZ）F,由NEJLA。，CF1BDnJWZAEB=ZCFD=90°,AE//CF,证明

△/i8Eg.CO*AAS）,即可得到力E=C/；

（2）证明四边形力EC/为平行四边形，和△CE。是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得

BE=EF,EF=FD,求出和△力广。的面积是2cm?,进而可得答案.

【详解】（1）解：AE=CF,AE//CF,

理由：•・•在Y/8CZ）中，AB//CD,AB=CD,

：.ZABE=/CDF,

VAE1BD,Cb±BD,

：・&EB=NCFD=90°,AE//CF,

"BE=NCDF

在“BE和ACDF中，•乙4EB=£CFD,

AB=CD

.•・“BEaCDF(AAS),

，AE=CF,

（2）解：VAE=CF,AE//CF,

・•・四边形/EC产为平行四边形，

・•・AF=CE,

♦:CD=CE,AB=CD,

AF=AR.

・•・4ABF和△CE。是等腰三角形，

AE1BF,CFVED,

:・BE=EF,EF=FD,

■:L\AEF的面积是2cm2,

/.A/1BE和/\AFD的面积是2cnf,

AABD的面积是6cm'，

:、Y/BCD的面积为12cm2，

故答案为：12cm,.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，灵

活运用各性质进行推理计算是解题的关键.

【变式32］（2023春・全国•八年级专题练习）如图，四边形480）中，AC,相交于点O,点。是力C的

中点，ADUBC.

（1）求证：四边形448是平行四边形；

（2）若AD=BD=4,且N4QB=90°,求4c的长.

【答案】（1）见解析；（2）4石

【分析】（1）由已知条件易证△/。。0△CO4,由此可得。。=。3,进而可证明四边形力4C。是平行四边形;

（2）根据平行四边形的性质得出力。=2。4利用勾股定理即可解决问题.

【详解】（1）证明：:。是4c的中点，・・・。4=。。，

■:ADHBC,N/Q0=Z.CB0,

NADO=/CBO

在4A0D和丛COB中，，/彳0。=NC0B,

0A=0C

：.4A0D也&COB,OD=08.

•・・Q4=0C,・••四边形488是平行四边形.

（2）解：•・•四边形48co是平行四边形,

：.0B=0D=；BD=2,AC=2OAf

V^ADB=90°,I0A=JAD2+0D?=加+2、=2石，

：・AC=2OA=4卡.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是

证明四边形力8C。是平行四边形，属于中考常考题型.

【变式33］（2（）23春•全国•八年级专题练习）如图，在四边形48C。中，4=48C=90。，AD=\,BC=3,

点E是边C。的中点，连接BE并延长与力。的延长线交于点尸，连接C尸、BD.

⑴求证：四边形4。”是平行四边形；

⑵若BC=BD,求职的长.

【答案】（1）见解析

⑵2后

【分析】（1）证△4EC也△尸（AAS）,得BE=FE,即可得出结论；

（2）由勾股定理得力4,再由平行四边形的性质得。「=4。=3,KiJAF=AD+DF=4,然后由勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：VZA=ZABC=90\

，/4+N/8C=180°,

:,BC〃AD,

：,ZCBE=ZDFE,

又•「£是边。。的中点，

：,CE=DE,

在ABEC与ZXFED中，

4CBE=/DFE

<NBEC=NFED,

CE=DE

工ABEgAFEDCAAS),

:・BE=FE,

・•・四边形BDFC是平行四边形；

(2)解：°：BD=BC=3,ZJ=90°,

•*-AB=\!BD2-AD2=>/32-12=2>/2

由(1)可知，四边形引才'C是平行四边形，

:.DF=BC=3,

：.AF=AD+DF=4i

:.BF=\IAB2+AF2=J(20『+42=2#.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平

行四边形的判定与性质是解题的关键.

【变式34](2023春•浙江•八年级专题练习)如图，在四边形4BCZ)中，AD//BC,对角线4C、8Z)交于点

。，RAO=OC.

(1)求证：

①AAOESF；

②四边形ABCD为平行四边形;

⑵过点。作交AD于点E,交BC于点、F,连接，£,若N8/Q=100。，ZDBF=32°,求N/BE

的度数.

【答案】(1)①见解析；②见解析

⑵16。

【分析】(1)①由可得/。/£=/0。凡然后根据4^即可证明△/OE四△COR②同理可证

△ACD安△CCR、由全等三角形的性质可得力。=。2.又力。〃月。,则可讦四边形480。为平行四边形：

(2)先根据平行线的性质可得NEB/)=NM产=32。，//BC=18()°-/84。=80°,由线段垂直平分线的性质得

BE=DE,则NEBO=NEDB=32°,然后根据N48E=N"C-N£47ANO4"即可求得答案.

【详解】⑴证明：①•:ADI/BC,

：./OAE=NOCF,

在△力。£和△CO少中，

WOAE=DOCF

\AO=OC

\\)AOE^^COF

:.AAOE父ACOF(ASA)；

②,:AD//BC,

：.ZOAD=ZOCB,

在△/1OQ和△COA中，

1DOAD=DOCB

IAO=CO,

lD.40D=f)C0B

AAAOD^Z\COB(ASA),

:,AD=CB,

又♦:ADHBC,

・•・四边形力8C。为平行四边形：

(2)解：,:AD//BC,ZDBF=32e

"EDB=/DBF=321

由(1)②得：四边形力8c。为平行四边形，

：,OB=OD,

又'；EFLBD,

・・・止是4。的垂直平分线

:.BE=DE,

:・/EBD=/EDB=32\

'：ADIIBC,ZBAD=\OO°

・•・4ABC=180°-NRW=1800-l005=80°,

尸=80°-32°-32°=16°

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰

三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【考点四平行四边形中无刻度作图】

【例题4】(2023春•江苏淮安•八年级校考期中)在平行四边形/出CO中，“为力。的中点，请仅用无刻度

的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

⑴如图1,在6C上找出一点F,使点尸是8c的中点；

(2)如图2,在4。上找出一点G,使点BD=3GD.

【答案】⑴见解析；

⑵见解析.

【分析】(1)连接力C和80,它们的交点为O,延长E0并延长交力。于则M点为所作;

(2)连接CE交8。于点N,则N点为所作.

图1

(2)解：如图2,点G就是所求作的点：

图2

【点睛】本题考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的

性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的件质,结台几何图形的基本性质把复杂

作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形的性质.

【变式41］（2023春•江苏淮安•八年级统考期中）如图，已知平行四边形48CZ）,E为的中点，仅用无

刻度直尺作图（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）

⑵在图2中，作力。的中点G.

【答案】（1）图见解析

⑵图见解析

【分析】（1）连接力C,8。交于点O,连接50并延长，交CQ于点尸，点尸即为所求；

（2）在（1）图的基础上，连接交于点“，连接。”并延长，交力。于点G,点G即为所求.

【洋解】（1）如图所示：点厂即为所求；

图1

•・•平行四边形48CO,

AAB//DC。A=OC.AB=CD,

•・•瓦O分别为48,4C的中点，

EO//BC.BE=-AB,

2

・•・四边形为平行四边形，

：,CF=BE=-AB=-CD,

22

・•・万是CD的中点;

（2）如图所示，点G即为所求:

由（1）知。£=/，

22

・・・。为E尸的中点,

同法（1）“『得：四边形力£尸。，力EOG均为平行四边形,

AG=OE=-EF=-AD,

22

:.G是EF的中点.

【点睛】本题考查作图一复杂作图.熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键.

【变式42］（2023春•江苏•八年级期中）已知四边形彳夕。。是平行四边形，8力为对角线，分别在图①、图

②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点0，使4P=C0；

⑵如图②，点。为8。上任意一点，请仅用无刻度的直尺在8。上找出一点0,使BP=DQ.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）连接力C交8。于点O,作直线。尸交CO于点。，点Q即为所求作.

（2）连接力C,连接力Q延长至于七，连接EO延长至力。于凡连接C尸交8。于点。即为所求作.

【详解】（1）根据平行四边形的性质可得，

如图①，点0即为所求作.

（2）连接力C,连接4P延长至8C于E,连接EO延长至X。于凡连接5交8。于点。，

则如图②，点0即为所求作.

图①图②

【点睛】本题考查了作图和平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质.

【变式431（2023春・全国•八年级专题练习）如图四功形ABCD是平行四动形，请仅用无刻度的百尺按要求

作图:

⑴在图1中作一条线段，将Y月3（?。的面积平均分成两份；

⑵在图2中过点石作一条直线，将Y"CQ的面积平均分成两份.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）做出平行四边形的一条对角线即可；

（2）先确定对角线的交点。，然后再作过。、£的直线即可.

【详解】（1）解：如图所示，线段4C（或8。）即为所示.

（2）解：如图所示，直线OE即为所示.

图2

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质的应用，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键.

【考点五平行四边形中的折叠问题】

【例题5］（2023春・北京•八年级校联考期中）如图，在Y48。中，E为CD上一点,将△力。£沿力£折叠

至处，AD'与CE交于息F.若NB=52。,ZDAE=20°,乙4EC的）度数为.

【答案】72。/案度

【分析】根据平行四边形的性质得出/。=4=52。，根据折叠的性质得出/»=/，=52°,

NEAD'=ZDAE=20°，根据三角形外角的性质即可求解.

【详解】解：；四边形488是平行四边形,

/.ZD=ZB=52°,

由折叠的性质得：ZD,=ZD=52C,ZEADf=ZDAE=20°,

：.ZAEC=NO+ZDAE=52°+20°=72°,

故答案为：72°.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练学

握平行四边形的性质和折叠的性质是解决问题的关键.

【变式51］（2023春・山东济宁•八年级统考期中）如图，将YABC。沿对角线力C折叠，点8落在点£处,

CE交AD于点、F,若NB=80。，乙CAD=2NEAF,则/4C4的度数为

【答案】40

【分析】由折叠得到NJC8=4C£,/B=N£=80。，根据平行四边形的性质推雷/D4c=4C8,可得

ACE=NDAC,设/"尸=》，在△JCE中，利用内角和定理到出方程，解之即可.

【详解】解：由折叠可知4C6=4CE,Z5=ZE=80°,

•.•N8=80。，四边形48co为平行四边形.

JAD〃BC,

NDAC=NACB,

:.ZACE=ZDAC,

设NE"=x,WiJACAD=2x,

，DAC=ZACB=2x.

在X4CE中，NE+ZEAC+/ACE=180°,即80。+3x+2x=\80°,

解得：x=20°.

:.AACB=40°,

故答案为：40.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是

根据所学知识得到各角之间的关系.

【变式521（2023春・江苏镇江•八年级统考期中）在平行四边形/BCO中，七是AC边的中点，将沿力£

进行折叠点8落在点尸处.

⑴求证：CF〃AE、

（2）若/七=48=9,BC=12,求的长.

【答案】（1）证明见解析；

⑵6=4

【分析】（1）由折叠的性质可知，NAEB=4AEF,BE=EF,进而得到瑁?二底，推出NEFC=/£C尸，

再根据平角的性质和三角形内角和定理，得到=即可证明结论：

（2）连接班•交/E于点G,由折叠的性质可知,4E垂直平分"一，进而推出EG为△86的中位线，得到

EG=；CF,设/G=x,利用勾股定理列方程，解得x=2,即可求出。尸的长.

【详解】⑴证明：由折叠的性质可知，NAEB=/AEF,BE=EF,

是3C边的中点，

BE=CE,

:.EF=CE,

:.£EFC=4ECF,

•;/AEB+ZAEF+ZCEF=180°,/EFC+ZECF+NCEF=180°,

:.2/AEF=2，EFC,

AAEF=ZEFC,

ACF//AEt

(2)解:由题意可知,AE为对称轴，点B、b为对应点,

连接BF交4E于点、G,

由折叠的性质可知，/E垂直平分6F,

，BGA=NBGE,点G为BF的中点、,

・••E是8c边的中点，

EG为ABC厂的中位线，

:.EG=-CF,

2

设EG=x,则。/二2工，

vAE=AB=9,BC=\2

AG=AE-EG=9-x,BE=—BC=6,

2

在RJ4G8中，BG1-AB1AG2,

在RsEGB中，BG2=BE2-EG2,

9!-(9-A)2=62-x2,

解得：x=2,

/.CF=4.

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行的判定，等边对等角，中位线的性质，勾股定理，一元一次方程的

应用，熟练掌握折叠的性质和中位线的性质是解题关键.

【变式53］（2023春・全国•八年级专题练习）如图，将平行四边形纸片44C。按如图方式折叠，使点C与

点,4重合，点。的落点记为点ZT,折痕为ER连接CE

⑴求证：四边形/IPCE是平行四边形；

⑵若NB=45°,ZFCE=60°,AB=S，求线段D'F的长.

【答案】(1)见解析

(2)6+273

【分析】(1)先证明四边形4FCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明;

(2)作月G_L6£于点G,囚为。尸=。尸，再证明。P=6f,用勾股定理分别II算6G、E6即可.

【详解】(1)解：证明：•・•点C与点彳重合，折痕为E凡

:,N4EF=NCEF,AE=EC,

•・•四边形”CO为平行四边形，

J.AD//BC.

JZAFE=ZCEF,

:.ZAEF=ZAFE,

；/E=4F,

：,AF=EC,

又•：AF〃EC,

・•・四边形AFCE是平行四边形，

又・；AE=AF,

.••四边形"CE为菱形.

(2)如图,作力G_L8E于点G,

iy

B

则/4G8=N4GE=90°,

•・•点。的落点为点。，折痕为EF,

：・DF=DF.

•••四边形力友?。为平行四边形，

:,AD=BC.

又,：AF=EC,

:・ADAF=BCEC,BPDF=BE.

•・•在4△XGB中，/力G8=90°,/8=45°,48=6及，

・・・/G=G8=6.

•・•四边形力"CE为平行四边形，

：.AE//FC.

:.NAEB=NFCE=600.

•在&Zk/GK中，ZAGE-900,N4-60°,

AG

••GE=-jj=2\/r3，

：.BE=BG+GE=6+2x[3，

：,D'F=6+2x5.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行

四边形的性质发现D'F=BE是解题的关健.

【考点六平行四边形中动点问题】

【例题6】（2023春•浙江•八年级专题练习）如图，在四边形力8。。中，月。〃8c且4）=9。〃，BC=lcm,

点P、。分别从点儿。同时出发，点尸以的速度由4向。运动，点0以2c〃/s的速度由。向8运

动，。运动到8处停止运动，秒后直线P。将四边形48CD截出一个平行四边形.

AD

7

【答案】5或3

【分析】分别利用①当3。=4P时以及②当CQ=P。时，列方程得出答案.

【详解】解：设点P，。运动的时间为凡依题意得：CQ=2t,BQ=M,AP=t,PD=9t.

*：AD//BC,

①当80Mp时，四边形4PQ8是平行四边形.

即72/=6

7

解得/=§.

②当。。=尸。时，

四边形CQPD是平行四边形，即2t=9t,

解得：1=3.

所以经过1秒或3秒后，直线P0将四边形ABCD截出一个平行四边形.

故答案是：（7或3.

【点睛•】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

【变式61］（2023春•八年级课时练习）如图，在四边形48C。中，AD〃BC,8clCD,/IB=8cm,OC=10cm,

E是DC上一点、,且。E=3,P从4点出发以的速度向8点运动，同时。从。点出发以的速

度向C点运动，当其中一点到达终点时.，另一点也随之停止，设运动时间为，（s）,当，=时，以力、

P、E、。为顶点的四边形是平行四边形.

【答案】1或3

【分析】分两种情况，①点。在点£的左侧时，当力尸=。后时，四边形力。E夕是平行四边形，即/=32人解

得0：②点。在点E的右侧时，当4P=0E时，四边形力E0P是平行四边形，即弋2,3,解得/=3.

【详解】解：分两种情况：

①点0在点E的左侧时，

VAD//BC,

：,当AP=QE时,四动形4QEP是平行四功形.

即/=326

解得：/=1;

②点。在点E的右侧时，

VAD//BC,

・•・当4P=QE时.，四边形4E0P是平行四边形，

即尸23

解得：。3;

综上所述，当片1或3时，以力、P、E、。为顶点的四边形是平行四边形，

故答案为：I或3.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.

【变式62](2023・湖南永州•统考一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形48co是平行

四边形，点A、B、C的坐标分别为4(0,4),5(-2,0),C(8,0),点£是BC的中点，点户为线段4。上的动

点，若△4EP是以BE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为.

【答案】(1,4)或(0,4)或(6,4)

【分析】根据四边形488是平行四边形,40,4),例-2,0),C(8,0),点七是8C的中点,可求出点上的

坐标，分类讨论，①如图所示，凶BE=BP=5；②如图所示，当点P与点A重合时；③如图所示，当

BE=PE=5；图形结合，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：四边形/3CQ是平行四边形，4。，4),5(-2,0),C(8,0),

：.OB=2,OC=^BC=\0,

•・•点E是BC的中点，

ABE=CE=-BC=-x\0=5,KJ£(3,0),

22

尸lx轴，O4_Lx轴，四边形力8C。是平行四边形,

AAP//OF.OA//PF,

・•・四边形力尸尸。是矩形，

OA=PF=4,BP=5,

・•.在RtaBP/7中，BF=\1BP2-PF2=752-42=3»且8(—2,0),

:.F(i,0),

・•・P(I,4)；

••・RtZ\/OA中，PE=J。/!?+o,2=J42+32=5，

,/BE=5,

：・BE=PE=5,符号题意，

・•・PQ4)；

③如图所示，当BE=PE=5,过点P作PMlx轴于

・•.在RSPEM中，EM=dPE2-8，=用-4?=3，且E(3,0),

・•・M(6,0),

・・・P(6,4)；

综上所述，若△或尸是以8石为腰的等腰三角形，则点尸的坐标为（1,4）或（0,4）或（6,4）,

故答案为:（1,4）或（0,4）或（6,4）.

【点睛】本题主要考查图形的变换与点的坐标的综合，理解题意，掌握等腰三角形的性质，勾股定理求边

长，平行四边形的性质，点坐标的表示是解题的关键.

【变式63］（2023春•辽宁大连•八年级校考阶段练习）如图，在四边形"。。中，AB//CD,4=90。，

DC=24cm,/ID=8cm,45=26cm,动点。从点。开始沿DC边向点C以每秒1cm的速度运动，动点。从

点B开始沿历1向点力以每秒3cm的速度运动，点夕、。分别从点。、〃同时出发，当其中一点到达端点时,

另一点也随之停止运动.设运动时间为/秒.

⑴当/为何值时，四边形尸08C为平行四边形？

⑵当/为何值时，?。将四边形/1BCO的面积分成相等的两部分？

【答案】（I）当/=6秒时，四边形P。8c是平行四边形；

⑵当/二；为何值时，气?将四边形力8。。的面积分成相等的两部分.

【分析】（I）根据PC=3。，构建方程求解即可；

（2）先计算得出梯形48c。的面积，再列式计算即可求解.

【详解】（1）解：由题意得，PD=t,则尸C=24T,8。=3/,

VAB//CD,

・•.当时，四边形〃是平行四边形,

则有24T=3/,

解得"6,

当，=6秒时，四边形PQ8C是平行四边形；

（2）解：VZJ=90°,DC=24cm,JD=8cm.AB=26cm,

，梯形ABCD的面积为（24+26）x8=200,

2

'：PD=t,BQ=3i,月。=26-3/,

由题意得（'+26_3f）x8=_j_x2（）（）,

22

解得v，

2

当”;为何值时，?。将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数

构建方程解决问题.

【变式64］（2023春•江苏无锡•八年级统考期中）如图①，在平行四边形"S中，/1B=3,/D=6,动点P

沿,4。边以每秒/个单位长度的速度从点A向终点。运动.设点P运动的时间为（＞（））秒.

⑴线段PQ的长为_（用含/的代数式表示）；

⑵当C尸平分乙?时，求/的值.

⑶如图②，另一动点。以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在C8上往返运动.P、。两点同时出发,

当点尸停止运动时，点。也随之停止运动.若以尸、力、。、E为顶点的四边形是中心对称图形，求此时/

的值.

【答案】⑴6-：

（2）6

⑶段或8或日

【分析】（1）直接根据尸。=力。-力产求解即可；

（2）由'I'行线的性质和角中分线的定义证明NOPC=N。”,得到。尸=。。=3,然后列方程求解即可;

（3）分4种情况列一元一次方程求解即可.

【详解】⑴解：由题意可得,PD=AD-AP=6-t.

（2）•・•四边形力8。。是平行四边形，

AAD//BC,CD=AB=3,

：./DPC=NBCP.

•・•CP步分/BCD,

・•・/8CP=/OCP,

・•・£DPC=ZDCP,

:・DP=DC=3,

6-L=3,

2

/./=6；

（3）由题意得：以P、。、Q、8为顶点的四边形是平行四边形,

当0W3时，由题意得

6-1/=6-2r,

解得£=0（舍去）；

当3</46时，由题意得

6—t=2t-6,

2

24

解得

当6</W9时，由题意得

6-L=18-2f,

2

解得£=8；

当9<区12时，由题意得

6--r=2/-18,

2

解得/=£48;

综上可知，/的值为?三4或8或4£8.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思

想，分类讨论是解答本题的关键.

【考点七平行四边形中综合探究问题】

【例题7】（2023•四川达州・统考一模）如图，在梯形/3CQ中，AD〃BC,点、E在BC上,且4B〃DE,

⑴试判断四边形力“石。的形状，并说明理由；

（2）若==EC=BE,

①求N力的度数；

②当OC=4cm时、求四边形力8£。的面积.（结果精确到O.Olcm?）

【答案】⑴四边形力8£。是平:行四边形，理由见解析

⑵①60。；②13.86cm2

【分析】（1）根据平行四边形的判定定理可直接得出结论；

（2）①根据平行四边形的性质和已知条件证明△OCE是等边三角形，可.得NOEC=60。，再根据平行线的

性质得出答案；②作DF14c于点凡可得C尸=gEC=2cm,然后在Rh。"'中，利用勾股定理求出

然后计算即可.

【详解】⑴解:四边形44七£＞是平行四边形,

理由：,:AD〃BC,AB//DE,

，四边形ABED是平行四边形；

（2）解：①•••四边形是平行四边形，

AD=BE,AB=DE»

VAB=AD=DC,EC=BE,

・•・DE=CD=EC,

・•・aocE是等边三角形，

/DEC=60°,

VAB//DE,

・•.Z5=ZZ)EC=60°；

②:DC=4cm,

AAD=BE=EC=DC=4cm,

作Db1BC于点、F,

由①知4DCE是等边三角形，

/.CF=-£C=2cm,

2

在RSOC产中，根据勾股定理得：DF=>JCD2-CF2=>/42-22=Vl2cm»

，四边形ABED的面积=BE•QE=4x01亡13.86cm2.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知

识，能够熟练应用所学知识进行推理计算是解题的关键.

【变式71](2023春•北京海淀•八年级人大附中校考期中)已知Y/18CQ,BC=2.

⑴如图1,若以BC为边作等边MCE,且点E恰好在边力。上，直接写出此时Y/I8CQ的面积；

⑵如图2,若以8c为斜边作等腰直角△8B,且点尸恰好在边力。上，过C作CG_LCQ交4尸于G,连接

AC.

①依题意将图2补全：

②用等式表示此时线段C'DCG,4G之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,以8c为边作oBCMV,且NGWN=60。，BN=3.若NA工BD,直接用等式表示此时9与附

的数量关系.

【答案】⑴Y48CQ的面积为26：

⑵①见解析；②CG=C7）+月G：理由见解析

⑶BQ2+NT=13.

【分析】（1）作口于点/,利用等边三角形的性质求得8/的长，再利用勾股定理求得目的长，最后

利用平行四边形的面积公式求解即可；

（2）①依照题意补全图形即可；

②延长CE交的延长线卜点儿延长CG交/?力的延长线卜点利用ASA讦明△"8/gAGB,推出

GC=BH,FG=FH,再证明£^人7段2\4777谷人$）,推山力G=4H,即可证明CG=CO+』G；

（3）连接8M,作并交MN的延长线于点K,推出四边形4DWN是平行四边形，得到△8“。是

直角三角形，BD2+DM2=BD2+NA1=BM2,求得5M即可解决问题.

【详解】（1）解：作E/_L8C于点/,

•・•&BCE是边长为2的等边三角形，

.・.BI=IC=-BC=\,

2

:.EI7BE'-BI2=B

・•・此时YABCD的面积为8CxE/=2XG=26；

（2）解：①补全图形如图，

@CG=CD+AG；理由如下，

延长CF交BA的延长线于点H,延长CG交BA的延长线于点J,

•・•/\BCF是以BC为斜边的等腰直角三角形，

:・BF=CF,NBFC=NBFH=9Q。,ZF5C=45°,

•・•四边形力8c。是平行四边形，

AAD//BC,AB=CD,

・•・£AFB=NFBC=45°=Z.AFH,

•・•四边形力8。。是平行四边形，CG工CD,

・•・£BJG=2GFC=,

・•・土HBF=90°-NBGJ=90°-NFGC=NGCF,

AHFB=AGFC=W

在和"C/中，8F=C/，

NHBF=ZGCF

LAHBFQAGCF内A),

：.GC-BH,FG-FH,

又•：NAFB=/AFH,FA=FA.

・•・△力尸G0(SAS),

AG=AH,

・•・CG=BH=BA+AH=CD+AG；

(3)解：RD?+NA?=13.

连接8W,作8K_LMN并交MN的延长线于点K,

BC

由超意得"N=AO=8c=2,MN//AC//BC,

・•・四边形ADMN是平行四边形，

:,MD=AV,MD//NA,

'ZNALBD,

:,MD1BD,即RMD是直角三角形,

•・•四功形4CMN是平行四i力形,3ZCW=60°.

・•・/CBN=ZCMN=60°,ZKBN=90°-6030°,

•・•BN=3,

:.KN==BN=3,BK=y/BN2-KN2=—,

222

7

KM=KN+MN=一，

2

BM=JBK〜KM?=>f\3，

/.BD2+DM2=BM2=\3,HPBD2+NA2=\3.

【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾