一轮复习北师大版第九章第2节 用样本估计总体学案

第2节用样本估计总体

考纲展示

1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、

茎叶图，体会它们各自的特点.

2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

3.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解

释.

4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基

本数字特征,理解用样本估计总体的思想.

5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

…'..................必备知识..........................L

/知迟梳理

1.作频率分布直方图的步骤

求极差（即一组数据中量大值与最小值的差）

作

频

率决定组距与组数

分

布

直将数据分组

方

图列频率分布表

画频率分布直方图

2.频率分布折线图和总体密度曲线

⑴频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的生点,就得频率

分布折线图.

（2）总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相

应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.

3.茎叶图

⑴定义:是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的

旁边生长出来的数.

（2）优缺点:用茎叶图表示数据的优点是（1）所有的信息都可以从茎叶图中得

到；（2）便于记录和读取,能够展示数据的分布情况.缺点是当样本数据较多或数

据位数较多时，茎叶图就显得不太方便.

4.样本的数字特征

数字

定义特点

特征

体现了样本数据的最大集中

众数在一组数据中出现次数最多的数据点，不受极端值的影响，而且

可能不唯

将一组数据按大小顺序依次排列，处在最

中位中位数不受极端值的影响，仅

中间位置的一个数据（或最中间两个数据

数利用了排在中间数据的信息

的平均数）

在频率分布直方图中，平均数

平均如果有n个数X1,X2,…，Xn,那么的估计值等于每个小矩形的

行三（X1+X2+…+Xn）叫作这n个数的平均数

数n面积乘以小矩形底边中点的

横坐标之和

标准差是样本数据到平均数的一种平均反映了各个样本数据聚集于

标准距离，即S二样本平均数周围的程度.标准

差差越小，表明各个样本数据在

222

-[+(x2-x)H----1-(Xn-X)]

y1n样本平均数周围越集中；标准

02/16

差越大，表明各个样本数据在

样本平均数的两边越分散

同标准差一样用来衡量样本

标准差的平方,即

方差数据的离散程度，但是平方后

222

S=-[（X|-X）"+（x2-x）+---+（Xn-x）]

n

夸大了偏差程度

2重要结论

⑴频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1,纵轴的单位是频率除以组距

的商,各组数据的频率比等于各小长方形的高度之比.

⑵在频率分布直方图中，各组的中点值乘以各组的频率之和即为样本数据平均

值的估计值.

⑶在频率分布直方图中,垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分，则

其对应的数据即为中位数的估计值.

（4）若Xi,X2,…X”的平均数是"刃小么mxi+a,mxz+a,・・・，mXn+a的平均数是

诉a.xa.Xi,X2,・・♦,Xn的方差与十a,X2十a,…，xda的方差/口等；x1，X2,・♦・，仆的方差

为s'；则axi+b,axz+b,・・・,ax“+b的方差为a2sL

♦基础自测

1.判断下列结论的正误.（正确的打“J”，错误的打“X”）

⑴平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.（）

⑵一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论.（）

⑶从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后,原有的

具体数据信息就被抹掉了.（）

⑷茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，

相同的数据可以只记一次.（）

4.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出

的分数的平均数为.?

899

9011

解析：由题中茎叶图可知,5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,

故平均数为89+89+9。+91+91=90.

5

答案：90

2

5.若数据Xi,x2,x3,•••,Xn的平均数±二5,方差S=2:则数据

3x^1,3x2+1,3x3+1,…，3xn+l的平均数和方差分别为,.?

解析：因为xbx2,x「・,xn的平均数为5,

所以"乃+如+…+建5,

n

所以3巧+3外+3与+...+3知+1=3X5+1=16.

n

因为Xi,x2,x3,,­•,Xn的方差为2,

2

所以3X1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+l的方差是3X2=18.

答案：1618

■->..................关键能力...........................

考点一茎叶图

IA题组过关

1.中国诗词大会的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一

次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于

85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗

词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按

照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词达人”

称号的人数为（）

A.2B.4C.5D.6

解析：由题中茎叶图可得，获“诗词达人”称号的有8人,根据该次比赛的成绩按

照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词达人”

称号的人数为10X%2.故选A.

40

2.如图,是2021年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统

计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()

9

4464

A.84,4.84B.84,1.6

C.85,1.6D.85,4

解析：由题中茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分79后,

所剩数据84,84,86,84,87的平均数为

84+84+86+84+87

方差为工X[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]二匹1.6

55

故选C.

3.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为

()

1367

2941

10

11

A.92,94B.92,86C.99,86D.95,91

06/16

解析：由题中茎叶图可知,中位数为92,众数为86.故选B.

g反思归纳

茎叶图的绘制及应用

⑴一般制作茎叶图的方法是:将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作

为“叶”，茎相同者共用一个茎,茎按从小到大顺序由上到下列出.

⑵估计数字特征，给定两组数据的茎叶图，“重心”下移者平均数较大,数据集

中者方差较小.

考点二频率分布直方图

［例1］某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位:m'）和使用了

节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用[0,[0.1,[0.2,[0.3,[0.4,[0.5,[0.6,

水量0.1)0.2)0.3)0.4)0.5)0.6)0.7)

频数13249265

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用[0,[0.1,[0.2,[0.3,[0.4,：0.5,

水量0.1)0.2)0.3)0.4)0.5)0.6)

频数151310165

⑴在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;

3.4

3.2

3.0

2.8

2.6

2.4

2.2

2.0

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.10.20.30.40.50.6日用水量/n?

⑵估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35淀的概率；

⑶估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组

中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

解：（1）如图所示.

⑵根据（1）中数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35的频率为

0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,

因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.

08/16

⑶该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

3*X(0.05X1+0.15X3+0.25X2+0.35X4+0.45X9+0.55X26+0.65X5)=0.4

8.

该家庭使用了节水龙头后,50天日用水量的平均数为

完2若X(0.05X1+0.15X5+0.25X13+0.35X10+0.45X16+0.55X5)=0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)X365=47.45(m3).

g反思归纳

撅率、频数、样本容量的计算方法

⑴髭X组距二频率.

组距

⑵频数二频率,色婺二样本容量，

'"样本容量少人干,频率什5廿里'

样本容量X频率二频数.

提醒:绘制频率分布直方图时的三个注意点

①制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正

确；

②频率分布直方图的纵坐标是誓,而不是频率；

③注意中值估算法二

［对点训练1］“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”

的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不R］年龄和不问职业

的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度

高).现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组，第一组：［20,25),第二

组：［25,30),第三组：［30,35),第四组:［35,40),第五组:［40,45］,得到如图所示

的频率分布直方图，已知第一组有6人.

⑴求X；

⑵求抽取的X人的年龄的中位数；(结果保留整数)

⑶从该市大学生、律师、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法

依次抽取6人、42人、36人、24人、12人,分别记为1—5组,从这5个按年龄

分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的

成绩，年龄组中1—5组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1—5组的成绩

分别为93,98,94,95,90.

①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；

②以上述数据为依据,评吩5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,

并谈谈你的感想.

解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为

0.01X5=0.05,

所以幺0.05,

X

所以x=120.

⑵设中位数为a,

则0.01X5+0.07X5+(a-30)X0.06=0.5,

所以a二2弋32,则中位数为32.

⑶①5个年龄组成绩的平均数为HiWx(93+96+97+94+90)=94,

方差为4WX[(-1)2+22+32+04(-4)2]=6.

10/16

5个职业组成绩的平均数为为二：X(93+98+94+95+90)=94,

方差为s对X[(-1)2+42+02+12+(-4)2]=6.8.

②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定(感

想合理即可).

考点三样本的数字特征

角度一样本的数字特征与直方图交汇

[例2]某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时)，以

[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]

分组的频率分布直方图如图所示.

⑴求直方图中x的值；

⑵求月平均用电量的众数和中位数；

⑶在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户

中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220,240)的用户中

应抽取多少户？

解：(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)X20=l,

得x=0.0075.

⑵由题图可知，月平均用电量的众数是誓竺二230.

因为(0.002+0.0095+0.Oil)X20=0.45<0.5,

又(0.002+0.0095+0.011+0.0125)X20=0.7>0,5,

所以月平均用电量的中位数在［220,240)内.

设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)X20+0.0125X(a-220)=0.5,

得a=224,

所以月平均用电量的中位数是224.

（3）月平均用电量为［220,240）的用户有0.0125X20X100=25（户）;

月平均用电量为用40,260）的用户有0.0075X20X100=15（户）;

月平均用电量为用60,280）的用户有0.005X20X100=10（户）;

月平均用电量为［280,300］的用户有0.0025X20X100=5（户）.

抽取比例为111

254-15+10+55

所以从月平均用电量在［220,240）的用户中应抽取25X^5（户）.

2反思归纳

⑴频率分布直方图中：

①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；

②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；

③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的

面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.

⑵平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,平均数、中

I位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.方差是标准差的平|

回

［对点训练2］某地居民的月收入（单位:元）调查所得数据的频率分布直方图如

图，居民的月收入的中位数大约是（）

12/16

含

0.0005............................————

0.0004..................——

0.0003..........................................................

0.0002.........——

0.0001..........................................................1

&1嬴）2肃25；）03嬴35益40；）0月&人/元

A.2100B.2400C.2500D.2600

解析:从频率分布直方图，可以知道要使得两边的面积相等，平分面积的直线应

该在2000-2500之间，设该直线的方程为x=a,则500X(0.0002+0.000

4)+0.0005X(a-2000)=0.0005X(2500-a)+500X(0.0005+0.0003+0.0001),

解得a=2400,即居民的月收入的中位数大约是2400.故选B.

角度二样本的数字特征与茎叶图交汇

［例3］为比较甲、乙两地某月11时的气温情况:随机选取该月5天11时的气温

(单位：℃)数据制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地

该月11时的平均气温高1℃,则甲地该月11时的平均气温的标准差为()

甲乙

982689

2m031

A.2B.V2C.10D.V10

解析：甲地该月5天11时的气温(单位：℃)数据为28,29,30,30+m,32,

乙地该月5天H时的气温(单位：℃)数据为26,28,29,31,31,

则乙地该月11时的平均气温为(26+28+29+31+31)+5二29(℃),

所以甲地该月11时的平均气温为30℃,

故(28+29+30+30+m+32)4-5=30,

解得m=l.

则甲地该月11时的平均气温的标准差为

Ix[(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2+(32-30)2]

J

故选B.

2反思归纳

⑴平均数反映了数据取值的平均水平,而方差、标准差描述了一组数据围绕平

均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定;标准差、方

差越小,数据的离散程度越小,越稳定.

⑵用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.

［对点训练3］如图所示的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩

女生男生

7537

66228

53107145

53322008023668

309336

根据茎叶图,得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论,其中错误的一项是

()

A.15名女生成绩的平均分为78

B.17名男生成绩的平均分为77

C.女生成绩和男生成绩的中位数分别为82,80

D.男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重

解析：15名女生成绩的平均分为

—X(90+93+80+80+82+82+83+83+85+70+71+73+75+66+57)=78,A正确；17名男生

1