西北大学《流体力学》课件-第3章流体力学基础

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第三章流体力学基础

§3–4连续方程式§3–1引言§3–2描述流体运动的方法§3–3流体运动的基本概念§3–5理想流体的运动微分方程§3–6伯努利方程及其应用§3–7系统与控制体§3–8动量方程§3–9动量矩方程

西北大学《流体力学》2§3-1

引言

流体动力学的基础知识，基本原理和基本方程与工程流体力学的各部分均有一定的关联，因而本章是整个课程的重点。3§3-2

描述流体运动的方法描述流体运动的方法：

一、拉格朗日法

定义：

把流体质点作为研究对象，研究各质点的运动历程，然后通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律，这种方法叫做拉格朗日法。实质是一种质点系法。4

用拉格朗日法描述流体的运动时，运动质点的位置坐标不是独立变量，而是起始坐标a、b、c和时间变量t的函数，即（3—1）

式中a，b，c，t统称为拉格朗日变量，不同的运动质点，起始坐标不同。

用拉格朗日法分析流体运动，在数学上将会遇到困难。除少数情况外（如研究波浪运动），在流体运动中多采用欧拉法。5二、欧拉法

定义：

用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x，y，z和时间变量t的连续可微函数。x，y，z，t称为欧拉变量，因此

速度场可表示为：（3—2）

不研究各个质点的运动过程，而着眼于流场（充满运动流体的空间）中的空间点，即通过观察质点流经每个空间点上的运动要素随时间变化的规律，把足够多的空间点综合起来而得出整个流体运动的规律，这种方法叫做欧拉法（流场法）。6压强和密度场表示为：

（3—3）

（3—4）

式（3—2）中x，y，z是流体质点在

t

时刻的运动坐标，即是时间变量

t

的函数。因此，根据复合函数求导法则，并考虑到可得加速度在空间坐标x，y，z方向的分量为（3—5）7矢量式为（3—5a）其中加速度的组成当地加速度。表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化。迁移加速度。表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率。

用欧拉法求流体质点其它运动要素对时间变化率的一般式子为（3—6）称为全导数，为当地导数，为迁移导数。8§3-

3流体运动的基本概念一、定常流动与非定常流动

定义：

在实际工程问题中，不少非定常流动问题的运动要素随时间变化非常缓慢，可近似地作为定常流动来处理。否则，称为非定常流动。

若流场中各空间点上的一切运动要素都不随时间变化，这种流动称为定常流动。即9二、迹线和流线

定义：

图3—1迹线

根据迹线微分方程为（3—7）用拉格朗日法描述流体运动引进迹线概念。1、迹线

特定位置（x，y，z）处某流体质点随时间推移所走的轨迹。如图3—1所示。10

图3—2流线2、流线

定义：流线的微分方程：

设流线上一点的速度矢量为流线上的微元线段矢量根据流线定义，可得用矢量表示的微分方程为（3—8）若写成投影形式，则为（3—8a）用欧拉法形象地对流场进行几何描述，引进了流线的概念。

某一瞬时在流场中绘出的曲线，在这条曲线上所有质点的速度矢量都和该曲线相切，则此曲线称为流线。如图3—2。11[例题3—1]已知速度场为其中k为常数，试求流线方程。由式（3—8a）有积分上式的流线方程为如图3—3所示，该流动的流线为一族等角双曲线。

流线的性质：[解]根据及可知流体运动仅限于的上半平面。图3—3双曲流线

（1）一般情况下，流线不能相交，且只能是一条光滑曲线；（2）在定常流动条件下，流线的形状、位置不随时间变化，且流线与迹线重合。12三、流管、流束与过流断面

定义：

图3—4流管图3—5流束和总流图3—6过流断面

由于流线不能相交，所以各个时刻，流体质点只能在流管内部或沿流管表面流动，而不能穿越流管，故流管仿佛就是一根真实的管子。1、流管

在流场中取任意封闭曲线C，经过曲线C的每一点作流线，由这些流线所围成的管称为流管。如图3—4所示。132、流束3、过流断面

当组成流束的所有流线互相平行时，过流断面是平面；否则，过流断面是曲面。流管内所有流线的总和称为流束。断面无穷小的流束称为微小流束，（元流）如图3—5中断面为的流束。无数微小流束的总和称为总流。

定义：

与流束中所有流线正交的横断面称为过流断面。如图3—6所示。定义：14四、流量与断面平均速度1、流量

定义：

两种表示方法：以单位时间通过的流体体积表示，称为体积流量（流量），记为以单位时间通过的流体质量表示，称为质量流量，记作流经任意曲面的流量（3—10）

式中为速度矢量与微元面积法线方向单位矢量的夹角余弦。单位时间内通过某一特定空间曲面的流体量称为流量。152、断面平均流速五、一元流动、二元流动、与三元流动

（3—11）即为断面平均速度。流经过流断面的体积流量Q除以过流断面面积A，即定义：

运动要素是一个坐标的函数，称为一元流动。运动要素是二个坐标的函数，称为二元流动。运动要素是三个坐标的函数，称为三元流动。定义：16§3-4连续方程式

在流场的任意点处取微元六面体，如图3—7。六面体中的质量随空间和时间变化。（1）空间变化

图3—7

例如：对于x轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为流出的质量为其质量增加为同样y、z轴方向的质量增加分别为17（2）时间变化

设任意时刻微元六面体内的质量力为，单位时间内变为，所以由于密度的变化单位时间内微元六面体内增加的质量为

根据质量守恒定律，流体运动的连续方程式为：即（3—12）

物理意义：

空间上质量的增加量应该等于由于密度变化而引起的质量增加量。18（1）恒定压缩性流体，，则式（3—12）变为（3—13）（3—14）在柱坐标系中，连续方程式为（3—15）式中是速度u

在坐标上的分量。在球坐标系中，连续方程式为（3—15a）（2）非压缩性流体，常数，则式（3—12）变为19§3-5理想流体的运动微分方程

上节讨论了连续性方程，它反映了流体运动速度场必须满足的条件，这是一个运动学方程。现在我们分析流体受力及运动之间的动力学关系，即建立理想流体动力学方程。一、理想流体运动微分方程（欧拉方程）

设在x，y，z轴方向上的单位质量力为又设流体的密度为，加速度的三个分量为

考虑如图3—8所示的边长为的微元直角六面体，其中角点A坐标为，作用在此直角六面体上的外力有两种：表面压力和质量力。20根据牛顿第二定律得x方向的运动方程式为式中上式简化后得（3—16）同理

图3—821将式（3—5）代入式（3—16）则得

上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉运动微分方程式。

式中x，y，z，t为四个变量，为x，y，z，t的函数，是未知量。也是x，y，z的函数，一般是已知的。（3—17）22

在柱坐标系中，欧拉运动微分方程为（3—18）

又式中是速度u在坐标轴上的分量。分别是单位质量的外力在坐标轴上的分量。23§3-6伯努利方程及其应用

伯努利方程是能量守恒与转换定律在流体力学中的具体体现。一、理想流体的伯努利方程将式（3—16）中各式分别乘以。相加得(3—19）在稳定条件下24

此外，稳定流时流线与迹线重合，质点沿流线运动，故流线上速度分量为因此代入式（3—19）25

对于质量力只有重力的不可压缩流体，z轴垂直向上为正，则上式可写成，积分上式得(3—20）

式（3—20）就是单位质量不可压缩理想流体在稳定流条件下沿流线的伯努利方程式。

对于同一流线上任意两点，上式可写成（3—21）

物理意义：

26二、总流上的伯努利方程（3—22）

其中，积分得通过总流两过流断面的总机械能之间的关系式为

将式（3—21）各项同乘以，则单位时间内通过微元流束两过流断面的全部流体的机械能关系式为

在工程实际中要求我们解决的往往是总流流动问题。如流体在管道、渠道中的流动问题，因此还需要通过在过流断面上积分把它推广到总流上去。27

其中（1）它是单位时间内通过总流过流断面的流体位能和压能的总和。

在急变流断面上，各点的不为常数，积分困难。在渐变流断面上，流体动压强近似地按静压强分布，各点的为常数。（3—33）因此，若将过流断面取在渐变流断面上，则积分28（2）它是单位时间内通过总流过流断面的流体动能的总和。由于过流断面上的速度分布一般难以确定，工程上常用断面平均速度来表示实际动能，即（3—34）

式中为动能修正系数

（3—35）

工程计算中常取。29

将式（3—34）、（3—35）代入式（3—33）中考虑到稳定流动时，，化简后得（3—36）

这就是理想流体总流的伯努利方程。（3—37）式中因此实际流体总流的伯努利方程为：

实际流体有粘性，由于流层间内摩擦阻力作功会消耗部分机械能转化为热能。30三、伯努利方程的应用

[例题3—2]一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图3—9。泵出口压力（A点压力）为2个大气压（表压），泵排出管断面直径为50mm；喷嘴出口C的直径20mm；水龙带的水头损失设为0.5m；喷嘴水头损失为0.1m。试求喷嘴出口流速、泵的排量及B点压力。泵

图3—9例3—2图1、一般水力计算31[解]取A、C两断面写能量方程：

通过A点的水平面为基准面，则；（在大气中）；水的重度重力加速度；水柱，即

将各量代入能量方程后，得32解得喷嘴出口流速为。而泵的排量为为计算B点压力，取B、C两断面计算，即

通过B点作水平面基准面，则代入方程得解得压力332、节流式流量计

下面以文丘利管为例，推导流量计算公式。

文丘利管是一种测量有压管道中流体流量的仪器，它由光滑的收缩段、喉道和扩散段三部分组成。如图3—10所示。

当管路中液体流经节流装置时，液流断面收缩，在收缩断面处流速增，压力降低，使节流装置前后产生压差。

基本原理：分类：孔板、喷嘴和圆锥式（文丘利管）图3—12文丘里流量计34

取断面1—1和2—2，计算点均取在管道上，基准面0—0置于管道下方某一固定位置，并取。对1—1、2—2两过流断面列总流的伯努利方程有由连续性方程可得联立上面二式可得35

故通过流量计的体积流量为考虑到流体粘性的影响，上式右端需乘以一个流量修正系数则（3—38）363、毕托管

毕托（Pitot）管是指将流体动能转化为压能，进而通过测压计测定流体运动速度的仪器。常用于测量河道、明渠、风管中的流速，还可测量物体在流体中的运动速度，如船舶、飞机等的航行速度测量可用毕托管。毕托管有简单和复合之分，其机构及测量原理如图所示。

简易毕托管

复合毕托管1、237

简易毕托管是依据驻点流速为零，其动能转变为压力能，从而使管内液面上升的原理设计成的。38

工程中使用的毕托管都必须经过严格标定，说明测量条件和流体种类，而且在安装时应按说明书要求去做，以减少测量误差。39§3-7系统与控制体

在流体力学中，系统是指由确定的流体质点所组成的流体团。如图3—11所示。系统以外的一切统称为外界。系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统的边界。

图3—11系统

系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的形状和大小可以随时间变化。系统的边界处没有质量交换，即没有流体流进或流出系统的边界。在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力。在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出系统的边界。

特点：

定义：40

使用系统来研究流体运动意味着采用拉格朗日的观点。在流体力学中，除个别情况下，一般采用欧拉法研究流体运动。与此相应，引入了控制体的概念。

相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的任何空间的体积称为控制体。控制体的边界面称为控制面。它总是封闭表面。

控制面相对于坐标系是固定的。在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面。在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内流体上的力。在控制面上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出控制面。定义：控制面的特点：41§3-8动量方程

动量方程是理论力学中的动量定理在流体力学中的具体体现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系，其优点在于不必知道流动范围内部的过程，而只需要知道边界面上的流动情况即可。

在流场中针对具体问题，有目的地选择一个控制体，如图3—12中虚线所示。使它的一部分控制面与要计算作用力的固定边界重合，其余控制面则视取值方便而定。控制体一经选定，其形状、体积和位置相对于坐标系是不变的。图3—12动量方程一、用欧拉法表示的动量方程42

设

t

时刻流体系统与控制体V重合，且控制体内任意空间点上的流体质点速度为，密度为，则流体系统在t时刻的初动量为，经过时刻以后，原流体系统运动到实线所示位置，这个流体系统在时刻的末动量为43式中（即图3—12中部分1）—非原流体系统经控制面流入的动量；（即图3—12中部分2）—原流体系统经控制面流出的动量；—控制体的全部控制面。于是即这就是欧拉法表示的动量方程。44式中—作用在控制体内流体上所有外力的合力；—控制体内流体动量对时间的变化率。当定常流动时，该项为零。它反映了流体运动的非定常性；—单位时间内通过全部控制面的动量代数和。因为从控制体流出的动量为正，流出控制体的动量为负，所以该项也可以说是单位时间内控制体流出动量与流入动量之差（净流出的流体动量）。45

在时间内，作用在控制体内流体上的合外力等于同时间间隔内从控制体净流出的流体动量与控制体内流体动量对时间的变化率之和。

定常不可压缩总流流束如图3—13所示。把流线方向取为自然坐标s

的正向，取如图中虚线所示的总流流束为控制体，则总控制体表面上有动量交换。令这两个过流断面上的平均速度为(3—40）图3—13导出总流的动量方程式（3—39）可化简为控制体的动量定理：二、定常不可压缩总流的动量方程46

式中为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数，在常见的湍流情况下。三、动量方程的应用

图3—14水平弯管图3—15射流的背压

图3—14表示一水平转弯的管路，由于液流在弯道改变了流动方向，也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力，并设法加以平衡，以防管道破裂。1、流体作用于弯管的力47

现在我们用动量方程来确定这种作用力。同理，对于y

轴方向有从以上公式可求出与，从而可以计算R。于是按式（3—40），有沿x

轴方向的动量变化为沿x

轴方向的作用力总和为我们用两个分量来分析：48

表明：

射流反推力（背压）的大小恰好等于出流孔处的流体静压力的两倍。如果容器能够运动，射流就可能克服容器移动的阻力，而使容器向流体射出速度的反方向运动。

图3—5的容器在液面下深度等于h处有一比液面面积小得多的出流孔，其面积为A，在出流孔很小的前提下，假使只就一段很短的时间来看，其出流过程就可以当作近似的稳定流看待。这时理想流体的出流速度将是，这一瞬时，容器由流体水平方向的动量变化将决定于单位时间内由容器流出来的动量。这一动量变化当然在大小上、方向上、位置上恰好等于器壁在水平方向加在流体上的压力合力。流动流体则反过来对容器壁上作用一个方向与出流速度相反的水平推力。这个力的大小也就等于容器内流体的动量变化率，即2、射流的背压（反推力）49§3-9动量矩方程动量方程确定流体与边界之间作用力大小；动量矩方程确定流体与边界之间作用力位置；

设