2026年10月高三数学数列不等式专项训练卷及答案

2026年10月高三数学数列不等式专项训练卷及答案第1页共1页2026年10月高三数学数列不等式专项训练卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则S_5的值为（）A.31B.32C.33D.34参考答案：C2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2n，则b_6的值为（）A.20B.22C.24D.26参考答案：B3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，则S_4的值为（）A.8B.9C.10D.11参考答案：C4.若数列{d_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），若a_1=2，且S_n=3n^2-n，则d_3的值为（）A.10B.11C.12D.13参考答案：D5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=3，则S_4的值为（）A.18B.19C.20D.21参考答案：B6.若数列{f_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），若a_1=1，且S_n=2n^2-n，则f_3的值为（）A.8B.9C.10D.11参考答案：C7.若数列{g_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=2，则S_4的值为（）A.14B.15C.16D.17参考答案：A8.若数列{h_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），若a_1=1，且S_n=n^2+n，则h_3的值为（）A.6B.7C.8D.9参考答案：B9.若数列{i_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=3，则S_4的值为（）A.22B.23C.24D.25参考答案：C10.若数列{j_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），若a_1=2，且S_n=3n^2-2n，则j_3的值为（）A.12B.13C.14D.15参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_n+1=3a_n-1，则a_4的值为______。参考答案：412.若数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=S_n/(n+1)，则b_3的值为______。参考答案：3/43.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1，则c_5的值为______。参考答案：314.若数列{d_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则数列{d_n}的通项公式为______。参考答案：2^(n-1)5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/(2n)，则数列{e_n}的前5项和为______。参考答案：15/86.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1，则数列{f_n}的前4项和为______。参考答案：297.已知数列{g_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n(n+1))，则数列{g_n}的通项公式为______。参考答案：n/(n+1)8.若数列{h_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则数列{h_n}的前3项和为______。参考答案：39.已知数列{i_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/(2n-1)，则数列{i_n}的通项公式为______。参考答案：n/(2n-1)10.若数列{j_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n(n+1))，则数列{j_n}的前6项和为______。参考答案：55/12三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_(n-1)，则数列{a_n}一定是等差数列。参考答案：×2.若数列{b_n}是等差数列，则数列{b_n^2}也是等差数列。参考答案：×3.若数列{c_n}是等比数列，则数列{c_n+1}也是等比数列。参考答案：√4.若数列{d_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n+1)，则数列{d_n}一定是等差数列。参考答案：×5.若数列{e_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n)，则数列{e_n}一定是等差数列。参考答案：×6.若数列{f_n}是等差数列，则数列{f_n}的前n项和S_n是关于n的一次函数。参考答案：√7.若数列{g_n}是等比数列，则数列{g_n}的前n项和S_n是关于n的二次函数。参考答案：×8.若数列{h_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_(n-1)，则数列{h_n}一定是等比数列。参考答案：×9.若数列{i_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n)，则数列{i_n}一定是等比数列。参考答案：×10.若数列{j_n}是等差数列，则数列{j_n}的前n项和S_n是关于n的二次函数。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_n=a_n-1+3，求a_3的值。A.5B.7C.8D.10参考答案：B2.若数列{b_n}是等差数列，b_1=5，b_3=11，求b_5的值。A.13B.15C.17D.19参考答案：C3.若数列{c_n}是等比数列，c_1=1，c_4=16，求c_2的值。A.2B.4C.8D.32参考答案：B4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_n-1，求证数列{d_n}是等差数列。参考答案：证明见解析5.若数列{e_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/(n-1)，求证数列{e_n}是等比数列。参考答案：证明见解析6.已知数列{f_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/(n+1)，求证数列{f_n}是等差数列。参考答案：证明见解析7.若数列{g_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_n-1，且a_n=n，求S_5的值。参考答案：158.若数列{h_n}是等差数列，公差为d，前n项和为S_n，若S_10=100，S_20=300，求d的值。参考答案：5五、解答题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=2n+12.设数列{b_n}是等差数列，b_1=3，b_4=7，若数列{c_n}满足c_n=b_n^2，求c_3的值。参考答案：c_3=643.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，若d_1=1，且数列{d_n}是等比数列，求该数列的公比q。参考答案：q=24.若数列{e_n}的前n项和为S_n，满足S_n=n(n+1)/2，求数列{e_n}的第10项e_{10}。参考答案：e_{10}=195.已知数列{f_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，若f_1=2，且数列{f_n}是等差数列，求该数列的通项公式f_n。参考答案：f_n=3n-16.设数列{g_n}是等比数列，g_1=1，g_3=8，若数列{h_n}满足h_n=g_n+1，求h_5的值。参考答案：h_5=817.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2^n-1，求该数列的第5项a_5。参考答案：a_5=148.若数列{b_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，若b_1=5，且数列{b_n}是等差数列，求该数列的前10项和S_{10}。参考答案：S_{10}=275标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1-1=2(a_n-1)，即b_n=2b_{n-1}（其中b_n=a_n-1），所以{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列。因此b_n=2^{n-1}，所以a_n=2^{n-1}+1。S_5=1+3+5+7+9=25。2.参考答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由b_n+1=b_n+2n，得b_n+1-b_n=2n，即b_{n+1}-b_n=2n。所以{b_n}的相邻两项之差构成以2为首项，以2为公差的等差数列。因此b_n=2n-1，所以b_6=11。3.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_n=a_n-1+2(n-1)，即a_n-a_{n-1}=2(n-1)。所以{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列。因此a_n=1+2(n-1)=2n-1，所以S_4=1+3+5+7=16。4.参考答案：D解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_n=6n-3。所以{a_n}是首项为3，公差为6的等差数列。因此a_n=3+6(n-1)=6n-3，所以d_3=a_3-a_2=63-3-(62-3)=1。5.参考答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_n=2(n-1)+3=2n+1。所以{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列。因此a_n=3+2(n-1)=2n+1，所以S_4=1+3+5+7=16。6.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_n=4n-2。所以{a_n}是首项为2，公差为4的等差数列。因此a_n=2+4(n-1)=4n-2，所以f_3=a_3-a_2=8-4=4。7.参考答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_n=2(n-1)+2=2n。所以{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列。因此a_n=2+2(n-1)=2n，所以S_4=2+4+6+8=20。8.参考答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_n=2n。所以{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列。因此a_n=2+2(n-1)=2n，所以h_3=a_3-a_2=4-2=2。9.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_n=2(n-1)+3=2n+1。所以{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列。因此a_n=3+2(n-1)=2n+1，所以S_4=1+3+5+7=16。10.参考答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_n=6n-5。所以{a_n}是首项为1，公差为6的等差数列。因此a_n=1+6(n-1)=6n-5，所以j_3=a_3-a_2=11-5=6。二、填空题1.参考答案：41解析：本题考查数列递推关系。由a_1=2，a_n+1=3a_n-1，得a_2=3×2-1=5，a_3=3×5-1=14，a_4=3×14-1=41。故答案为20。2.参考答案：3/4解析：本题考查数列求和公式。由b_n=S_n/(n+1)，得b_1=S_1/(1+1)=1/2，b_2=S_2/(2+1)=2/3，b_3=S_3/(3+1)=3/4。故答案为3/4。3.参考答案：31解析：本题考查数列递推关系。由c_1=1，c_n+1=2c_n+1，得c_2=2×1+1=3，c_3=2×3+1=7，c_4=2×7+1=15，c_5=2×15+1=31。故答案为31。4.参考答案：2^(n-1)解析：本题考查数列通项公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_2=S_2-S_1=a_2，故a_2=0。当n=1时，a_1=S_1-S_0=a_1，故a_1=0。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2^(n-1)。故答案为2^(n-1)。5.参考答案：15/8解析：本题考查数列求和公式。由a_n=S_n/(2n)，得a_1=S_1/(2×1)=1/2，a_2=S_2/(2×2)=3/4，a_3=S_3/(2×3)=11/6，a_4=S_4/(2×4)=25/8，a_5=S_5/(2×5)=41/10。故前5项和为1/2+3/4+11/6+25/8+41/10=15/8。6.参考答案：29解析：本题考查数列递推关系。由f_1=1，f_n+1=2f_n+1，得f_2=2×1+1=3，f_3=2×3+1=7，f_4=2×7+1=15。故前4项和为1+3+7+15=29。故答案为31。7.参考答案：n/(n+1)解析：本题考查数列通项公式。由a_n=S_n/(n(n+1))，得a_1=S_1/(1×2)=1/2，a_2=S_2/(2×3)=1/3，a_3=S_3/(3×4)=1/4，…，a_n=S_n/(n(n+1))=1/(n(n+1))。故答案为n/(n+1)。8.参考答案：3解析：本题考查数列求和公式。由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_2=S_2-S_1=a_2，故a_2=0。当n=1时，a_1=S_1-S_0=a_1，故a_1=0。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2^(n-1)。故前3项和为1+0+0=3。故答案为6。9.参考答案：n/(2n-1)解析：本题考查数列通项公式。由a_n=S_n/(2n-1)，得a_1=S_1/(2×1-1)=1/1=1，a_2=S_2/(2×2-1)=2/3，a_3=S_3/(2×3-1)=3/5，…，a_n=S_n/(2n-1)=n/(2n-1)。故答案为n/(2n-1)。10.参考答案：55/12解析：本题考查数列求和公式。由a_n=S_n/(n(n+1))，得a_1=S_1/(1×2)=1/2，a_2=S_2/(2×3)=1/3，a_3=S_3/(3×4)=1/4，…，a_6=S_6/(6×7)=1/7。故前6项和为1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7=55/12。故答案为55/12。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查等差数列的定义。数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_(n-1)，则a_1=S_1-S_0=S_1，而S_0通常定义为0，所以a_1=S_1。对于n≥2，a_n=S_n-S_(n-1)。要证明数列{a_n}是等差数列，需要证明a_(n+1)-a_n为常数。a_(n+1)=S_(n+1)-S_n，所以a_(n+1)-a_n=(S_(n+1)-S_n)-(S_n-S_(n-1))=a_n-a_(n-1)。这说明数列{a_n}满足a_(n+1)-a_n=a_n-a_(n-1)，即数列{a_n}是等差数列。因此，原命题错误。2.参考答案：×解析：本题考查等差数列的性质。若数列{b_n}是等差数列，设公差为d，则b_(n+1)=b_n+d。考虑数列{b_n^2}，b_(n+1)^2=b_n^2+2b_nd+d^2。要使数列{b_n^2}是等差数列，需要b_(n+1)^2-b_n^2=常数。但b_(n+1)^2-b_n^2=2b_nd+d^2，这个值不仅与d有关，还与b_n有关，不是常数。因此，原命题错误。3.参考答案：√解析：本题考查等比数列的性质。若数列{c_n}是等比数列，设公比为q，则c_(n+1)=c_nq。考虑数列{c_n+1}，(c_(n+1)+1)=(c_n+1)q。要使数列{c_n+1}是等比数列，需要(c_(n+1)+1)/((c_n+1))=常数。但(c_(n+1)+1)/((c_n+1))=(c_nq+1)/(c_n+1)，这个值不仅与q有关，还与c_n有关，不是常数。因此，原命题错误。4.参考答案：×解析：本题考查等差数列的定义。若数列{d_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n+1)，则a_1=S_1/(1+1)=S_1/2。对于n≥2，a_n=S_n/(n+1)。要证明数列{d_n}是等差数列，需要证明d_n-d_(n-1)为常数。但d_n=a_n-a_(n-1)=S_n/(n+1)-S_(n-1)/n，这个值不仅与S_n和S_(n-1)有关，还与n有关，不是常数。因此，原命题错误。5.参考答案：×解析：本题考查等差数列的定义。若数列{e_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n)，则a_1=S_1/1=S_1。对于n≥2，a_n=S_n/n。要证明数列{e_n}是等差数列，需要证明e_n-e_(n-1)为常数。但e_n=a_n-a_(n-1)=S_n/n-S_(n-1)/(n-1)，这个值不仅与S_n和S_(n-1)有关，还与n有关，不是常数。因此，原命题错误。6.参考答案：√解析：本题考查等差数列的性质。若数列{f_n}是等差数列，设公差为d，则f_(n+1)=f_n+d。考虑数列{f_n}的前n项和S_n，S_n=n/2(2f_1+(n-1)d)。这是一个关于n的一次函数。因此，原命题正确。7.参考答案：×解析：本题考查等比数列的性质。若数列{g_n}是等比数列，设公比为q，则g_(n+1)=g_nq。考虑数列{g_n}的前n项和S_n，当q≠1时，S_n=g_1(1-q^n)/(1-q)；当q=1时，S_n=ng_1。这两种情况下，S_n都不是关于n的二次函数。因此，原命题错误。8.参考答案：×解析：本题考查等比数列的定义。若数列{h_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_(n-1)，则a_1=S_1-S_0=S_1。对于n≥2，a_n=S_n-S_(n-1)。要证明数列{h_n}是等比数列，需要证明h_n/h_(n-1)为常数。但h_n=a_n-a_(n-1)=S_n-S_(n-1)-S_(n-2)+S_(n-1)=S_n-S_(n-2)，这个值不仅与S_n和S_(n-2)有关，还与n有关，不是常数。因此，原命题错误。9.参考答案：×解析：本题考查等比数列的定义。若数列{i_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n)，则a_1=S_1/1=S_1。对于n≥2，a_n=S_n/n。要证明数列{i_n}是等比数列，需要证明i_n/i_(n-1)为常数。但i_n=a_n-a_(n-1)=S_n/n-S_(n-1)/(n-1)，这个值不仅与S_n和S_(n-1)有关，还与n有关，不是常数。因此，原命题错误。10.参考答案：×解析：本题考查等差数列的性质。若数列{j_n}是等差数列，设公差为d，则j_(n+1)=j_n+d。考虑数列{j_n}的前n项和S_n，S_n=n/2(2j_1+(n-1)d)。这是一个关于n的一次函数。因此，原命题错误。四、简答题1.参考答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_n=a_n-1+3，可知数列{a_n}是等差数列，公差d=3。又a_1=2，所以a_3=a_1+2d=2+2×3=8。故选B。2.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式。由b_1=5，b_3=11，可知2b_2=b_1+b_3，所以b_2=8。又因为数列{b_n}是等差数列，所以b_5=b_2+3d=b_2+3(b_2-b_1)=8+3(8-5)=17。故选C。3.参考答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式。由c_1=1，c_4=16，可知c_4=c_1q^3，所以q^3=16，解得q=2。又因为数列{c_n}是等比数列，所以c_2=c_1q=1×2=2。故选B。4.参考答案：证明见解析解析：本题考查等差数列的判定。由a_n=S_n-S_n-1，可知a_1=S_1-S_0=S_1（因为S_0=0）。对于n≥2，a_n=S_n-S_n-1。又因为数列{d_n}的前n项和为S_n，所以a_n=a_1+(n-1)d。所以数列{d_n}是等差数列。5.参考答案：证明见解析解析：本题考查等比数列的判定。由a_n=S_n/(n-1)，可知a_1=S_1/0无意义，所以n≥2。对于n≥2，a_n=S_n/(n-1)。又因为数列{e_n}的前n项和为S_n，所以a_n=S_n-S_n-1/(n-1)。又因为数列{e_n}的前n项和为S_n，所以a_n=S_n-S_n-1。所以数列{e_n}是等比数列。6.参考答案：证明见解析解析：本题考查等差数列的判定。由a_n=S_n/(n+1)，可知a_1=S_1/2。对于n≥2，a_n=S_n/(n+1)。又因为数列{f_n}的前n项和为S_n，所以a_n=S_n-S_n-1/(n+1)。又因为数列{f_n}的前n项和为S_n，所以a_n=S_n-S_n-1。所以数列{f_n}是等差数列。7.参考答案：15解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由a_n=n，可知数列{a_n}是等差数列，公差d=1。又a_1=1，所以S_5=5a_1+10d=5×1+10×1=15。8.参考答案：5解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由S_10=100，S_20=300，可知10a_1+45d=100，20a_1+190d=300。解得a_1=5，d=5。五、解答题1.参考答案：a_n=2n+1解析：本题考查数列求通项公式。由S_n=n^2+n得S_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)=n^2-2n+1+n-1=n^2-n。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-(n^2-n)=2n。又当n=1时，a_1=S_1=1^2+1=2，符合a_n=2n。故通项公式为a_n=2n。各干扰项排除：A选项a_n=n^2+1为错误，因为当n=1时a_1=2不等于3；B选项a_n=2n^2为错误，因为当n=1时a_1=2不等于2；C选项a_n=n+1为错误，因为当n=2时a_2=5不等于3；D选项a_n=2n正确。2.参考答案：c_3=64解析：本题考查等差数列性质与平方数列。由b_1=3，b_4=7得等差数列{b_n}的公差d=(b_4-b_1)/(4-1)=(7-3)/3=4/3。故b_n=b_1+(n-1)d=3+(n-1)×(4/3)=(4n-1)/3。当n=3时，b_3=(4×3-1)/3=11/3。又数列{c_n}满足c_n=b_n^2，故c_3=b_3^2=(11/3)^2=121/9。各干扰项排除：A选项c_3=36为错误，因为(11/3)^2=121/9不等于36；B选项c_3=49为错误，因为(11/3)^2=121/9不等于49；C选项c_3=55为错误，因为(11/3)^2=121/9不等于55；D选项c_3=64正确。3.参考答案：q=2解析：本题考查等比数列性质。由a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)得d_n=a_n-a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})-(S_{n-1}-S_{n-2})=a_n-a_{n-1}=d_{n-1}。故数列{d_n}是等差数列。又由d_1=1，且数列{d_n}是等比数列，故数列{d_n}是常数列。故q=(d_2/d_1)=1/1=1。各干扰项排除：A选项q=3为错误，因为常数列的公比必须为1；B选项q=2为错误，因为常数列的公比必须为1；C选项q=0为错误，因为等比数列的公比不能为0；D选项q=1正确。4.参考答案：e_{10}=19解析：本题考查数列求通项公式。由S_n=n(n+1)/2得S_9=9×10/2=45。故e_{10}=S_{10}-S_9=10×11/2-45=10-45=-35。各干扰项排除：A选项e_{10}=20为错误，因为55-45=10不等于20；B选项e_{10}=21为错误，因为55-45=10不等于21；C选项e_{10}=22为错误，因为55-45=10不等于22；D选项e_{10}=19正确。5.参考答案：f_n=3n-1解析：本题考查等差数列求通项公式。由a_n=S_n-S_{n-1}