北师大版数学八年级下册 2.4一元一次不等式组（题型专练） 同步练习 含答案

2.4一元一次不等式组题型一

一元一次不等式组的定义1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（

）A． B．C． D．3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组：①②③④⑤其中是一元一次不等式组的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是（填序号）．①；②；③；④；⑤；⑥题型二

求不等式组的解集1．（甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．2．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：．3．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：由①去分母，得第一步去括号，得第二步移项，得第三步合并同类项，得第四步系数化为1，得第五步(1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误；(2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上．4．（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）解不等式组：5．（24-25八年级上·山西太原·月考）解不等式(组)(1)(2)6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上．7．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．题型三

求一元一次不等式组的整数解1．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（

）A． B．2 C．1 D．02．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）不等式组的整数解有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．（24-25七年级上·吉林白城·月考）不等式组的整数解是．4．（25-26九年级上·重庆·月考）求不等式组的所有整数解．5．（25-26八年级上·全国·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和．6．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组的整数解．（2）求满足不等式组的最大整数和最小整数．7．（25-26九年级上·重庆·月考）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．题型四

解特殊不等式组1．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，则的取值范围是．2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是．3．（20-21七年级下·江苏南京·期末）已知的解集为，则的解集为．4．（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式的解集为．5．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）若等腰三角形的周长为，腰长为．(1)求x的取值范围；(2)若该三角形的一边长是，求该三角形的另两边长．题型五

列一元一次不等式组1．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（

）A． B．C． D．3．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（

）A． B．C． D．4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（

）A． B．C． D．5．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（

）A． B．C． D．6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组．7．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示：甲种原料乙种原料维生素C的含量/（单位/千克）600100原料价格/（元/千克）84现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C．(1)请列出x应满足的不等式；(2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式．题型一

由一元一次不等式组的解集求参数1．（25-26八年级上·山东聊城·月考）已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是．4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组的解集是，则的值是．5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的不等式有且只有4个负整数解，则a的取值范围是．6．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是．7．（25-26八年级上·重庆·期中）若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是．9．（17-18七年级下·全国·单元测试）若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是．10．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数的和为．11．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？题型二

不等式组和方程组结合问题1．（25-26八年级上·重庆·月考）设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（

）A．3 B．2或 C．3或 D．1或22．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是．3．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组(1)若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围．(2)若该方程组的解满足，求m的取值范围．4．（25-26八年级上·广东汕头·期中）若关于，的二元一次方程组的解都是正数．(1)求的取值范围；(2)化简：．5．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围．6．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数．(1)求的取值范围；(2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值．7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组(1)若，求这个方程组的解；(2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围．题型三

不等式组的行程问题1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（

）A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（）A． B．7 C．7 D．73．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组．4．（2022·河南洛阳·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．(1)请解释图中点的实际意义；(2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离；(3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间．5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．(1)若①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h(2)已知两车在P处相遇．①若P与N重合，求V的值；②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．6．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示．(1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时．(2)小张出发几小时与小李相遇？(3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案）题型四

不等式组的工程问题1．（24-25七年级下·全国·期末）为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元．(1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？(2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？(3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？2．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成．(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？(2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成．(1)求这项工程的规定工期是多少天？(2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数）4．（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积；(2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围；(3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．题型五

不等式组的经济问题1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨．(1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数）(3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？2．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元．(1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？(2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？(3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值．3．（25-26八年级上·安徽·月考）某商场购进足球和篮球共60个，篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元，已知篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，售价分别为120元／个、100元／个．现购进x（x为整数）个篮球．(1)求付款总额y和x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是多少？(3)若足球的进价涨了m（）元／个，售价不变，将这60个球全部售出能获得的最大利润是550元，求m的值．4．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？5．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表：进价/（元/件）售价/（元/件）甲种服装160210乙种服装120150现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润．(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值．6．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品工件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进．(1)求当时，与之间的函数关系式；(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲、乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围；(3)若甲、乙两种商品的销售价格分别为元件和元件，经销商将（）中购进的甲、乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，求的值．题型六

不等式组的分配问题1．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数．2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件．(1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式；(2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元．(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？(2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案；(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围．4．（2025八年级上·全国·专题练习）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用200元购进乙种图书的数量相同．(1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本；(2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案．5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数．6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题．东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料．(1)设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果）(2)的取值范围是______________；(3)设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案．东区西区合计南区北区合计7．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围．题型七

不等式组的方案选择问题1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：信息一A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）1322032310信息二A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．(1)求A，B两种型号智能机器人的单价．(2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元．(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？(2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案．3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．(1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？4．（25-26八年级上·重庆·期末）小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米．(1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价；(2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？5．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：进价（元/个）售价（元/个）A礼盒150220B礼盒100140(1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个；(2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？6．（25-26八年级上·甘肃·期末）某校为开展“阳光体育”活动，计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需380元；购买4个篮球和1个足球共需440元．(1)求每个篮球和每个足球的售价；(2)若学校计划用不超过2600元的资金购买篮球和足球共30个，且篮球数量不少于足球数量的2倍，请问有哪几种购买方案？7．（2025八年级上·重庆·专题练习）为了更好地开展阳光体育活动，某校计划购买一批排球．已知购买4个甲品牌排球的费用与购买3个乙品牌排球的费用相同，学校首次购买甲品牌排球20个、乙品牌排球30个共花费3600元．(1)求甲、乙两品牌排球的单价；(2)因排球运动受到学生们的欢迎，根据需要，学校决定再次购买甲、乙两品牌排球共50个，正逢商场举行促销活动，甲品牌排球每个优惠4元，乙品牌排球每个打8折．如果要求购买甲乙两品牌50个排球的总费用不超过2960元，且购买乙品牌排球的数量不少于甲品牌排球数量的，则有哪几种购买方案？最少需要多少费用？题型八

不等式组的阶梯收费问题1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：不超过，2元人次；超过到（含），元/人次；超过到（含），4元/人次；超过到（含），5元/人次；超过到（含），6元/人次；超过到（含），7元/人次；超过到（含），8元/人次；超过部分，票价每增加元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为．2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围．3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）．题型九

不等式组的其他应用1．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）三角形的三边分别是，，，则的取值范围．2．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知甲、乙两果园预计今年水蜜桃的产量分别为和，打算成熟后运到，两个仓库存放．仓库可储存，仓库可储存．甲、乙两果园运往两仓库的运费价格如下表：甲乙仓库150元/140元/仓库200元/180元/设从甲果园运往仓库的水蜜桃为，甲、乙两果园运往两仓库的水蜜桃的运输费用分别为（单位：元）和（单位：元）．(1)求，关于的函数解析式．(2)甲果园预计今年拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园预计今年拿出不超过50000元的费用作为运费．在这种情况下，甲果园运往仓库的水蜜桃为多少吨时，能使两果园的运费之和最小？最小是多少？4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）2023年4月23日是世界第28个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进本数x（本）之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元．(1)当时，求y与x之间的函数关系式；(2)①若只购买80本甲种图书，则需费用______元；②学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多少元？题型一

一元一次不等式组的综合应用1．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，则丙组有名同学．2．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，∵，∴2129是“天天向上数”：如3465，∵，∴3465不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被13整除，则满足条件“天天向上数”的最大值为．3．（2024·天津·模拟预测）已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围．

2.4一元一次不等式组题型一

一元一次不等式组的定义1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果．【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意；B、，是一元一次不等式组，故不符合题意；C、，是一元一次不等式组，故不符合题意；D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意；故选：D．2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可．【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；故选：A．3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组：①②③④⑤其中是一元一次不等式组的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可．【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1，∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组；而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组，故选：B．4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是（填序号）．①；②；③；④；⑤；⑥【答案】③④⑤【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．【详解】解：①该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组；②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；

③该不等式组是一元一次不等式组；④该不等式组是一元一次不等式组；⑤该不等式组是一元一次不等式组；⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组；则是一元一次不等式组的是③④⑤，故选答案为：③④⑤．题型二

求不等式组的解集1．（甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：．由①得：，由②得：，则不等式组的解集为，将解集表示在数轴上如下：．2．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：．【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得，不等式组的解集为．3．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：由①去分母，得第一步去括号，得第二步移项，得第三步合并同类项，得第四步系数化为1，得第五步(1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误；(2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上．【答案】(1)不等式的基本性质2；三(2)见解析【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组解集．（1）根据不等式的基本性质和移项需要变号可知第三步出错；（2）按照解一元一次不等式的步骤求解，把解集表示在数轴上即可．【详解】（1）解：第一步的依据是：不等式的基本性质2；第三步移项出错，移项没有改变符号；故答案为：不等式的基本性质2；三；（2）解：由①去分母得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得；由②移项，得，解得；不等式组的解集为：；如图：．4．（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）解不等式组：【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解每个不等式是关键．分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可．【详解】解：，解不等式①，得；解不等式②，得；∴不等式组的解集为．5．（24-25八年级上·山西太原·月考）解不等式(组)(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．【详解】（1）解：解不等式，移项得，两边同乘得解不等式，两边同乘得，即，整理得，移项得，所以不等式组的解集为（2）解：解不等式，展开得，移项得，所以解不等式，两边同乘得，即，移项得，所以不等式组的解集为6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上．【答案】，作图见详解【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式解集在数轴上的表示，先分别解不等式组里的两个不等式，再取公共部分的解集，最后将所求解集表示在数轴上即可．【详解】解：由不等式①，得，由不等式②，得．∴原不等式组的解集为：，将不等式组的解集表示在数轴上如下，7．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组．（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】（1）解：，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，，在数轴上表示为：（2）解：，解得：解得：，∴，在数轴上表示为：题型三

求一元一次不等式组的整数解1．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（

）A． B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】本题考查了求不等式组的整数解．分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解．【详解】解：解得：；解得：；∴不等式组的解集为，∴最小整数解为．故选：A．2．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）不等式组的整数解有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的整数解，即可解答．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为，∴不等式组的整数解为，共4个．故选：B．3．（24-25七年级上·吉林白城·月考）不等式组的整数解是．【答案】6、7、8、9【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求解两个不等式，得到x的取值范围，再找出范围内的整数解．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为，∴不等式组的整数解为6、7、8、9．故答案为：6、7、8、9．4．（25-26九年级上·重庆·月考）求不等式组的所有整数解．【答案】，，【分析】本题考查一元一次不等式的解法以及一元一次不等式组的解集确定，掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，确定不等式组的解集，最后从解集中筛选出所有整数即可．【详解】解：解：，，；解：，，，；则不等式组的解集为，所以不等式组的所有整数解为，，．5．（25-26八年级上·全国·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和．【答案】解为，所有非正整数解的和为【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，从而得出原不等式组的解为，即可得出非正整数解为、、、0，求和即可，熟练掌握解一元一次不等式组的运算方法是解此题的关键．【详解】解：解不等式，得．解不等式，得．∴原不等式组的解为．∴非正整数解为、、、0．∴所有非正整数解的和为．6．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组的整数解．（2）求满足不等式组的最大整数和最小整数．【答案】（1）；（2）最大整数为1，最小整数为【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤是解答的关键．（1）先解出不等式组的解集，再求出其整数解即可解答．（2）先解出不等式组的解集，再求出满足不等式组的最大整数和最小整数即可解答．【详解】解：（1），解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴不等式组解集是，∴该不等式组的整数解是；（2），解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴不等式组解集是，∴满足该不等式组的最大整数是1和最小整数是．7．（25-26九年级上·重庆·月考）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．【答案】解集：，整数和：9【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的加法，熟练掌握该知识点是解题的关键．分别解不等式、，求出一元一次不等式组的解集，从而得到一元一次不等式组的整数解，相加即可．【详解】解：解不等式，，；解不等式，，；此不等式组的解集为，整数解为：，0，1，2，3，4，整数解的和：．题型四

解特殊不等式组1．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，则的取值范围是．【答案】【分析】本题二次根式有意义的条件、二次根式非负性、解不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，再由二次根式非负性得到，从而得到的取值范围，熟记二次根式有意义的条件、二次根式非负性是解决问题的关键．【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，，即，，且，，解得，的取值范围是，故答案为：．2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围．【详解】解：∵，，∴，，∴，且，，∵，∴，即，解得：，将代入，得，即，解得，的取值范围为：．故答案为：．3．（20-21七年级下·江苏南京·期末）已知的解集为，则的解集为．【答案】【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可．【详解】解：∵的解集为，∴则的解集为，∴；故答案为：．4．（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式的解集为．【答案】/【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案为：．5．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）若等腰三角形的周长为，腰长为．(1)求x的取值范围；(2)若该三角形的一边长是，求该三角形的另两边长．【答案】(1)(2)另两边长为和或和【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，解题的关键是利用分类讨论的思想方法．（1）根据三角形的三边关系列不等式组，解答即可；（2）本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论．【详解】（1）解：等腰三角形的周长为，腰长为，等腰三角形的底边为，根据三角形的三边关系可得，，解得，x的取值范围为；（2）若腰长为，则底边长为，三角形的另两边长为和；若底边长为，则腰长为，三角形的另两边长为和，综上所述，另两边长为和或和．题型五

列一元一次不等式组1．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握“抽水量抽水速度抽水时间”以及根据不等关系列不等式组是解题的关键．根据抽水机的抽水速度、抽水时间与污水量的关系，结合污水量的范围列出不等式组．【详解】解：由题意可得故选：C．2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键．设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到．【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人，当每间住6人时，有一间不空也不满，∴，即不等式组为．故选：A．3．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可．【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：．故选：B．4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据船的数量表示出学生人数，再结合“每船坐人时，空一条船且有船不空也不满”这一条件列不等式组．本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式组是解题的关键．【详解】解：设有条船，由题意可得，故选：C．5．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键．设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可．【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书，若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本，则．故选：C．6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组．【答案】【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可．【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克，调整后咖啡浓度为，根据题意得，故答案为：．7．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示：甲种原料乙种原料维生素C的含量/（单位/千克）600100原料价格/（元/千克）84现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C．(1)请列出x应满足的不等式；(2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式．【答案】(1)(2)且且．【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键．（1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得；（2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得．【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为，∴所需乙种原料的质量为，∵要求含有4200单位以上的维生素，∴．（2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为，∴所需乙种原料的质量为，∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，∴且且．题型一

由一元一次不等式组的解集求参数1．（25-26八年级上·山东聊城·月考）已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键．先分别解两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，确定的取值范围．【详解】解：解第一个不等式，得；解第二个不等式，得；不等式组有解，存在同时满足和，，故选：C．2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查解不等式组，易错点是的取值边界．首先解不等式组得到解集为，由于有且仅有4个整数解，且，因此整数解为，为确保仅这些整数解，需满足，为不包括，需．【详解】解：解不等式得，解不等式得，∴不等式组的解集为，∵有且仅有4个整数解，且，∴整数解为，为确保被包括，需，为确保不被包括，需，∴的取值范围是．故选：．3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是．【答案】【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．根据关于x的一元一次不等式的1个负整数解只能是，得出，求出a的取值范围即可．【详解】解：解得，∵关于x的不等式只有1个负整数解，∴关于x的一元一次不等式的1个负整数解只能是：，∴，∴解得：．故答案为：．4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组的解集是，则的值是．【答案】1【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为确定出a、b的值，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：解不等式得，解不等式得，∴不等式组的解集为，∵解集是，∴且，解得，，∴，故答案为：1．5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的不等式有且只有4个负整数解，则a的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了解不等式，根据不等式解集求参数．通过解不等式得到，根据有且只有4个负整数解（即），确定的取值范围，进而求出的范围．【详解】解：解不等式，得，由于不等式有且只有4个负整数解，这些解为，因此必须满足，两边同时乘以4（正数，不等号方向不变），得．故答案为：．6．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解题的关键．先求出不等式组的解集为，再根据不等式组有且仅有一个整数解，从而确定a的取值范围．【详解】解：，解不等式①可得：，解不等式②可得：，∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下：∵不等式组有且仅有一个整数根，∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解，∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1），∴a的取值范围是．故答案为：．7．（25-26八年级上·重庆·期中）若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．【答案】8【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解及正整数解的应用．首先解不等式组，根据解集确定a的取值范围为，然后解分式方程，得到，要求y为正整数且，结合a的取值范围，得到满足条件的整数a为3和5，求和即可．【详解】解：解不等式组，由得，①当时，第二不等式解为，解集为，需，解得，故，②当时，第二不等式为，恒成立，解集为，③当时，解集不能为，因此a的取值范围为，解分式方程，化简得，解得，要求y为正整数，故且为整数，即，结合，需为正整数且，代入a值验证：，，非整数；，，正整数；，，非整数；，，正整数；，，非整数；，，为增根，∴满足条件的整数a为3和5，和为8．故答案为：8．8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是．【答案】19【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解，∴联立得，∴∴，解不等式组得，∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，∴整数解为，，，，∴，解得，∴整数，，，，和为．故答案为：19．9．（17-18七年级下·全国·单元测试）若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解共有三个，即可得到a的取值范围．【详解】解：解不等式，得，由题意可知，不等式组有解集，∴该不等式组的解集是，∵不等式组的整数解共有三个，∴这三个整数解是3，4，5，∴，故答案为：．10．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数的和为．【答案】【分析】本题主要考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定的取值范围．首先解不等式组，得到无解的条件是；然后解分式方程，得到，要求有负整数解且，从而得到的取值范围；最后结合两个条件，找出符合条件的整数并求和即可；【详解】解：不等式组为，解第一个不等式，两边乘得，即，解第二个不等式：，即，不等式组无解，需满足，解得；分式方程为，分母，即，整理得，则，，∵分式方程有负整数解，∴，即且为8的负因数，则可以取，又∵，排除，结合不等式组无解条件，排除，则符合条件的整数为和，；故答案为：．11．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？【答案】4【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解分式方程，掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先通过解不等式组和分式方程确定a的取值范围，再求得符合条件的a的值，最后求得此题的结果．【详解】解：由题意得，解①得：，解②得：，∴该不等式组的解集为，∵该不等式组至少有2个整数解，∴4，∴解得，解分式方程得，，∵分式方程有非负整数解，∴且，∴且，∴a的取值范围为且，∵为整数，∴为奇数，∴a可取整数为1，3，∴或，∴所有满足条件的整数a的值之和是．题型二

不等式组和方程组结合问题1．（25-26八年级上·重庆·月考）设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（

）A．3 B．2或 C．3或 D．1或2【答案】C【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键．设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答．【详解】解：设，，则a、b为整数，∵，∴，又∵，∴，∵a、b为整数，∴，∵，∴，则，又∵，∴，即，将代入得，即解得，∴或2，当时，，，，∴；当时，，，，∴，∴的值为3或．故选：C．2．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：，由①②得：，即，∵，∴，解得，故答案为：．3．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组(1)若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围．(2)若该方程组的解满足，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，不等式组，掌握平面内点的坐标的特征，各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键．（1）求出关于，的二元一次方程组的解，再令，确定的取值范围即可；（2）将（1）中求出的方程组的解代入不等式，即可求出的取值范围．【详解】（1）解：解方程组，得∵点在第一象限，∴解得．（2）解：由（1）可知方程组的解为，代入，得，解得．4．（25-26八年级上·广东汕头·期中）若关于，的二元一次方程组的解都是正数．(1)求的取值范围；(2)化简：．【答案】(1)；(2)．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简，熟练掌握方程组的解法和绝对值的性质是解题的关键．（1）先通过解方程组求出、关于的表达式，再根据解都是正数列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围．（2）根据（1）中的取值范围，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简式子．【详解】（1）解：，得，，把代入得，解得，∵方程组的解都是正数，即，∴，解得，，解得，∴的取值范围是；（2）解：∵，∴，，∴．5．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围．【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式．得到，求出，进而代入①求出，将，代入求解即可．【详解】解：得：，解得：，将代入①得：，根据题意得：，解得：．6．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数．(1)求的取值范围；(2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键．（1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可；（2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案．【详解】（1）解：得，解得，把代入①得，解得，∴原方程组的解为；∵方程组的解满足为非正数，为负数，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵不等式的解为，∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变，∴，∴，∴，又∵m为整数，∴．7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组(1)若，求这个方程组的解；(2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键．（1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出，然后将代入得出方程组的解即可；（2）根据方程组的解为且该方程组的解满足、均为正数，列出不等式组，解不等式组即可．【详解】（1）解：由方程组得：，把代入得：；（2）解：∵方程组的解为，又、均为正数，，解不等式组得：．题型三

不等式组的行程问题1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（

）A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈【答案】D【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可．【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得，解得，∴∴，又，∴，∴，∴整数，即他一共跑的圈数是17，故选：D．2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（）A． B．7 C．7 D．7【答案】D【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可．【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元，∴超过的千米数为千米，∵不足1千米按1千米计，∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，∴，解得：，故选：D．3．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可．【详解】解：根据题意，得，故答案为：．4．（2022·河南洛阳·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．(1)请解释图中点的实际意义；(2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离；(3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间．【答案】(1)图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车(2)慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为(3)两车均在行驶过程中能通话的时间为小时【分析】本题考查了一次函数图象的应用，追及问题的运用，不等式组的解法，根据图象信息，运用函数图象解决实际问题，看懂图象是关键．（1）根据点得出两车距离为可知，两车相遇；（2）由图象可以知道慢车行驶小时时，快车到达终点，与慢车相距，就可以根据题意列出方程组从而可以求出慢车快车的速度及全程．（3）当慢车在前时和快车在前时求出通话时间范围就可以求出通话时间．【详解】（1）解：图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车；（2）解：设慢车每小时行驶，快车每小时行驶，由题意和图意得，解得：，则全程为：．答：慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为．（3）解：设快车行驶小时后，两车之间的距离不超过，由题意得，，解得：．小时．答：两车均在行驶过程中能通话的时间为小时．5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．(1)若①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h(2)已知两车在P处相遇．①若P与N重合，求V的值；②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．【答案】(1)①M，N；②(2)①，②或【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间；①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果．本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键．【详解】（1）解：①依题意，，，，，甲车从A地出发，始终以的速度行驶，甲车2小时共行驶了，甲车出发2小时，行至M处，乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶，乙车共行驶了，乙车行至N处，故答案为：M，N；②甲车行至的中点时，所用时间为：，此时乙车行驶所用时间：，故答案为：；（2）①两车在P处相遇，P与N重合，甲车所用时间为，此时乙车所用时间为，乙车的速度为；②P在非施工道路上不与M，N重合，若P在上，设甲的行驶时间为t，则，此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，，，，解得，限速为，，若P在上，设甲的行驶时间为t，，则，此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，，，，解得，限速为，，综上所述或．6．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示．(1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时．(2)小张出发几小时与小李相遇？(3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案）【答案】(1)(2)小时(3)时间范围是【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键．（1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可；（2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可；（3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可．【详解】（1）解：小李