九年级数学上册《传播问题与平均变化率问题》课件

25.3实际问题与一元二次方程第2课时传播问题与平均变化率问题第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.熟练掌握列一元二次方程解应用题.2.掌握传播、平均变化率等问题的常见应用题解法.3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．复习回顾列一元二次方程解决实际问题的一般步骤①审②设③列④解⑤验⑥答探索新知探究1某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人.第一轮第二轮每轮平均1个人传染人的数量被传染的总人数x1+xx1+x+x(1+x)探究1某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人.列方程1+x+x(1+x)=121.解方程，得x1=10，x2=–12（不合题意，舍去）因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人.按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？第一轮第二轮第三轮每轮平均1个人传染人的数量xxx被传染的总人数1+x1+x+x(1+x)(1+x)2+x(1+x)2分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人.(1+x)2经过三轮传染后共有(1+10)3=1331（人）被传染.(1+x)3经过n轮传染后共有__________个人被传染.(1+10)n变式训练1.某种传染病的传染速度很快.如果开始有3个人被传染，经过两轮传染后共有1200个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人.初始病例第一轮后第二轮后33+3x=3(1+x)3(1+x)+3(1+x)x=3(1+x)2依题意，得3(1+x)2=1200，解得x1=19，x2=–21（不合题意，舍去）知识要点常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为：传染源数量+第1轮+第2轮+……+第n轮=第n轮传染后的总数.a(1+x)n=ba为传染源数量x为每轮平均1个传染源传播的数量n为传播的轮顺b为现有传染后感染总量变式训练2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？【选自教材第22页练习第1题】解：设这种植物每个支干长出x个小分支.根据题意，得1+x+x2=91，解得x1=9，x2=–10（舍去）.答：每个支干长出9个小分支.树干问题中的基本数量关系：树干问题中主干长出n个支干，第二轮主干不再分支，n个支干进行分支，第二轮有n2个支干，总共有(1+n+n2)个支干.探究2两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产

1t乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000

元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？下降率是下降的成本与前一年成本的比值.下降率=×100%下降前的量–下降后的量下降前的量下降后的量=下降前的量×（1–下降率）探究2两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产

1t乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000

元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？解：设甲种食品成本的年平均下降率为x.甲的初始成本一年后的成本二年后的成本1000010000(1–x)10000(1–x)2依题意，得10000(1–x)2=6000，探究2两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产

1t乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000

元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？解：设甲种食品成本的年平均下降率为x.依题意，得10000(1–x)2=6000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.下降率不可为负，且不大于1.根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%.请计算乙种食品成本的年平均下降率.探究2两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产

1t乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000

元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？解：设乙种食品成本的年平均下降率为y.依题意，得12000(1–y)2=7200，解方程，得y1≈0.225，y2≈1.774.根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%.两种食品成本的年平均下降率相等.思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.变式训练3.青山村所种水稻某年平均每公顷产

15000kg，两年后平均每公顷产18000kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.根据题意，知15000(1+x)2=18000.解得x1≈0.10，x2≈–2.10（不合题意，舍去），答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为10%.【选自教材第22页练习第2题】知识要点关于平均增长（下降）率问题，设基数为a，平均增长（下降）率为x，增长（下降）n次后的量为b，则一次增长（下降）后的值两次增长（下降）后的值…n次增长（下降）后的值列方程a(1±x)a(1±x)2…a(1±x)na(1±x)n=b随堂练习1.一农户家的田地中有3株农作物感染了病虫害，经过两轮传染后共有192株农作物感染病虫害.每轮传染中平均一株农作物传染了多少株农作物？解：设每轮传染中平均一株农作物传染了x

株农作物.依题意，得3(1+x)2=192，解得x1=7，x2=–9（不符合题意，舍去）.答：每轮传染中平均一株农作物传染了7株农作物.2.有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，则每轮转发中平均一个人转发给几个人？解：设每轮转发中平均一个人转发给

x个人.依题意，得1+x+x2=133，解得x1=11，x2=–12（不符合题意，舍去）.答：每轮转发中平均一个人转发给12个人.3.某市政府通过招商引进优势产业来发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个.求前三季度生产量的平均增长率.解：设前三季度生产量的平均增长率为x.由题意，得100(1+x)2

=144，解得x1=0.2，x2=–2.2（不符合题意，舍去）.答：前三季度生产量的平均增长率为20%.一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.下列方程是一元二次方程的是(

C

)B.

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

，

b

，

c

均为常数)C.(2

x

－1)(3

x

＋2)＝5D.(2

x

＋1)2＝4

x2－3C1234567891011121314151617181920

A.3B.－3C.±3D.无法确定【解析】由题意，得

m

－3≠0，

m2－7＝2，解得

m

＝－3.B12345678910111213141516171819203.若

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，则

m2－3

m

＋

n

的值为(

A

)A.3B.4C.5D.6【解析】∵

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，∴

m2－4

m

＋1＝0，

m

＋

n

＝4.∴

m2－4

m

＝－1.∴

m2－3

m

＋

n

＝

m2－4

m

＋

m

＋

n

＝－1＋4＝3.A12345678910111213141516171819204.方程

x2－4

x

＝7的根的情况是(

C

)A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根5.将

x2－6

x

－4＝0进行配方变形，下列正确的是(

C

)A.(

x

－6)2＝13B.(

x

－6)2＝9C.(

x

－3)2＝13D.(

x

－3)2＝9CC12345678910111213141516171819206.如果关于

x

的一元二次方程(

m

－3)

x2＋3

x

＋

m2－9＝0有一个解是0，

那么

m

的值是(

B

)A.3B.－3C.±3D.0或－3B12345678910111213141516171819207.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月

份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为

x

，则根据

题意可列方程(

D

)A.50(1＋

x

)2＝175B.50＋50(1＋

x

)2＝175C.50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D.50＋50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D12345678910111213141516171819208.已知

a

是一元二次方程

x2－

x

－1＝0较大的根，则下列对

a

的值估计

正确的是(

B

)A.2＜

a

＜3B.1.5＜

a

＜2C.1＜

a

＜1.5D.0＜

a

＜1B1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920

A.10B123456789101112131415161718192010.小刚在解关于

x

的方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)时，只抄对了

a

＝2，

c

＝1，解出其中一个根是

x

＝1.他核对时发现所抄的

b

值比原方程的

b

值

小1，则原方程的根的情况是(

A

)A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有另一个根是

x

＝－1D.有两个相等的实数根

A1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192011.若关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，则一次函数

y

＝

(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过(

C

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，∴Δ＝4＋4

n

＜0，解得

n

＜－1，则－

n

＞1.此时

n

＋1＜0，－

n

＋1＞2，故一次函数

y

＝(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过第三象限.C123456789101112131415161718192012.已知2是关于

x

的方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0的一个根，并且这个方

程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，则△

ABC

的周长为

(

B

)A.9B.12C.9或12D.6或12或15B1234567891011121314151617181920【解析】把

x

＝2代入方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0，得4－2(5＋

m

)＋5

m

＝0，解得

m

＝2.方程可整理为

x2－7

x

＋10＝0，解得

x1＝2，

x2＝5.∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，∴等腰三角形

ABC

的腰长为5，底边长为2.∴三角形

ABC

的周长为5＋5＋2＝12.1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.一元二次方程3

x

(

x

－2)＝－4的一般形式是

⁠.14.若关于

x

的一元二次方程

kx2－

x

＋1＝0有实数根，则

k

可取的最大

整数值为

⁠.3

x2－6

x

＋4＝0

－1

123456789101112131415161718192015.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2024年初

某市开展了“篮球进园”活动.近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮

球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排6天，每

天比赛6场，则参加比赛的球队数是

⁠.

解得

x1＝9，

x2＝－8(不符合题意，舍去).则参加比赛的球队数是9.9

1234567891011121314151617181920

x

＝－1

x1＝1，

x2＝－3

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(每题3分，共12分)解方程：(1)(2

x

＋3)2－25＝0；解：(1)(2

x

＋3)2－25＝0.移项，得(2

x

＋3)2＝25.∴2

x

＋3＝5或2

x

＋3＝－5.解得

x1＝1，

x2＝－4.1234567891011121314151617181920(2)2

x2－7

x

－2＝0；

1234567891011121314151617181920(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2)；

解：(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2).移项，得(

x

＋2)2－3(

x

＋2)＝0.因式分解，得(

x

＋2)(

x

＋2－3)＝0.∴

x

＋2＝0或

x

＋2－3＝0.解得

x1＝－2，

x2＝1.1234567891011121314151617181920(4)

x2－2

x

－3＝0.解：(4)

x2－2

x

－3＝0.移项，得

x2－2

x

＝3.配方，得

x2－2

x

＋1＝3＋1，即(

x

－1)2＝4.∴

x

－1＝2或

x

－1＝－2.解得

x1＝3，

x2＝－1.123456789101112131415161718192018.(6分)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的

任务.解：2

x2＋4

x

－8＝0.二次项系数化为1，得

x2＋2

x

－4＝0.…第一步移项，得

x2＋2

x

＝4.…第二步配方，得

x2＋2

x

＋4＝4＋4，即(

x

＋2)2＝8.…第三步

(1)小明解题过程中，从第

⁠步开始出现错误；三

1234567891011121314151617181920(2)请给出正确的解题过程.

123456789101112131415161718192019.(8分)已知关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根.(1)求

m

的取值范围；解：(1)∵关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根，∴Δ＝

b2－4

ac

＝22－4×1×[－(

m

－2)]＝4

m

－4≥0，解得

m

≥1.(2)若方程有一个根为

x

＝1，求

m

的值及另一个根.解：(2)将

x

＝1代入原方程，得1＋2－(

m

－2)＝0，解得

m

＝5.∴原方程为

x2＋2

x

－3＝(

x

－1)(

x

＋3)＝0，解得

x1＝1，

x2＝－3，∴

m

的值为5，方程的另一个根为

x

＝－3.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝21cm，

BC

＝8cm，动点

E

从

点

A

出发，以3cm/s的速度沿

AB

向点

B

运动，动点

F

从点

C

出发，以2

cm/s的速度沿着

CD

向点

D

运动，当点

E

到达点

B

时，点

E

，

F

同时停

止.则

EF

的长为10cm时点

E

的运动时间是多少秒？1234567891011121314151617181920解：如图所示，过点

E

作

EM

⊥

CD

于点

M

，由题意知，当运动时间为

t

秒时，

AE

＝3

t

，

CF

＝2

t

，

EM

＝

BC

＝8，∴

MF

＝

AB

－

AE

－

CF

＝21－5

t

.根据勾股定理，得

MF2＋

ME2＝

EF2，即(21－5

t

)2＋82＝102，整理，得5

t2－42

t

＋81＝0.

123456789101112131415161718192021.(8分)课本再现人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前

n

行

的点数计算进行了探究.如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多

行，其中第1行有一个点，第2行有两个点……第

n

行有

n

个点……小明同学发现，前2行的点数和是1＋2＝3，前3行的点数和是1＋2＋3＝

6，前4行的点数和是1＋2＋3＋4＝10……前

n

行的点数和是1＋2＋3＋4

＋5＋…＋

n

，他有点疑惑，能不能用含

n

的式子把1＋2＋3＋4＋5＋…

＋

n

表示出来.2122小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来

的