专题01 三角形中角度计算十二大常见几何模型（举一反三专项训练）数学新教材人教版八年级上册【含答案】

专题01三角形中角度计算十二大常见几何模型(举一反三专项训练)【模型18字模型】【模型8三角形双内角平分线夹角模模型】【模型9三角形双外角平分线夹角模模型】【模型10三角形一内一外角平分线夹角模模型】【模型118字形双角平分线夹角模模型】【模型12燕尾形双角平分线夹角模模型】模型1:8字模型【模型18字模型】【变式1-1】【变式1-2】∠GEF=111°,则∠AHG的度数为【变式1-3】4.(1)已知：如图(1)的图形我们把它(2)如图(2),AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°.求∠P的度数. ;ADCC结论：①∠1+∠2=∠B+∠C,【模型2A字模型】【例2】5.如图，△ABC中，∠A=65°,直线DE交AB于点D,交AC于点E,则∠BDE+∠CED=().A.180°B.215°C.235°【变式2-1】6.如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°,那么∠3-∠2的度数为【变式2-2】7.将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1=125°,则∠2的度数为()A.35°B.40°C.45°【变式2-3】CC图2(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是_;模型3:老鹰抓小鸡模型【模型3老鹰抓小鸡模型】【例3】CC度数为()度.A.30B.45C.60D.30或45【变式3-2】11.如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠(3个顶点不重合),①若∠A=55°,则【变式3-3】12.(1)如图1,把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，试探索∠1+∠2与∠A的关系(不必证明)(2)如图2,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,C图1C模型4:飞镖模型【模型4飞镖模型】CC图313.(1)如图①,求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C;(2)一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠A=38°,∠D=12°,∠ABC=64°,∠BCD=46°,求椅面和椅(3)如图③,∠ABC=100°,∠DEF=130°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为_.【变式4-1】A.35°B.45°C.30°【变式4-2】15.如图，BG是∠ABD的平分线【变式4-3】16.如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：②如图(3),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠A=40°,∠DBE=120°,求∠DCE的度数.③如图(4),∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G₁、G₂…、G₉,若∠BDC=130°,∠BG₁C=67°,模型5:余角模型【模型5余角模模型】【例5】模型6:补角模型【模型6补角模模型】试卷第9页(共19页)【变式6-1】【变式6-2】23.如图，AD与BE相交于F,∠A=∠C,∠1与∠2互补.【变式6-3】于点G.模型7:一线等三角模型试卷第10页(共19页)类型一一线三垂直类型二同侧一线三等角类型三异侧一线三等角【模型7一线三等角模模型】【例7】试卷第11页(共19页)27.如图，在Rt△ABC中，直角顶点A在直线l上，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E.【变式7-3】28.如图1,AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C,点E在线段BC上，且AE⊥DE.(3)如图3,EH平分∠CED,EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G.求证：EG⊥AF.(提示：三AA图2AA模型8:三角形双内角平分线夹角模型CC【模型8三角形双内角平分线夹角模模型】A.180°-β【变式8-2】【变式8-3】试卷第12页(共19页)试卷第13页(共19页)②图2中当∠ABC与∠BAC满足怎样的数量关系时，△BDI与△BAI也成为“孪生三角形”(直接写出结论).模型9:三角形双外角平分线夹角模型【模型9三角形双外角平分线夹角模模型】【例9】33.△ABC中，∠A=100°,若BN、CNA.180°-βC.180°-2β【变式9-2】角平分线，交点是P,F,C在AN上，B,E【变式9-3】试卷第14页(共19页)模型10:三角形一内一外角平分线夹角模型【模型10三角形一内一外角平分线夹角模模型】【例10】试卷第15页(共19页)A.10°B.15°C.于点D,与∠ABC的外角平分线相交于点E,则下列结论一定正确的是()①;②;③∠E=∠A;④∠E+∠DCF=90°+∠ABD.A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④模型11:8字形双角平分线夹角模型AA【模型118字形双角平分线夹角模模型】【例11】41.如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,则我们把形如这样的图形称为“8字型”.试卷第16页(共19页)A图2(2)如图2,若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,与CD、AB分别相交于点M、N.数量关系(用含n的等式来表示),并证明理由.(3)如图3,在四边形ABCD中，AD||BC,AB||CD,若点E是AB延长线上的一点，DE交CB于点F,分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线交于点G,直线GB交CD于点M,若∠DFC=110°,【变式11-1】【变式11-2】DDDD(图1)试卷第17页(共19页)2)(图3)(1)如图2所示，线段AB与CD相交于点0,∠CAO与∠BDO的平分线AP和DP相交于点P,AP交CD(2)如图3所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=C模型12:①燕尾形双角平分线夹角模型1【模型12燕尾形双角平分线夹角模模型】【例12】试卷第18页(共19页)若∠A=50°,则∠E的度数为()A.60°B.50°C.40°【变式12-1】CCA.140°B.150°C.165°【变式12-2】47.如图，点B、C在∠MAN的两条边上运动，∠ABC和∠ACB的平分线的交于点O.度数；如果会，请说明理由.(2)如图2,若∠MAN=n,CH是∠BCN的平分线，CH的反向延长线交BO的延长线于点G,求∠G的度数(用含n的式子表示).【变式12-3】结论解决同类图形的角度问题.试卷第19页(共19页)CC(2)①由(1)结论可得在△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM,在△BDN和△PAN中，【详解】(1)略A【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键.4.(1)解：如图，(4)连接PB,PD,求得∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°,∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°,【详解】解：(1)略(2)如图.(3)如图.即(4)连接PB,PD行求解.【分析】【详解】【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键.【分析】根据平角的定义求出∠4,再利用三角形的外角的性质即可解决问题.【详解】解：如图故答案为：60°.【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题.【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质。根据三角形外角的性质可得∠3=∠1-∠4,根据平行线的性质可得∠2=∠3.【详解】解：如图，由题意知∠4=90°,AB//CD,(3)根据(1)、(2)中思路即可求解；C图2答案第7页(共37页)(3)解：由(1)、(2)中思路，由三角形外角性质可知：CC9.230°##230度【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可.【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°,因为不确定△BDE是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB,②BD=BE,③DE=BE,然后分别利用角的关系得出答案即本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键.①如图1,当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°,图1②如图2,当BD=BE时，图2故题的关键.(3)略13.(1)证明：连接AO,并延长，如图①所示，答案第11页(共37页)①+②,得∠BAO+∠B+∠CAO+∠C=∠BOM+∠COM,【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.(1)连接AO,利用三角形的外角性质得出∠BAO+∠B=∠BOM①,∠CAO+∠C=∠COM②,①+②(2)利用上述的结论即可求解；(3)连接AD,由上述结论可知∠F+∠FAD+∠EDA=∠DEF③,∠BAD+∠ADC+∠C=∠ABC④,③+④即可求解.【详解】(1)略(3)解：连接AD,如图②所示，③+④,得∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°,【分析】如图，延长BE交CF延长线于点0,交AC于点M,可证∠BOC=∠A+∠B+∠C,再根据【详解】解：如图，延长BE交CF延长线于点0,交AC于点M,C【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质等知识，解题关键是学会添加辅助线.①-②得，∠A=2∠BOC-∠BDC=70°.答案第12页(共37页)答案第13页(共37页)系是解题的关键，要注意整体思想的利用.【分析】(1)根据题意观察图形连接AD并延长至点F,由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDF=(2)①由(1)的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,然后把∠A=40°,∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值.②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,代入∠A=40°,∠DBE=120°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知,易得答案.③由(2)的方法，进而可得答案过点A、D作直线AF,(2)解：①由(1)的结论得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,②由(1)的结论得：∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB,③由(1)的结论得：【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.17.直角三角形【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC=∠A进而可得出结论.【详解】解：在Rt△ABC中，∴△EDC是直角三角形，故答案为直角三角形.【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握.【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导∠B与∠BCD的关系，再推导∠A与∠B的关系，等量代换即【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,根据同角的余角相等，可得：∠A=∠BCD,答案第14页(共37页)19.75度##75°【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键.根据直角三角形的两个锐角互余可得∠1+∠C=90°,∠2+∠C=90°,21.40°##40度【分析】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，连接EF,可得∠ECD=∠A,再根据三角形外角答案第15页(共37页)故答案为：40°.【分析】本题考查了三角形外角的性质和同角的补角相等.熟练掌握三角形外角的性质和同角的补角相等是解题的关键.故答案为112°.(2)先根据平行线的性质得出∠ABE=∠E,再由三角形外角的性质即可得出结论.【详解】(1)解：∵∠1=∠BFD,∠1+∠2=180°,(2)解：∵AB//CE,∠1=85°,∠E=26°,【点睛】本题主要考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解题的关键.答案第16页(共37页)答案第17页(共37页)∠1+∠2=90°.理由：【分析】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义，角平分线定义，平行线性质余、互补关系是解题的关键.(1)根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°,再根据角平分线的定义以及(2)根据∠A+∠C=180°可得∠C的度数，根据∠1+∠2=90°可得∠2的度数，根据平行线的性质可得【详解】(1)略(2)解：由(1)知，∠1+∠2=90°,【分析】如图，连接BC,由题意知，∠BAC+∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=180°,则∠PBC+∠PCB=118°-∠BAC,由∠BEP=∠BPC=∠PFC答案第18页(共37页),计算求解即可.【详解】解：如图，连接BC,CC故答案为：56.【点睛】本题考查了三角形内角和定理.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.AB=BC,∠B=∠C=60°,从而利用三角形外角性质得到∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC,再由答案第19页(共37页)【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据∠BAC=90°,可得∠BAD+∠CAE=90°,再利用垂直定义可得∠CEA=∠BDA=90°,从而可得∠ABD+∠BAD=90°,然后利用同角的余角相等即可求证.【详解】略【分析】(1)利用同角的余角相等即可证明；(2)过点F作FMI|AB,利用(∠CDE+∠EAB)即可解决问题；答案第20页(共37页)【详解】解：(1)略.(2)解：答案为45°;AA(3)略.【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型.【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质.先根据∠BOC=β得出∠2+∠4的度数，再CC【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，先根质得再根据DG⊥PC,可得PDC=∠PDG+∠GDC,然后把∠PDG用答案第21页(共37页)cc综上所述，图中与∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有2故答案为：2.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质以及垂线的性质.答案第22页(共37页)求解即可.(2)解：略.(3)解：①由(2)知，∠BIC=∠BDI,∠IBC=∠DBI,由(2)知，答案第23页(共37页)答案第24页(共37页)35.69°##69度案.关键.答案第26页(共37页)答案第27页(共37页)【点睛】本题考查了外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和.38.28°或62°或118°或152°【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意，分类讨论，结合图形分析是关键.根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合，分类讨论即可求解.【详解】解：∵AC平分∠OAB,如图所示，如图所示，∠AOB=∠XOY=56°,答案第28页(共37页)【分析】本题主要考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握四边形内角和是解题的关角和求出∠P的度数.故选B.【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键.由角平分线的定义可得,再由三角形的内角和定理可得即可判定①;由角平分线的定义可得结合三角形外角的性质可判定②;由三角形外角的性质可得∠MBC+∠NCB=180°+∠A,再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③;利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF=90°+∠ABD