重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（三）数学+答案

重庆南开中学高2027届高三年级质量检测(三)

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.试卷由微信公众号“山城学术圈”整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求.

1.已知复数i(为虚数单位),则z的虚部为()

A.1B.-1C.iD.-i

2.已知数列{an}满足a₁=2,,n∈N⁴,则a2026=()

A.-1BD.2

3.已知随机变量X～N(10,o²),若P(X<16)=0.7,则P(X<4)=()

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

4.已知向量å=(9,2),B=(2,m),若a//(26-a),则实数m=()

AB.D.

5.已知函数f(x)=eᵗ-1n(x+1)-1,A={y|y=f(x),x≥0},B=(a,+∞),若A≌B,则实数a的最大值

为()

A.0B.1C.e-1-In2D.e-2

6.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，底面等边△ABC的边长为2√2,则该三棱锥的外接球的表

面积为()

A.B.8πC.D.12π

7.已知等比数列{an}的公比为q,且0<a₁<1,a₂2026=1,,则

下列结论正确的是()

A.0<q<1B.S2026<0C.a4051<1D.S4051>0

8.在平行四边形ABCD中，已知|AB|=2,|AD|=1,∠DAB=120°.M为BC的中点，G为线段AM与

BD的交点，则AG·AC的值为()

AB.C.2D.

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二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，公众号山城学术圈有多项

是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知α,β,γ为三个不同的平面，m,n为两条不同的直线.下列条件中，能推出α⊥β的有()

A.m⊥α,n⊥β,m⊥n

B.α⊥γ,β∩γ=m,mCa

C.mCa,m⊥γ,β//γ

D.m//α,n//β,m⊥n

10.已知复数z,21,z₂,下列说法中正确的有()

A.|z1z₂|=|2z1|z₂l

B.|z1+z₂l=|z1|+|z₂l

C.若z₂≠0,则有

D.若|z-1|=1,i为虚数单位，则z|—i|的最大值为√2+1

11.已知点P是△ABC内一点，PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥CA于点F,设线段PD,PE,

PF的长度分别为x,y,z,则()

A.DF=√x²+z²+2xzcosA

B.APsinA=DF

C.

D.的最大值为2

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.函数f(z)同时满足下列三个条件：①f(-x)=f(x);②对Vx∈R,f(x+2)=f(x);③f(x)在(0,1)上

单调递减.请写出一个符合条件的函数f(x)解析式，f(x)=.

13.已知S为数列{an}的前n项和，且Sn=n²an,a₁=1,则a₅=_

14.已知函的部分图象如图所示，曲线y=f(x)与直线在y轴

右侧第一个交点记为A,与直线在y轴右侧第二个交点记为B.已知,则f(φ)

二

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四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2a-c=2bcosC.

(1)求角B;

(2)若b=√7,c-a=2,求△ABC的周长.

16.(本小题满分15分)

如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=BC=AD=2,CD=4,E为CD的中点，将△DAE沿AE翻折

至△PAE的位置(使点D落在点P的位置),连接PB、PC,已知PB=√6.

(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE;

(2)记PC的中点为M,求平面PAE与平面BEM夹角的余弦值.

17.(本小题满分15分)

已知双曲线C:)的左、右焦点分别为F₁,F₂,渐近线方程为y=±x,焦距为2√2.

直线l:y=kx+m经过双曲线C的右焦点F₂,且与双曲线C交于P,Q两点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知椭圆D与双曲线C共焦点，且经过点).若点(m,k)在椭圆D上，求△FPQ的面积.

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18.(本小题满分17分)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a₁,a₂,a₃-4成等差数列，S₃=28,且{an}为单调递增数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若,记数列{bn}的前n项和为Tn.

(i)求Tn;

(ii)若对任意正整数n,不等式(-1)"a(4n-3)<(an-1)T恒成立，求实数λ的取值范围.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=1n(|zx|+a)+x(a>0),设曲线C:y=f(x)(x∈R).在复平面上，对曲线C上的点

P(x,y),记其对应的复数为z=x+yi(i为虚数单位),定义w=z²-2z,称w为点P的象.

(1)当a=1时，求曲线C在x=1处的切线方程；

(2)设P(z₁,y1),P(x₂,y₂)为曲线C上两个不同的点，w₁、W2为P₁、P₂的象.

(i)证明：W₁=w₂的充要条件是x₁+c₂=2且f(c₁)+f(x₂)=0;

(ii)若存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥0的解集为(m,+∞),且m∈[-1,0],求实数a的取

值范围.并判断此时曲线C上是否存在P,P₂,使得w₁=W₂成立，说明理由.

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重庆南开中学高2027届高三年级质量检测(三)

数学试题参考答案与评分细则

题号1234567891011

选项BDBAADBCACACDABC

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求)

1.B【解析,虚部为-1,选B.

2.D【解析】由题,故{an}是周期为3的周期数

列，(事实上，可证明an+3=an,过程略),所以a2026=a₁=2,选D.

3.B【解析】由正态分布图像的对称性可知：P(X<4)=P(X>16)=1-P(X<16)=1-0.7=0.3,选B.

4.A【解析】26-a=(-5,2m-2),由题可得,选A.

5.A【解析】易知：eˣ≥x+1,In(x+1)≤x,且均在x=0处取等号，故f(x)≥x+1-x-1=0,故A=

[0,+∞],由A≌B→a≤0→amax=0,选A.

6.D【解析】由题知三棱锥P-ABC外接球和以PA,PB,PC为棱，棱长为2的正方体外接球重合，设

半径为r,则有(2r)²=2²+2²+2²=12→S=4πr²=12π.选D.

7.B【解析】结合0<a₁<1,a₂026=1可知q>1.且有1≤n≤2025时，0<an<1,n=2026时，a₂026=1,

故1≤n≤2025时,n=2026时,故B成立.

对于C,由等比数列性质可知a4051·a₁=a2026=1,又a₁∈(0,1).故a₄051>1.

对于D,由

→S₄051=0,选B.

选C.

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二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)

9.AC【解析】m、n分别是平面α、β的垂线.由m⊥n,可得，α⊥β,A正确；当α⊥γ且交线为m,令β为

过直线m且与α斜交的另一平面，仍满足β∩γ=m、mCα,但α与β不垂直，B错误；m⊥γ,β//

γ,则m⊥β;又mCα,平面α内存在一条垂直于平面β的直线，故α⊥β,C正确；m//α,n//β,m

⊥n不能推出α⊥β.可取两个不垂直的平面α、β,分别在其内作互相垂直的直线m、n的平行

线，仍满足条件但α与β不垂直，D错误.故选AC.

10.ACD【解析】Iz₁z₂l=Iz₁1lz₂1是复数模的乘法性质，恒成立，A正确；Iz₁+z₂I=Iz₁1+Iz₂I仅当z₁、

z₂对应的向量同向(或有0)时成立，对任意复数不恒成立，B错误；共轭运算满足对除法可

交换，C正确；由Iz-11=1知z在以(1,0)为圆心、半径为1的圆上.Iz-il则指该圆上点到

点(0,1)的距离，其最大值为√2+1,D正确.故选ACD.

11.ABC【解析】∵PD⊥AB,PF⊥AC,:A,D,P,F四点共圆，∠DPF=π-A,AP为该圆直径.在△PDF

中，由余弦定理DF²=x²+z²-2xzcos∠DPF=x²+z²-2xzcos(π-A)=x²+z²+2xzcosA,故A

正确.又△ADF外接圆直径为AP,由正弦定理故B正确.

等价于

x²+z²+2xzcosA≥(xsinB+zsinC)²,

⇔x²+z²+2xzcosA≥x²sin²B+z²sin²C+2xzsinBsinC

⇔x²cos²B+z²cos²C+2xzcosA≥2xzsinBsinC

⇔x²cos²B+z²cos²C-2xzcos(B+C)≥2xzsinBsinC

⇔x²cos²B+z²cos²C-2xzcosBcosC+2xzsinBsinC≥2xzsinBsinC

⇔x²cos²B+z²cos²C≥2xzcosBcosC,由均值不等式知该式成立，故C正确.

由C同理可知

≥2(x+y+z),当△ABC为等边三角形，P为中心时等号可成立

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三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相对应位置上)

12.cosπx(答案不唯一，写出一个即可)

【解析】由条件，f(x)为周期为2的偶函数且在(0,1)上单调递减，f(x)=coSπx符合题意(答案

不唯一，写出一个即可).

13.

【解析】当n≥2时，Sₙ-Sₙ-1=n²an-(n-1)²an-1即an=n²an-(n-1)²an-1→(n+1)an=(n-1)

an-1

即,累乘得

14.

又曲线y=f(x)且在递减区间内，,k′∈Z,结合得

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)

解：由正弦定,得2sinA-sinC=2sinBcosC…………(2分)

又A=π-B-C,sinA=sin(B+C),代入上式：

2(sinBcosC+cosBsinC)-sinC=2sinBcosC,即(2cosB-1)sinC=0(4分)

因0<C<π,0<B<π所以sinC≠0,,所以

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(2)由余弦定理及可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=7………(9分)

由c-a=2,代入上式整理得：a²+2a-3=0,解得a=1或a=-3(舍去),于是c=3故△ABC的周

长4+√7…………………………(13分)

16.(15分)

(1)证明：取AE的中点为0,连接OB、OP,由条件OB=0P=√3,又PB=

√6

∴PB²=OB²+OP²,…………………(2分)

∴PO⊥OB,又PO⊥AE,OB∩AE=0,∴PO1平面ABCE,………(4分)

又POC平面PAE,平面PAE⊥平面ABCE.……………(6分)

(2)解：由(1)可知，OA、OB、OP两两垂直，如图以0为原点，OA,OB,OP

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有：B(0,√3,0),E(-1,0,0),M

,EB=(1,√3,0)…(8分)

设平面BEM的法向量为n₁=(x,y,z),由n₁·EB=x+√3y=0

取y=-1,得n₁=(√3,-1,1),又平面PAE的

法向量n₂=(0,1,0)…………………(12分)

………………(14分)

故平面PAE与平面BEM的夹角的余弦值为…………(15分)

17.(15分)

解：(1)设焦距为2c,则有

故双曲线C的标准方程为：x²-y²=1.…………………(3分)

(2)设椭圆D的方程为1(s>t>0),由(1)知F₂(√2,0),故有s²-t²=2.①

又由椭圆D经过点可得：,联立①②可解得：s²=3,t²=1或(舍去)

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故椭圆D方程……………………(7分)

由点(m,k)在椭圆D上可得：

又由直线l过点F₂(√2,0)可得：0=√2k+m④,联立③④可解得：………(10分)

联立：l:y=kx+m和双曲线C:x²-y²=1可得：(1-k²)x²-2kmx-m²-1=0.

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则有1-k²≠0,

故2√2×2√6=4√3………(15分)

18.(17分)

解：(1)设等比数列{an}公比为q,由S₃=28,得a₁+a₂+a₃=a₁(1+q+q²)=28

a₁,a₂,a₃-4成等差数列，得2a₂=a₁+a₃-4,整理得a₁(1-2q+q²)=4,

联立两式得,化简得2q²-5q+2=0,解

因{an}递增，a₁>0故q>1,通项公式aₙ=2"+1…………………(5分)

(2)将a代入…(8分)

(i)累加求和

………………(10分)

(ii)不等式化为(-1)"λ(4n-3)<2"-1,

当n为偶数时，不等式化为λ(4n-3)<2”-1,即,该式对一切偶数n恒成立，

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令

,即求c,在偶数n上的最小值.

由

由此可得，c₁>c₂<c₃<c₄…即n≥2时，{cn}单调递增，

所以偶数项的最小值为,即………………(13分)

当n为奇数时，(-1)"=-1,该式对一切奇数n恒成立，

即求cn在奇数n上的最小值；

由c₁=1以及n≥2时，{cn}单调递增，最小值在n=3时取，

故,即……………………(16分)

综上，实数λ的取值范围为………(17分)

19.(17分)

解：(1)当a=1,x>0时，f(x)=ln(x+1)+x,则f(1)=ln2+1,切点为(1,In2+1).

,则切线斜率为

故切线方程为,即………………(4分)

(2)(i)法一：

充分性：若x₁+x₂=2且f(x₁)+f(x₂)=0,

则z₁=x₁+y₁i=2-x₂-y₂i=2-z₂,

所以w₁=z₁-2z₁=(2-z₂)²-2(2-z₂)=z₂-2z₂=W₂.………(7分)

必要性：若w₁=w₂,则z²-2z₁=z2-2z₂,即(z₁-z₂)(z₁+z₂-2)=0,

因为z₁≠z₂,所以z₁+z₂-2=0,则x₁+x₂-2+(y₁+y₂)i=0,

所以x₁+x₂=2且y₁+y₂=0,即f(x₁)+f(x₂)=0,得证.………(10分)

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法二：w=z²-2z=(x²-y²-2x)+(2xy-2y)i.

充分性：若x₁+x₂=2且f(x₁)+f(x₂)=0,则

w₁=(x²-y²-2x₁)+(2x₁y₁-2y₁)i

=[(2-x₂)²+(-y₂)²-2(2-x₂)]+[2(2-x₂)(-y₂)-2(-y₂)]i

=(x²-y2-2x₂)+(2x₂y₂-2y₂)i=W₂.…(7分)

必要性：若w₁=w₂,则

,消去(x₁-1)²得(x₂-1)²(y2-y²)=y²(y²-y2),

即[(x₂-1)²+y²](y²-y²)=0故y²=y2.

分情况讨论，

①若y₁=y₂=0,则x₁-1=±(x₂-1),又因为两点不重合，则只能x₁+x₂=2;

②若y₁=y₂≠0,则x₁=x₂,两点重合，矛盾；

③若y₁=-y₂≠0,则x₁-1=-(x₂-1),即x₁+x₂=2,得证.

所以x₁+x₂=2且y₁+y₂=0,即f(x₁)+f(x₂)=0.…………(10分)

(ii)法一：因为f(x)≥0的解集为[m,+