大学物理学 上册 课件 第四章刚体的转动

第四章刚体的转动第一节

刚体转动的描述

第二节

刚体定轴转动定律转动惯量第三节

刚体定轴转动的功能关系

第五节

刚体的进动第四节

刚体定轴转动的角动量守恒第一节

刚体转动的描述

刚体

定义把在受力时不改变形状和体积的物体；或者物体在运动过程中各部分之间不发生相对运动——刚体一.刚体的运动形式

平动如果刚体在运动过程中，连接刚体内任意两点的直线在空间的指向保持平行，这样的运动叫平动●●特征：在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻质元的速度和加速度都相同因此描述刚体平动时，就可以用刚体上任一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动，研究方法就是前面讲的质点力学●●●●●●●●说明：

刚体也是理想化模型事实上，当物体受力或运动时，它们的形状和体积总是要发生变化，只是对于刚体来说这种变化很小，对于刚体的运动的影响可以忽略

刚体可以看成是由许多质点组成，每个质点称作刚体的质元

在外力作用下，各质元之间的相对位置保持不变所以刚体实际是一质元相对位置固定的特殊质点系。质点系力学的结论可直接应用于刚体

转动如果刚体在运动过程中，连接刚体内任意两点的直线在空间的指向不平行，这样的运动叫转动●●定轴转动：刚体绕一固定在空间的轴转动。

定点转动●●●●●●●●二.刚体的定轴转动

刚体定轴转动的特征一刚体绕固定轴转动

各质元在垂直轴的平面内作以轴上点为圆心的圆周运动

各质元的线速度、线加速度一般是不同的，但描述各质元作圆周运动的角量如角位移、角速度、角加速度都是一样的。●●三.刚体定轴转动的角位移角速度角加速度●角位移质元作圆周运动的角位移称作刚体定轴转动的角位移角速度质元作圆周运动的角速度称作刚体定轴转动的角速度大小：方向：右手螺旋法则●方向：右手螺旋法则伸出右手，弯曲四指表示刚体转动方向大拇指指向为角速度的方向平行固定轴，只有两个方向表示刚体：要么绕轴顺时针转动，要么绕轴逆时针转动对任一质元，相对轴上圆心的矢径为角加速度角速度●匀加速转动质元作圆周运动线速度与角速度之间的关系为例题

一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径r=0.5m，如果升降机从静止开始以加速度a=0.4m/s2匀加速上升，求(1)滑轮的角加速度;(2)开始上升后t=5s末滑轮的角速度;(3)在这5s内滑轮转过的圈数;(4)开始上升后t’=1s末滑轮边缘上一点的加速度(设缆索与滑轮间不打滑)a解：(1)(2)(3)圈(4)第二节

刚体定轴转动定律转动惯量

在质点力学中，质点系角动量随时间变化率决定于质点系所受合外力矩，即刚体作定轴转动，其角动量随时间变化率决定于什么呢？一、定轴刚体的力矩只需考虑外力矩——只需考虑垂直于转轴的力分量力矩：力平行于转轴的分量对定轴刚体不起作用转轴方向沿着转轴方向大小2、定轴刚体的转动定律由质点系的角动量定理又：刚体所受的对于某固定转轴的合外力矩等于刚体对此轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。刚体定轴转动定律二.刚体定轴转动的转动定律讨论

它是描述刚体作定轴转动的动力学方程，它的地位与描述质点运动的牛顿第二定律相当。

上式清楚地表明，转动惯量是量度刚体转动惯性的物理量。

一定时，愈大，就愈小，

一定时，愈小，就愈大，愈容易改变刚体的角速度，或者说刚体愈易改变其原来的转动状态愈难改变刚体的角速度，或者说刚体愈能保持其原来的转动状态。三.转动惯量

物理意义：质量物体惯性的量度转动惯量是刚体作定轴转动时，转动惯性大小的量度●

与刚体运动无关只与刚体质量、质量分布、以及固定轴的选择有关

是质元到固定轴的垂直距离●●

的计算刚体的质量离散分布刚体的质量连续分布关于计算的规律对同一轴具有可叠加性证明：Cdo●一转轴通过质心C，则对o轴转动惯量四.平行轴定理刚体对任一转轴的转动惯量J

等于对通过质心与之平行的轴的转动惯量JC

加上刚体质量m

乘以两平行轴间距离d

的平方任一转轴通过o，两轴平行，间距为d

JJC

Cdo●Cdo●最小转动惯量？C●这里参考点恰好选为质心C，是质心相对质心自身的矢径是质元相对参考点的矢径是质元相对质心C的矢径由质心定义几种常见刚体的转动惯量：细棒薄圆环或薄圆筒圆盘或圆柱体薄球壳球体几种常见刚体的转动惯量：细棒薄圆环或薄圆筒圆盘或圆柱体练习

一个飞轮的质量为m=60kg，半径R=0.25m，正在以1000r/min的转速转动。现在要求在t=0.5s内使它均匀减速而停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？假定闸瓦和飞轮间的滑动摩擦系数,飞轮的质量可以看做全部均匀分布在轮的外周上。

五.转动定律的应用练习一个质量为M，半径为R的均匀定滑轮上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮角速度。例质量分别为m1

，

m2的两物体用一细绳挂在定滑轮两侧，滑轮质量为M

，m1＞

m2

求：滑轮的角加速度。解：o滑轮视为刚体，绕固定定轴o转动受力分析如图oo选择滑轮逆时针旋转为正方向和对轴的力矩和对轴的力矩合外力矩由转动定律分别选m1

，

m2

为研究对象受力分析如图由牛顿第二定律忽略细绳的质量m1

，

m2

的加速度大小与滑轮边缘质元的切向加速度大小相等例一根长L

，质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑轴o，细棒可以在竖直平面内转动，最初细棒静止在水平位置。求：细棒由水平位置下摆θ角时的角加速度和角速度。oLθ解：棒的下摆运动就是棒绕轴o

的定轴转动规定细棒顺时针转动的方向为正方向由转动定律受力分析如图对轴的力矩为0重力矩不为0oLθ细棒每一质元都受到重力的作用在细棒上距轴r

处取一质元

dm该质元所受重力为对轴o的力臂为oLθoLθ一.刚体定轴转动的动能定理既然刚体是一质元相对位置固定的特殊质点系质点系动能定理也适用于刚体由于质元相对位置固定第三节

刚体定轴转动的动能定理内力总是成对出现由此可见，外力对刚体所作的功的代数和可用合外力矩与刚体的角位移的乘积的积分来表示力矩的功——刚体定轴转动的动能定理由此可见，外力对刚体所作的功的代数和可用合外力矩与刚体的角位移的乘积的积分来表示力矩的功——力矩的瞬时功率刚体作定轴转动时如何计算？已知转动定律设刚体由位置变化到时，角速度由变化到对上式积分——刚体定轴转动的动能定理合外力矩对刚体作的功等于刚体转动动能的增量说明：力矩对刚体作的功实质等于外力对各质元做功的总和，它只不过是用力矩和角位移表示而已。物理意义力矩的空间累积效果是使刚体动能获得增量力矩的功是刚体转动动能改变的量度例1.一根长L，质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑轴o，细棒可以在竖直平面内转动，最初细棒静止在水平位置。求：细棒由水平位置下摆θ角时的角速度。oLθ解：规定细棒顺时针转动的方向为正方向，重力矩为由上节细棒只受重力矩作用用刚体定轴转动动能定理细棒由水平位置下摆θ角，重力矩做的功由刚体定轴转动的动能定理oLθoLθ例2.有一长为L，质量为m的均匀细棒，静止放在水平桌面上，它可以绕着过其端点o，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，细棒与桌面的滑动摩擦系数为μ，现给细棒一初角速度ω0，oLω0解：细棒作定轴转动，之所以停下来是由于受到阻力矩的作用，阻力矩是由谁产生的？重力，支持力，摩擦力摩擦力力矩如何计算？求：细棒停止运动所转过的角度。oLω0dxx摩擦力力矩如何计算？细棒与平面接触的各处都受摩擦力，需要用积分法来计算在细棒上距轴

x

处取一长为dx质元该质元所受摩擦力为对轴o的力臂为方向垂直棒长方向质元

dm所受摩擦力力矩oLω0dxx整个细棒所受摩擦力力矩与时间无关的恒力矩oLω0dxx与时间无关的恒力矩由刚体定轴转动的动能定理oLω0思考题？绕着过其中点o，且与桌面垂直的固定光滑轴转动现给细棒一初角速度ω0，求：细棒停止运动所转过的角度。o●二.刚体势能及机械能守恒定律一个刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念例如：刚体受到重力的作用，刚体就具有一定的重力势能。它的重力势能就是它的各质元重力势能的总和由质心定义刚体重力势能刚体重力势能等于它的全部质量集中在质心时所具有的势能。包含刚体的物体系的功能原理如果研究对象包括刚体和质点，刚体和质点分别计算。由质点系功能原理刚体动能质点动能

包括刚体在内的系统的机械能守恒对于包括刚体的系统，如果在运动过程中，只有保守力做功，则系统的机械能守恒例2.物体m通过轻绳悬于半径为R的定滑轮之下，滑轮为质量均匀分布的圆盘，质量为M

。现给圆盘一个初角速度ω0，同时轮轴处对滑轮有一个大小为Mf的恒定阻力矩h求：m可上升的最大高度。解：选物体、滑轮、地球为一系统受力分析滑轮为定轴转动的刚体物体m视为质点h对滑轮定轴转动有影响只有由质点系功能原理选逆时针转动方向为正方向hMf

为恒定阻力矩hh例3.一根长L，质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑轴o，细棒可以在竖直平面内转动，最初细棒静止在水平位置。求：细棒由水平位置下摆θ角时的角速度。oLθ规定细棒在水平位置时的重力势能为零细棒运动过程中只有重力做功系统机械能守恒oLθ用机械能守恒定律细棒由水平位置下摆θ角时，重力势能为●由机械能守恒定律初始状态系统机械能末了状态系统机械能oLθ●左边是力矩与时间的乘积，与质点力学中的冲量相似，它表示力矩在dt时间内的累积，称作力矩在dt时间内的元冲量矩，记作一.刚体定轴转动的角动量定理第四节

刚体定轴转动的角动量守恒定律

右边表示刚体角动量在dt时间内的变化力矩在dt时间内对刚体的元冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的变化——刚体定轴转动的角动量定理微分形式将上式从t1时刻到t2时刻积分，就可以得到刚体定轴转动的角动量定理的积分形式积分形式从t1时刻到t2时刻，刚体所受合外力矩的冲量矩等于这段时间内刚体角动量的变化。例1.有一长为L，质量为m的均匀细棒，静止放在水平桌面上，它可以绕着过其端点o，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，细棒与桌面的滑动摩擦系数为μ，现给细棒一初角速度ω0，求：细棒停止运动所需的时间oLω0整个细棒所受摩擦力力矩解：细棒所以停下来是由于受到摩擦阻力矩的作用oLω0由与时间无关的恒力矩二.刚体定轴转动的角动量守恒定律由角动量定理微分形式当当绕定轴转动的刚体所受合外力矩等于零时，刚体角动量保持不变——守恒——刚体定轴转动的角动量守恒定律或讨论

刚体定轴转动角动量守恒的条件是

刚体定轴转动角动量守恒的两种情况

和都同时改变，但乘积保持不变

和都保持不变动画例2.一根长L，质量为m的均匀细直棒，其一端挂在水平光滑轴o上，细棒可以在竖直平面内转动，最初细棒静止在竖直位置。求：细棒和子弹开始一起运动时的角速度。Lo今有一质量为的子弹以水平速度射入棒的下端，而不复出。分析：由于从子弹射入细棒到二者一起运动所经过的时间极短，在这一过程中细棒的位置基本保持不变，即仍然保持竖直。解：Lo受力分析如图系统所受外力为它们对轴o的力矩为零子弹射入细棒过程中意味着则有Lo碰前选逆时针方向为正方向子弹射入细棒后系统角速度为碰后子弹射入细棒后速度，等于细棒末端线速度碰前碰后方向逆时针Lo一均匀细棒质量为M，长为2l，可绕通过其中心的水平轴自由转动，开始时静止于水平位置。然后有一个小球m以速度u垂直落于棒端，与棒作完全弹性碰撞。求:（1）棒获得的角速度；（2）棒端受到的冲量大小。解：且动能守恒：取细棒和小球

为研究对象考虑相对于O点的角动量和外力矩碰撞过程中，因作用于小球的重力矩可以忽略，故可认为系统所受合外力矩为0，因而角动量守恒：例3.解得：对于细直棒：则：（1）（2）设棒端所受平均冲力大小为F，作用时间为Δt,则冲量大小为：应用角动量定理，可知棒端所受冲量矩为：第五节

刚体的进动什么是进动？演示把这种高速自旋的物体的轴在空间转动的现象称作进动为什么会发生进动现象呢？这可以用刚体的角动量定理来解释。图表示车轮装置oo′oo′为车轮的中心轴（自旋轴），当车轮绕轴oo′高速自旋时，其中心轴oo′要绕竖直杆转动设车轮绕oo′轴自旋的角动量为中心轴oo′绕竖直杆转动，实际上就是自旋的角动量绕竖直杆转动方向沿中心轴oo′方向oo′根据刚体角动量定理考虑中心轴为水平情况车轮受到的合外力矩就是车轮所重力矩大小：方向：沿水平方向垂直中心轴oo′向左所以在dt时间内，刚体角动量增量的方向，也沿水平方向垂直中心轴oo′向左结果使自旋角动量的方向，沿水平方向向左偏转。实际上也就是自旋轴oo′的方向不会向下倾斜，而是沿水平方向向左偏转，持续不断地向左偏转就形成了自旋轴的转动