大学物理学 上册 课件 第一章 数学基础

第1章·数学基础有些物理量，只给一个数还不够第1节向量和向量加法课堂问题：怎样同时说明“多远”和“朝哪儿”？P₁P₂大小：长度方向：箭头指向向量=大小+方向01

标量只有大小，向量还必须说明方向第1章数学基础·第1节02标量一个数就能完整描述25质量、温度、时间向量大小与方向缺一不可

力、位移、速度、加速度算术规则可以直接用于标量；向量需要几何规则。位移把“多远”和“朝哪儿”同时记录下来第1章数学基础·第1节03

P₁P₂

图1.1用向量表示的位移一支箭头承担两项信息线段长度表示位移大小箭头指向表示运动方向同样距离、相反方向→位移不同向量的大小是标量，且总为非负数。位移的大小|

|向量相等看大小与方向，不看起点第1章数学基础·第1节04相等向量

起点不同，不影响相等关系负向量

大小相同，方向相反

向量加法可以用连续位移来理解第1章数学基础·第1节05P₁P₂P₃

首尾相接法

(1-1)

交换次序，合位移保持不变第1章数学基础·第1节06

(1-2)

平行四边形法给出同一个向量和第1章数学基础·第1节07O图1.3c平行四边形法操作步骤

两种画法，得到同一个向量和。

多个向量只需连续首尾相接第1章数学基础·第1节08第一个尾部→最后一个头部加法分组不改变结果

=这就是

结合律向量减法，就是加上反向量第1章数学基础·第1节09O

标量乘向量会改变长度，也可能反向第1章数学基础·第1节10长度×2长度×2，方向反转对任意标量c

c>0：方向不变c=0：得到零向量c<0：方向反转

牛顿第二定律把标量与向量联系起来第1章数学基础·第1节11m

向量关系

方向

大小单位：力=质量×加速度

净力决定加速度方向；质量影响同一净力下的加速度大小。

一张图串起本节全部规则第1章数学基础·第1节12向量大小+方向关系相等/负向量运算加/减/数乘应用课堂思考1两个向量大小相同，它们一定相等吗？还需检查什么？2

把规则重新画一遍，比背公式更可靠。

第1章·数学基础一个向量，拆成两个方向更容易算第2节向量的分量课堂问题：如何把“大小+方向”变成可计算的数字？xy先分解，再计算向量=x方向分量+y方向分量01

先分清：分量向量不是向量分量第1章数学基础·第2节02分量向量仍然是向量：有大小，也有方向

向量分量只是数字：带正负号的Ax、Ay

(1-3)“向量分量”不是一支箭头，而是描述箭头的数。

第1章数学基础·第2节03xyOP图1.5a同一个向量，换一种表达

坐标轴把几何方向固定下来。

知道A和θ，就能直接算出两个分量第1章数学基础·第2节04xyθ图1.5b三角函数把“方向”变成分量θ从x轴正向逆时针测量(1-4)

象限决定分量的正负号第1章数学基础·第2节05同一个公式，换象限后符号会变

图1.6判断口诀第一象限：+，+第二象限：−，+第三象限：−，−

第1章数学基础·第2节06大小只取正根

(1-5)

直角三角形+勾股定理yx

第1章数学基础·第2节07θ先求参考角

(1-6)反正切只返回一个参考角。最后一步必须回到图上：QⅠ0°<θ<90°QⅡ90°<θ<180°QⅢ180°<θ<270°象限判断决定最终方向角。yx

参考方向：x轴正向标量乘向量：每个分量都乘同一个c第1章数学基础·第2节08c>0：长度按|c|放大c<0：方向反转分量形式(1-7)

分量运算把“数乘向量”变成逐项乘法。

两向量相加：先逐项相加，再恢复大小与方向第1章数学基础·第2节09图1.7分量逐项相加(1-8)分量可以为负；公式对所有象限都有效。yx

多个向量相加：把“逐项相加”重复下去第1章数学基础·第2节10第一个尾部→最后一个头部推广到n个向量(1-9)数量变多，规则不变：每个方向分别求和。yx

先求Rₓ、Rᵧ，需要时再用(1-5)、(1-6)求大小和方向。从平面到空间：再加一个z方向第1章数学基础·第2节11z三维分解

分量法不依赖二维平面，空间中同样成立。yx

空间中的向量=三个方向的分量三维向量的大小由三个分量共同决定第1章数学基础·第2节12三维勾股定理(1-10)仍然取正根；向量大小永远非负。yx

x、y、z三个正交方向

先在xy平面求合成，再把z方向纳入长度。几何关系负责理解，分量法负责计算第1章数学基础·第2节13两条路径，指向同一个结果几何法看方向、角度、首尾关系适合建立直观图像结果：大小+方向分量法先拆成Ax、Ay（或Az）逐项做加、减、数乘最后用公式还原大小与方向看图建立关系→分量逐项运算→需要时再合成一套分量规则，覆盖二维与三维第1章数学基础·第2节14拆分求分量逐项运算加/减/数乘恢复大小+方向二维/三维课堂思考1

2

把向量画出来，再把每个方向的数字算出来。

第1章·数学基础单位向量，把“方向”单独表示出来一个向量的大小与方向，能否分开记录？方向大小拆开记录，合起来计算单位向量的大小固定为1，主要负责描述方向。01第3节单位向量课堂问题:

单位向量只保留方向，大小固定为1第1章数学基础·第3节02普通向量大小可以变化，通常还带有物理量纲（一般情况）单位向量符号上加“帽子”，大小永远等于1ê|ê|=1单位向量不负责“多大”，只负责“朝哪儿”。

在xy坐标系中，î与ĵ固定两条方向第1章数学基础·第3节03îĵ|î|=1|ĵ|=1O图1.8a坐标轴成为共同语言î：指向x轴正方向ĵ：指向y轴正方向两者都是大小为1的单位向量固定方向+可变系数=可计算的分量yx一个数乘一个方向，得到分量向量第1章数学基础·第3节04概念门槛：数≠向量

(1-11)

一只箭头仍然是向量先看左边：它是向量；右边是“大小×方向”yx二维向量可以写成两个单位方向的线性组合第1章数学基础·第3节05图1.8b（重绘）图形与公式一一对应

(1-12)同一个向量：几何上是合成，代数上是展开。

yx

单位向量把两个分量方程合并成一个向量方程第1章数学基础·第3节06向量和的单位向量表示(1-13)原来的两个分量方程，被写成一个向量方程。yx

二维向量和示意

第1章数学基础·第3节07z

图1.9

(1-14)再把每个方向的系数相加：(1-15)yx

单位向量把“大小”和“方向”组织成统一语言第1章数学基础·第3节08单位向量二维基准向量展开三维推广1Aₓ与Aₓî有什么区别？前者、后者分别是什么？2

把大小交给分量，把方向交给单位向量。大小=1只描述方向î、ĵx、y方向

课堂思考第1章·数学基础向量不能像普通数字一样直接相乘两个向量相乘，结果应该是数还是向量？两种乘法，两种结果点积·两个向量→一个标量叉积×两个向量→一个向量先分清结果类型，再理解几何意义。01第4节向量的乘积问题：点积的结果不是向量，而是一个数第1章数学基础·第4节02θ定义结果类型

点积（标量积）输出是标量：没有方向。·是点号，不是乘法中的普通“×”

两个输入都是向量点积测量的是两个向量的同向程度第1章数学基础·第4节03Bcosθθ几何定义大小×同向程度

(1-16)cosθ决定点积的符号和大小

投影：B在A方向上的分量夹角决定点积的正负第1章数学基础·第4节04看θ，不必重新计算长度θ锐角θ直角θ钝角0°<θ<90°θ=90°90°<θ<180°图1.11三种情况•锐角：同向分量为正•直角：没有同向分量•钝角：同向分量为负两个垂直向量的点积为零。

做功只取决于力在位移方向上的分量第1章数学基础·第4节05θ图1.10思路：投影决定有效分量物理联系：功•θ为锐角→正功•θ为钝角→负功•θ=90°→零功只取力在位移方向上的那一部分

正交单位向量让点积计算变得简单第1章数学基础·第4节06îĵ

î·î=ĵ·ĵ=k̂·k̂=1î·ĵ=î·k̂=ĵ·k̂=0(1-17)正交性会让交叉项直接变成0î·î=1î·ĵ=0同方向：1不同方向：0点积等于对应分量乘积之和第1章数学基础·第4节07三维展开正交单位向量让6个交叉项消失分量法

对应分量相乘，再求和(1-19)(1-18)完整展开如左侧所示。

叉积不仅有大小，还有方向第1章数学基础·第4节08

定义结果类型

输出是新的向量：•有大小•有方向•可用于力矩、角动量等物理关系叉积的方向必须用右手定则判断

叉积的大小取决于两个向量之间的夹角第1章数学基础·第4节09θ面积+方向

(1-20)

叉积大小等于“底×高”

右手定则决定叉积的方向第1章数学基础·第4节10

右手定则

叉积改变顺序，结果方向相反第1章数学基础·第4节11方向反转交换律不成立！！！(1-21)叉积是反交换的：大小相同，方向相反

叉积只“看见”垂直于另一向量的那部分第1章数学基础·第4节12Bsinθ图1.13a同一件事，也可看成A的垂直分量

一个向量的大小×另一个向量的垂直分量

θ

第1章数学基础·第4节13

单位向量叉积表

(1-22)反向交换时，结果加负号。方向来自右手关系，不来自大小计算yzx

O叉积的三个分量由交叉组合得到第1章数学基础·第4节14先写成单位向量展开(1-23)九项展开用(1-22)的单位向量规则逐项化简化简后的向量(1-24)

(1-25)

点积与叉积：不要混淆第1章数学基础·第4节15一个看同向，一个看垂直比较维度点积·叉积×结果标量向量大小ABcosθABsinθ垂直时0最大平行时最大/取决于方向0方向无右手定则互相垂直的非零向量，点积与叉积分别有什么特点？

思考：再问：第1章·数学基础平均变化率还不够我们需要“这一刻”物体在某一时刻到底运动得多快？从平均到瞬时01第5节导数的概念问题：一段时间：一个时刻：变化率的极限，就是导数自由落体：先计算一段时间的平均速度第1章数学基础·第5节02图1.15区间[t₀,t₀+Δt]平均速度=位移变化÷时间变化描述的是这一段的整体表现。把时间间隔缩小到极限，才得到瞬时速度第1章数学基础·第5节03同一时刻t₀，Δt越来越小Δt较大平均斜率Δt较小平均斜率Δt→0平均斜率不要把Δt→0误读成Δt=0极限的含义v=lim{Δt→0}[s(t₀+Δt)−s(t₀)]/ΔtΔt仍是变量，只是在逼近0。自由落体例：v(t₀)=gt₀曲线上的斜率：割线如何变成切线第1章数学基础·第5节04图1.16两条线的斜率tanφ=Δy/Δx=[f(x₀+Δx)−f(x₀)]/ΔxN沿曲线靠近M，割线逐渐贴近切线切线斜率就是导数。M割线斜率的极限，就是切线斜率第1章数学基础·第5节05图1.16极限过程斜率的极限•割线：连接两个邻近点•切线：只保留一个点的局部方向•极限把“两个点”压缩成“一个点”斜率从平均量变成瞬时量M先定义增量，再写出差商第1章数学基础·第5节06xyx₀x₀+ΔxΔxΔy图示：横向增量与纵向增量函数y=f(x)Δx=(x₀+Δx)−x₀Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀)差商=Δy/Δx分子是函数增量，分母是自变量增量。导数的正式定义：差商的极限第1章数学基础·第5节07在x₀处的导数先取Δx≠0，再令Δx→0Δx→0≠Δx=0极限是逼近过程，不是代入0。定义（教材式1-26）(1-26)

导数就是函数的瞬时变化率第1章数学基础·第5节08同一个结构，三种语言几何曲线在点M的切线斜率k=tanα物理位移s对时间t的瞬时变化率函数f在x₀处的导数f′(x₀)核心语义单位自变量变化1个单位时，因变量在该点的瞬时变化趋势。导数不是“又一个公式”，而是一种变化率。分清：一个点的导数vs整个区间的导函数第1章数学基础·第5节09点值：固定x₀xyf′(x₀)：一个数函数：让x变化x在区间I内取值，每个x都对应一个斜率。先求导函数，再代入点值。可导性要看区间：内部点与端点不同第1章数学基础·第5节10开区间I=(a,b)ab内部每一点都可用双侧极限闭区间[a,b]端点需要单侧导数教材表述•f在开区间I=(a,b)可导：每个点导数存在。•在闭区间[a,b]：内部用双侧，端点用单侧。•可导⇒连续（反之未必）。区间端点是左右导数的分界线。左右导数相等，才有通常意义下的导数第1章数学基础·第5节11xyx₀左侧斜率右侧斜率折点示意定义左右导数导数的几何意义：切线与法线第1章数学基础·第5节12图1.17切线方程y−y₀=f′(x₀)(x−x₀)法线：切线斜率是f′(x₀)，法线与其垂直物理意义：瞬时速度、流量与密度都来自导数第1章数学基础·第5节13自由落体位置曲线s(t)图1.15/1.17思路同一数学结构流量：线密度：温度梯度：看到“单位变化率”，就可以想到导数本节小结：从平均变化率走向导数第1章数学基础·第5节14平均变化率极限过程导数几何：导数=切线斜率物理：导数=瞬时变化率方法：先写增量，再取极限为什么Δx→0不能直接写成Δx=0？切线斜率与瞬时速度为何是同一个结构？什么时候必须比较左导数和右导数？思考1：思考

2：思考

3：第1章·数学基础从定义出发，把求导变成规则复杂函数，怎样快速而可靠地求导？一条清晰的学习路径1定义差商的极限2规则和·积·商3结构反函数·复合4应用速度·加速度先理解结构，再选择规则。01第6节函数的求导法则核心问题：从定义求导：先有差商，再有法则第1章数学基础·第6节02定义提供“原点”每个新法则，都应当能回到这个差商定义→结构→规则本节的主线1把差商拆开和、差、积、商2把变量换名反函数、复合函数3把结果重复使用基本公式+规则4把导数继续求下去二阶、n阶导数关键不是背更多公式，而是识别函数结构。和与差：变化率可以逐项相加第1章数学基础·第6节03函数叠加，斜率也叠加xyu(x)v(x)和、差法则证明思路•把f(x+h)−f(x)按项拆开•极限的和=和的极限•差法则同理，只是符号改变先逐项求导，再保留原来的+/−结构。局部变化率可以分别计算，再合并积法则：两种变化都要被计入第1章数学基础·第6节04面积视角：长×宽uvu增加增加总变化=横向贡献+纵向贡献积法则证明思路：补上并减去u(x+h)v(x)两个因子都在变，所以有两项。商法则：分子变化与分母变化方向相反第1章数学基础·第6节05比值视角：uvu′v−uv′分母变大，会拉低比值。商法则条件：v(x)≠0证明思路把两个分式通分，再把差商拆成u的差商与v的差商

四则法则总结：看清外形，就能选对规则第1章数学基础·第6节06设u=u(x),v=v(x)，并且v(x)≠0和/差(u±v)′=u′±v′逐项求导积(uv)′=u′v+uv′两项贡献商(u/v)′=(u′v−uv′)/v²分母不为零常数倍(Cu)′=Cu′常数提出先识别结构：加减、乘法、分式，还是常数倍？反函数导数：把x与y的角色交换第1章数学基础·第6节07函数与反函数xyy=f(x)x=f⁻¹(y)斜率互为倒数反函数定理若y=f(x)在某区间内单调、可导，且f′(x)≠0，则反函数x=φ(y)也可导。直接函数的导数越大，反函数的导数越小。反函数倒数关系：导数分式真的可以互换第1章数学基础·第6节08同一个增量，用两种方向描述y=f(x)Δx→Δyx=φ(y)Δy→Δx因此取极限后，倒数关系保留下来前提：对应点存在，且分母导数不为0复合函数：变化经过一个“中间变量”第1章数学基础·第6节09不要把y直接看成x的函数xu=φ(x)uy=f(u)y复合后：y=f[φ(x)]求导时，要沿着这条路径逐层传递变化率。链式法则：变化率沿路径相乘第1章数学基础·第6节10两段变化率xu中间变量把两段变化率接起来链式法则y=f(u),u=φ(x)因变量对自变量求导=因变量对中间变量求导×中间变量对自变量求导链式法则是复合函数的核心工具

多层复合：从外到内，逐层相乘第1章数学基础·第6节11三层结构xv=ψ(x)u=φ(v)y=f(u)每经过一层，就乘上该层的导数从外层开始写，直到最内层结束基本初等函数：先掌握教材列出的核心公式第1章数学基础·第6节12代数、指数、对数(C)′=0

(logₐx)′=1/(xlna)(lnx)′=1/x这张表只收录教材第6节实际列出的公式三角与反三角函数：符号与分母要看清第1章数学基础·第6节13三角函数(sinx)′=cosx(cosx)′=−sinx(tanx)′=sec²x(cotx)′=−csc²x(secx)′=secxtanx(cscx)′=−cscxcotx反三角函数(arcsinx)′=1/√(1−x²)(arccosx)′=−1/√(1−x²)(arctanx)′=1/(1+x²)(arccotx)′=−1/(1+x²)基本公式+求导规则：把复杂式子拆成可识别的结构第1章数学基础·第6节14示例：逐层识别①链式法则②基本公式合并结果每一项先判断结构，再调用对应规则复杂不等于陌生：拆开以后，都是基本积木高阶导数的物理来源：速度还在变化第1章数学基础·第6节15变速直线运动xys=f(t)切线斜率=瞬时速度一阶导数v(t)=ds/dt速度是位移对时间的一阶导数。如果速度也在变化，就继续求导。高阶导数=对导数再次求导。二阶与n阶导数：把变化率继续追踪下去第1章数学基础·第6节16位移→速度→加速度位移s(t)s速度v(t)加速度a(t)一般地二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数n=2二阶；n=3三阶；继续向上本节总结：把求导看成一条可复用的工作流第1章数学基础·第6节17求导四步法1识别先看结构：和、积、商、复合？2调用选择对应法则或基本公式3传递复合函数沿路径逐层相乘4延伸需要时继续求二阶、n阶导数必须记住的骨架从定义出发，规则最终服务于理解与应用第1章·数学基础函数的微分从增量出发，找到变化的线性主部函数的实际增量，什么时候可以用一个更简单的量来近似？一条学习主线1增量实际变化2分解线性主部+高阶小量3微分dy=A·Δx4近似Δy≈dy微分：函数增量的线性主部01核心问题：正方形面积的增量：主要变化+角部修正第1章数学基础·第7节02受热后：边长由x₀变为x₀+Δxx₀ΔxΔx原正方形线性增量带角部高阶小量面积变化可以被拆成三块右侧两条带是主要变化；右上角是更小的修正。ΔA=(x₀+Δx)²−x₀²=2x₀·Δx+(Δx)²2x₀·Δx：线性主部(Δx)²：高阶小量，不是恒等于0第二个增量例子：y=x³的展开仍然有同样结构第1章数学基础·第7节03设y=x³，在x₀处取增量ΔxΔy=(x₀+Δx)³−x₀³先看整体：函数值发生了多少变化？再把增量按Δx的次数分层。线性主部来自Δx的一次项。展开并分组Δy=3x₀²·Δx+3x₀·(Δx)²+(Δx)³3x₀²·Δx线性主部3x₀·(Δx)²+(Δx)³高阶小量|Δx|很小时：Δy≈3x₀²·Δx增量的标准分解：线性主部加上高阶小量第1章数学基础·第7节04正方形与y=x³的共同骨架Δy=A·Δx+o(Δx)A·Δxo(Δx)线性主部关于Δx的一次函数承担主要变化高阶小量不是恒等于0但相对线性主部更小增量=主要变化+更小修正微分的定义：把增量的线性主部单独命名第1章数学基础·第7节05设y=f(x)，x₀与x₀+Δx在定义区间内若函数增量可以写成Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀)=A·Δx+o(Δx)其中A与Δx无关A·Δx称为函数增量的线性主部定义：函数在点x₀处可微dy=A·Δxdy是函数在x₀处、相应于自变量增量Δx的微分微分不是另一个“实际增量”，而是实际增量中的线性主部微分与导数的关系：系数A就是该点的导数第1章数学基础·第7节06同一个A，从两种定义看A=f′(x₀)导数刻画瞬时变化率；微分把这个变化率乘上Δx导数是系数；微分是线性量在点x₀的精确关系dy=f′(x₀)·Δx课堂中也常把自变量增量记作dxdy=f′(x)·dx导数与微分密切相关，但不是同一个数学对象为什么可以近似：高阶小量的相对影响会消失第1章数学基础·第7节07曲线在很小的邻域里看起来像直线xyP(x₀,f(x₀))曲线局部切线局部线性近似来源于定义中的余项关系Δy−dy=o(Δx)Δy≈dy当Δx很小时，实际增量与微分的差相对于主要变化已经很小微分用于局部线性近似微分定义中的关键点：四个不容易混淆的判断第1章数学基础·第7节08看见dy时，先问四个问题1dy关于Δx是线性的dy=A·Δx2差值是高阶小量Δy−dy=o(Δx)3增量与微分越来越接近dy~Δy(Δx→0)4A不随Δx变，但随点与函数而变A=f′(x₀)Δy=实际函数增量|dy=微分（线性主部）教材基本微分公式：代数、指数与对数第1章数学基础·第7节09教材实际列出的第一组公式d(C)=0

每条公式都保留dx：微分是“变化率×自变量增量”教材基本微分公式：三角与反三角函数第1章数学基础·第7节10三角函数d(sinx)=cosxdxd(cosx)=−sinxdxd(tanx)=sec²xdxd(cotx)=−csc²xdxd(secx)=secxtanxdxd(cscx)=−cscxcotxdx反三角函数d(arcsinx)=1/√(1−x²)dxd(arccosx)=−1/√(1−x²)dxd(arctanx)=1/(1+x²)dxd(arccotx)=−1/(1+x²)dx和差积商微分法则：把基本公式组合起来第1章数学基础·第7节11设u=u(x)，v=v(x)和/差d(u±v)=du±dv逐项相加减常数倍d(Cu)=Cdu常数提出积d(uv)=vdu+udv两种变化都计入商d(u/v)=(vdu−udv)/v²分母不为0结构识别→选择法则→保留dx本节总结：微分把实际变化压缩成局部线性近似第1章数学基础·第7节12四步走完一条完整逻辑实际增量Δy分解A·Δx+o(Δx)微分dy=A·Δx局部近似Δy≈dy微分是函数增量的线性主部高阶项不是0，只是在增量很小时相对更小记住区别：Δy是实际增量；dy是微分第1章·数学基础定积分的应用复杂整体量，能否从许多简单小量累积得到？曲边梯形的高不断变化，普通的“高×底”不能直接给出面积曲边梯形面积xyy=f(x)abA=?面积=高×底？高在变化，怎样把整体问题变简单？01问题：第一步：把整体区间分成许多小区间第1章数学基础·第8节02把[a,b]插入分点，整体就有了可数的局部结构xyy=f(x)abΔx₁Δx₂…Δxₙ分割：把整体区间拆成小区间第二步：用简单矩形近似每一个窄曲边区域第1章数学基础·第8节03放大一个小区间[xᵢ₋₁,xᵢ]xyΔxᵢf(ξᵢ)小矩形面积局部曲边面积窄条越窄，矩形与曲边越接近在小区间内，选取ξᵢ∈[xᵢ₋₁,xᵢ]ΔAᵢ≈f(ξᵢ)·Δxᵢ这里使用的是局部近似，不是一开始就写成严格相等局部量：先近似，再进入求和第三步：把所有局部近似量加起来第1章数学基础·第8节04每个小区间都有一块近似面积，整体近似值就是它们的和xyy=f(x)abΔA₁ΔA₂…ΔAₙ近似的整体面积把局部近似写成求和A≈Σᵢ₌₁ⁿΔAᵢA≈Σᵢ₌₁ⁿf(ξᵢ)·Δxᵢ局部近似→求和第四步：让分割越来越细，近似值越来越好第1章数学基础·第8节05分割越细，矩形越贴近曲线