2026-2027学年河南省开封市杞县高中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河南省开封市杞县高中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线经过点A(2,−8)，B(5,1)，则直线的斜率为(

)A.−3 B.13 C.3 D.2.已知向量a=(1,1,0)，b=(0,2,1)，则a⋅bA.2 B.1 C.−1 D.03.在空间直角坐标系中，若A(1,2,3)，B(3,5,7)，C(7,λ,15)三点共线，其中λ∈R，则λ=(

)A.11 B.9 C.7 D.54.在空间直角坐标系内，已知平面α经过点A(1,2,−1)且平面α的一个法向量n=(2,−1,1)，则下列各点中，位于平面α内的是(

)A.(0,2,−1) B.(0,2,1) C.(2,0,1) D.(1,1,1)5.在四面体OABC中，点M满足OM=3MA，N在BC上，若MN=xAB+yOCA.0

B.13

C.12

6.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，H为CC1的中点，AF=λAH，λ∈(0,1)，若A.12 B.25 C.137.直线xcosα+3y+2=0的倾斜角范围是A.[π6,π2)∪(π2,8.三棱锥P−ABC中，AB⊥AC，且AB=AC=PC=1，则当三棱锥P−ABC的体积最大时，直线PA与BC所成角的余弦值为(

)A.−12 B.12 C.−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，c=(1,3,4)，则下列说法正确的是A.|b|>|c| B.b⋅c=7

C.若a⊥(λ10.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=2π3，∠CAAA.AO=12(AB+AC+AA1) B.|AO|=311.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点PA.不存在点P，使得AP⊥CD1

B.D1P⋅AP的最小值为−13

C.当A1P=23A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.给定点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(5,−4,3)，则AC在AB方向上的投影向量的坐标为

．13.如图，已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱中点，点P满足A4P−=xA4A14.边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使AD⋅BC=14，则三棱锥D−ABC的体积是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l过点A(2m,3)，B(2,−1)．

(1)若直线l的倾斜角为45°，求实数m的值；

(2)若直线l的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围．16.(本小题15分)

已知空间三点A(0,−2,−2)，B(1,−1,−2)，C(−1,−2,0)，设a=AB，b=AC．

(1)设|c|=3，c//BC，求c；

(2)若17.(本小题15分)

如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=AF=2，∠ADC=60°，

(1)求直线BF与平面ABCD的夹角；

(2)求点A到平面FBD的距离．18.(本小题17分)

如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA=2，PA⊥平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点．

(1)求证：MN//平面PAB；

(2)若AB⊥AD，

①求直线PD与平面BMN所成角的正弦值；

②平面BMN将四棱锥P−ABCD分成两部分，求较小部分的体积．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是棱PC上的一点(不包含端点)．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)若PA=6，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为33．

(i)求三棱锥P−AEF的体积；

(ii)记平面AEF交PB于点G，点H在平面PBC上，求GF与平面HAD

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】BC

10.【答案】AC

11.【答案】AD

12.【答案】(713.【答案】5

14.【答案】615.【答案】解：(1)由题意得2m−23−(−1)=tan45°=1，得m=3．

(2)由题意得2m−23−(−1)<0，得m<1，

故实数16.【答案】解：(1)由B(1,−1,−2)，C(−1,−2,0)，

可得BC=(−2,−1,2)，

设c=(x,y,z)，由c//BC，可得x−2=y−1=z2，

又|c|=3，即x2+y2+z2=9，

解得x=−2，y=−1，z=2或x=2，y=1，z=−2，

即c=(−2,−1,2)或(2,1,−2)；

(2)空间三点A(0,−2,−2)，B(1,−1,−2)，C(−1,−2,0)，

可得a=AB=(1,1,0)，b=AC=(−1,0,2)，

k17.【答案】解：设AC∩BD=O，以OD为x轴，OA为y轴，建立空间坐标系，

(1)由已知得：A(0,1,0)，B(−3,0,0)，C(0,−1,0)，D(3,0,0)，F(0,1,2)，

易得平面ABCD的法向量为m=(0,0,1)，BF=(3,1,2)，

cos<m,BF>=m⋅BF|m|⋅|BF|=21⋅22=22，即<m,BF>=π4，

所以直线BF与平面18.【答案】解：(1)证明：取PB的中点为G，连接AG，GN，因为N是PC的中点，

所以GN/​/BC，GN=12BC，

因为四边形ABCD为菱形，所以BC/​/AD，BC=AD，

又M是AD的中点，所以AM//GN，AM=GN，

所以四边形AMNG为平行四边形，

所以MN/​/AG，又AG⊂平面PAB，而MN⊄平面PAB，

所以MN/​/平面PAB．

(2)①因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，

因为AB⊥AD，

所以以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，M(0,1,0)，N(1,1,1)，

所以PD=(0,2,−2)，BM=(−2,1,0)，BN=(−1,1,1)，

设平面BMN的一个法向量为m=(x,y,z)，

则有BM⋅m=0BN⋅m=0，即−2x+y=0−x+y+z=0，

令x=1，则y=2，z=−1，所以m=(1,2,−1)，

所以直线PD与平面BMN所成角的正弦值为|cos<PD,m>|=|PD⋅m||19.【答案】证明：因为底面ABCD是边长为6的正方形，所以AB⊥BC，AD⊥CD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD