2026-2027学年天津市静海区北师大实验学校高二（上）第一次阶段性评估数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津市静海区北师大实验学校高二（上）第一次阶段性评估数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l的一个方向向量为a=(23,−2)，则直线lA.5π6 B.2π3 C.π32.“a=14”是直线l1：(2a−1)x−ay+1=0与直线l2：x+2ay−1=0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若直线l1：ax−(a+1)y+1=0与直线l2：2x−ay−1=0垂直，则实数a=(

)A.3 B.0 C.−3 D.0或−34.已知点A(−5,4)，B(3,−2)，则以AB为直径的圆的方程为(

)A.(x+1)2+(y+1)2=25 B.(x+15.已知点A(2,−3)，B(−5,−2)，若直线l：mx+y+m−1=0与线段AB(含端点)有公共点，则实数m的取值范围为(

)A.[−43,34] B.(−∞,−6.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，点M是A1D1A.12a+b+c

B.17.已知圆C1：(x+1)2+(y−1)2=12，圆CA.(x+2)2+(y−1)2=12 8.已知a≠0，直线ax+by+c=0与圆C：x2+y2+4y−1=0交于A，B两点，若2b=a+c，则A.52 B.54 C.2 9.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，其中，定点Q为x轴上一点，定点P的坐标为(−1A.10 B.11 C.15二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.两条平行直线l1：x−2y+1=0与l2：2x+my+2m=0之间的距离为

．11.已知直线l：kx−y+1=0与圆C：x2+y2+2x−4y+1=0相交于A，B两点，若|AB|=2212.若直线ax+y−4=0与直线x−y−2=0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是

．13.在空间直角坐标系中，直线l的方向向量n=(0,2,−2)，点M(2,2,0)在直线l上，则点N(0,2,1)到直线l的距离是

．14.直线y=k(x−2)+3与曲线y=4−x2有两个公共点，则实数的k的取值范围是

15.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1−x2|+|y1−三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

(1)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(−2,6)，C(−8,0)，求：

①AC边上的中线所在直线的方程；

②AC边上的高所在直线的方程．

(2)已知直线l经过点P(−2,1)，若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．17.(本小题15分)

已知圆C的方程为x2+y2=4．

(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；

(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C相交于A，B两点，若|AB|=23，求直线l的方程；

(3)圆C上有一动点M(x0,y18.(本小题15分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

(1)求证：D1F//平面A1EC1；

19.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，点E是线段BC的中点，AB=2，PA=BC=4，∠ABC=60°．

(Ⅰ)求证：平面PAE⊥平面PED；

(Ⅱ)求A到平面PED的距离；

(Ⅲ)求平面PED与平面AED夹角的余弦值．20.(本小题15分)

在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CD上的点(包含端点)，且CE=DF．

(1)求异面直线B1F与D1E所成角；

(2)当三棱锥C−C1EF体积取得最大值时，求平面C

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】511.【答案】1

12.【答案】−1<a<2

13.【答案】314.【答案】(515.【答案】14916.【答案】①2x−y+10=0；②2x+y−2=0；

y=−12x17.【答案】解：(1)当k不存在时，x=1满足题意；

当k存在时，设切线方程为y−2=k(x−1)，

由|k−2|k2+1=2得，k=−43或k=0，

则所求的切线方程为y=2或4x+3y−10=0；

(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为(1,3)和(1,−3)，这两点的距离为23，满足题意；

当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0，

设圆心到此直线的距离为d，

∴d=4−3=1，即|k−2|k2+1=1，

解得：k=34，

此时直线方程为3x−4y+5=0，

综上所述，所求直线方程为3x−4y+5=0或x=1；

(3)设Q点的坐标为18.【答案】解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(0,0,2)，C1(2,2,2)，E(2,1,0)，D1(0,2,2)，F(1,2,0)，

设平面A1EC1的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅A1E=0n⋅A1C1=0，

即2x+y−2z=02x+2y=0，

令x=2，则y=−2，z=1，

即n=(2,−2,1)，

又D1F=(1,0,−2)，

则D1F⋅n=2×1+(−2)×0+1×(−2)=0，

即D1F⊥n，

因为D1F⊄平面A1EC1，所以D1F//平面A1EC1；19.【答案】证明：过点A作直线AM⊥AD，交直线BC于点M，

则AM=ABsin60°=3，BM=ABcos60°=1，所以CM=3，

以点A为原点，直线AM，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,4,0)，E(3,1,0)，P(0,0,4)，

AP=(0,0,4)，AE=(3,1,0)，

DE=(3,−3,0)，DP=(0,−4,4)，

设平面PEA的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅AP=4z=0m⋅AE=3x+y=0，

取x=1时，m=(1,−3,0)．

20.【答案】解：(1)以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

设CE=DF=t(0≤t≤6)，则B1(6,6,6)，C1(0,6,6)，D1(0,0,6)，E(t,6,0)，F(0,t,0)，

故B1F=(−6,t−6,−6)，D1E=(t,6,−6)，

因为B1F⋅D1E=−6t+6(t−6)+36=0，

所以B1F⊥D1E，

即异面直线B1F与D1E所