北京市海淀区2026-2027学年九年级上学期期中数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市海淀区2026-2027学年九年级上学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（

）A.，， B.，， C.，， D.，，2.抛物线的顶点坐标是（

）A. B. C. D.3.已知点在反比例函数的图象上，下列各点中不在该反比例函数图象上的是（

）A. B. C. D.4.用配方法解方程的过程中，变形正确的是（

）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得的图象经过点（

）A. B. C. D.6.学校创客社团的同学用3D打印机制作了一款底面为正方形的杯垫．为了提升实用性，现将杯垫底面各边的长度均增加，结果底面面积增加了，设原杯垫的底面边长为，下面所列方程正确的是（

）A. B. C. D.7.某同学在平面直角坐标系中绘制二次函数的图象时，列出与的部分对应值如下：…………根据表中数据，下列判断正确的是（

）A.图象开口向上 B.当时，随的增大而减小

C.图象与轴没有交点 D.函数的最大值为8.对于平面内一点与线段，过点作的垂线，若垂足在线段上，则称点是线段的可投点．在平面直角坐标系中，记函数的图象为．给出下面四个结论：①在图象上能找到点，，使得点是线段的可投点，且是钝角三角形；②，为图象上的两点，以，为邻边作平行四边形．若点是线段的可投点，则点也是线段的可投点；③对于图象上的任意点，都能在上找到点，使得点是线段的可投点；④已知直线与图象交于，两点，则对任意负实数，都有实数，使得点是线段的可投点．上面结论中，所有正确结论的序号是（

）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空题：本题共9小题，共22分。9.已知2是一元二次方程的一个根，则的值为

．10.写出一个关于的一元二次方程，使得该方程的一个根为0，另一个根不为0，该方程可以是

．11.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则

．12.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为

．13.如图，在中，，，，点是的中点，则四边形的周长为

．

14.一块三角形铁皮材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点，，分别在边，，上．当剪出的矩形的面积最大时，的长为

．

15.已知点在反比例函数的图象上，则代数式的最小值为

．16.某共享单车（下文简称“单车”）系统的调度中心位于点处，该调度中心在，，，四个停放点进行网络优化试点，调度中心、各停放点之间的道路连通情况及实际距离（单位：千米）如图（示意图）所示．初始时刻，，，四个停放点的单车数量分别为20辆，10辆，8辆，4辆．运维部门设定每个停放点停放单车的“理想容量”均为16辆，为了评估停放点的供需健康度，定义总偏差指数，其中，，，分别为，，，停放点的实际单车数量．

(1)若调度中心处有4辆全新单车，计划直接投放至这四个停放点中（不可移出原有单车），则投放后总偏差指数的最小值为

；(2)若调度中心处有10辆全新单车，运维部门要求将所有单车在图示道路网络中进行调配（允许移出原有单车），使得总偏差指数尽可能小．已知每辆单车调运的成本为5元/千米，则满足上述调配要求的最小总调运成本为

元．17.在平面直角坐标系中，对于点，称点为其“伴随点”．对于一个函数，其图象上所有横坐标不为0的点的“伴随点”组成的图象对应的函数记为函数，称函数为函数的“伴随函数”．(1)点的“伴随点”是

；若一个点的“伴随点”与它本身重合，则这个点可以是

；（写出一个即可）(2)已知函数的“伴随函数”的图象是过点，的直线除去点的部分．①若，当函数的自变量时，函数的最小值是

；②若，函数与函数的图象交于不同的两点，．已知函数的图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）内无整点（横、纵坐标都是整数的点），则的取值范围是

．三、计算题：本大题共1小题，共6分。18.解下列方程：(1)；(2)．四、解答题：本题共10小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题3分)

已知是方程的一个实数根，求代数式的值．20.(本小题6分)已知函数．

(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)当时，自变量x的取值范围是

．21.(本小题6分)

已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)已知，是方程的两个实数根，，求的值．22.(本小题6分)如图，在中，是边上一点，是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若是的中点，，，，求的长．23.(本小题3分)图1是一种可调节高度的桌上升降台，图2为其平面示意图．已知该升降台的剪刀式桌腿由两根长度相等的硬质连杆交叉铰接于中点，其中，为底座上的连接点，，为台面下的连接点．台面高度可以通过调整，之间的距离来调节．使用时发现，当台面处于最低位置时，，之间的距离为；当台面升至最高位置时，，之间的距离增加了，，之间的距离比最低位置时，间距离的一半多．求台面处于最低位置时，之间的距离．

24.(本小题6分)

在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．(1)求的值；(2)当时，直接写出的取值范围；(3)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值，直接写出的取值范围．25.(本小题6分)

年某文旅团队推出考古主题盲盒，并借助辅助生产．生产成本包括每日平台运营费元，每盒标准化生产成本元，每盒文旅授权与防伪溯源费元．当日产量超过盒时，还需额外加付流量服务费元．经调研发现，当日产量为盒（为整数，）时，将单盒售价定为元，当天生产的盲盒可全部售出．记日总利润为元，基于上述调研结果，回答下列问题：(1)当时，单盒售价为

元，日总生产成本为

元；(2)写出日总利润关于日产量（为整数，）的函数解析式，并求出最大日总利润．26.(本小题8分)借助函数的研究经验，探究函数的图象与性质．(1)函数的自变量的取值范围是

；(2)补全表格：…

……

…(3)补全表格后，根据表格中各组，的值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并结合对函数解析式的分析，画出该函数的图象；

(4)过点（）作轴的垂线，分别交直线与函数的图象于点，，将线段平移到（点的对应点为），为点关于原点的对称点，直接写出的面积随的变化情况．27.(本小题6分)自主学习．【命题提出】“在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越近，其纵坐标的值越小．”(1)该命题用符号语言表述为：在平面直角坐标系中，已知，是抛物线：（）上的两点．若

，则；（填“>”“=”或“<”）(2)若，结合所学知识，证明该命题；(3)【命题应用】已知点，，在抛物线上．当时，对于任意正数，均有，直接写出的取值范围．28.(本小题6分)如图，是等边三角形，是线段延长线上一点，连接．线段的垂直平分线与，分别交于点，．过点作射线，使得，且，位于的同侧．的平分线与射线交于点．

(1)①依题意补全图形；②求证：；(2)用等式表示线段，的数量关系，并证明．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】6

10.【答案】/（答案不唯一，满足条件即可）

11.【答案】0

12.【答案】9

13.【答案】

14.【答案】6

15.【答案】

16.【答案】【小题1】180

【小题2】180

17.【答案】【小题1】

【小题2】

或或

18.【答案】【小题1】解：或解得：，【小题2】解：，，解得：，

19.【答案】解：是方程的根，即．

20.【答案】【小题1】【小题2】

21.【答案】【小题1】证明：对于一元二次方程，，，，判别式．，，

方程有两个不相等的实数根．【小题2】解：，是方程的两个实数根，，，，，解得，，．

22.【答案】【小题1】证明：∵，∴，∵是的中点，∴，∴，∴，∵，即，∴四边形是平行四边形；【小题2】解：如图，过点F作于点G，∵是的中点，是的中点，，∴为的中位线，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．

23.【答案】解：连接，，如图，由题意，，，，∴四边形是矩形，∴，设台面处于最低位置时，之间的距离为，则台面处于最高位置时，之间的距离为，B、C之间的距离为，根据题意，在调节台面过程中，长度始终保持不变，∴中，由得，整理，得，解得，（负值，舍去），答：台面处于最低位置时，之间的距离为．

24.【答案】【小题1】解：反比例函数的图象经过点，则．【小题2】解：，则当时，随的增大而减小，当时，的取值范围为，即．【小题3】解：过点，将代入，可得，将代入可得，当时，随着的增大而减小，若足够大，为负数，，，不满足题意；当时，随着的增大而增大，在时随着的增大而减小，若时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值，可得，解得．

25.【答案】【小题1】

​​​​​​​【小题2】解：当时，单盒利润为元，则日总利润，，抛物线开口向下，对称轴为，则当时，随着的增大而增大，可知当时，取得最大值，最大值为元；当时，日总利润，，抛物线开口向下，对称轴在取值范围内，可知当时，取得最大值元，，综上，最大日总利润为元．

26.【答案】【小题1】

【小题2】​​​​​​​123​​​​​​​0​​​​​​​​​​​​​​【小题3】【小题4】解：如图：∵，轴，∴点，，∴，∵为点关于原点的对称点，∴点，∴，∴无论为何值，的面积不变，为．

27.【答案】【小题1】​​​​​​​【小题2】证明：将抛物线解析式配方得，∵，在抛物线上，∴，，∴，由题设得，两边平方得，即，又∵，∴，即；【小题3】解：抛物线的对称轴为直线，开口向上，∵，，∴三点到对称轴的距离满足，对两边平方，整理得，同理，对平方整理得，∵，∴只需满足即可，∵，，∴，且当无