大学物理学 上册 课件 10-06 薛定谔方程

§6

薛定谔方程物质波的波函数

服从什么样的定律？补充：考虑欧拉公式：自由粒子的一维单色平面波函数：自由粒子的一维单色平面波函数：一维运动自由粒子的物质波波函数§6薛定谔方程一、薛定谔方程(Schrödinger’sEquation)二、定态薛定谔方程1、自由粒子的薛定谔方程2、势场中的(含时)薛定谔方程§27-2一维势阱与一维散射问题(P335)二、一维散射问题(P339)一、一维无限深势阱中的粒子§6薛定谔方程物质波的波函数

服从怎样的定律？一、薛定谔方程(Schrödinger’sEquation)自由粒子波函数得到方程假定v<<c，则自由粒子的薛定谔方程若粒子是在势场U(x,t)

中运动呢？忽略静能

ErwinSchrödinger将自由粒子的薛定谔方程推广到势场U(x,t)

中，得考虑粒子在三维空间运动，

其中：

——势场中(含时)薛定谔方程几点说明：薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，其地位类似于经典力学中的牛顿定律；适用于动能远小于静能的粒子，而不适于处理如光子这样的高速粒子。相对论情况可用狄拉克(Dirac)方程1933年，薛定谔与狄拉克共获诺贝尔物理奖。

波函数的标准条件(单值、连续、有界)与归一化条件满足上式的波函数

i

(i=1,2,3…)称为能量的“本征(特征)函数”因为波函数标准条件的限制，只有当薛定谔方程中总能量E

具有某些特定值才有解。上式中的粒子能量值Ei

(i=1,2,3…)(Eigenfunction)(Eigenvalue)

称为能量的“本征值(特征值)”

波函数的标准条件(单值、连续、有界)与归一化条件由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数自然服从叠加原理含义：若

1、

2是描述粒子可能状态的波函数，则

也是一个可能的波函数，它所描述的状态是该粒子的另一个可能的状态。1θ2θw干涉项

则有：若势函数不含时：二、定态薛定谔方程可令：得两方程：分离变量薛定谔方程：

由第一个方程易得：即：——E是粒子的能量第二个方程——称为定态薛定谔方程一维情况：定态波函数或：§2-2一维势阱与一维散射问题一、一维无限深势阱中的粒子势函数(0＜x＜a)(x≤0或x≥a)阱底、阱上和阱深。0xa若电子的动能(内层)远远小于势场U的大小

1、金属中电子的物理模型金属的原子核排列是周期性的晶格结构。晶格间的势场是一种势阱的结构。——无限深势阱若为外层电子，势阱将是有限深的——有限深势阱U(x)=0

一、一维无限深势阱中的粒子势函数(0＜x＜a)由定态薛定谔方程：(1)势阱外：0xU(x)=0

a(x≤0或x≥a)由波函数的有界条件，欲方程成立，必有：(x≤

0

或x≥a)(2)势阱内：(0＜x＜a)2、波函数求解令：则：解得：a.由波函数的连续性条件，应有：得：(1)势阱外(x≤0或x≥a)：(2)势阱内(0＜x＜a)：n=???称为量子数(QuantumNumber)a.由波函数的连续性：c.综上得波函数：b.由波函数的归一性：即：(0＜x＜a)(x≤0或x≥a)3、波函数的物理意义：(0＜x＜a)(x≤0或x≥a)an=1n=2n=3a——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波(why)势阱中的粒子在各处的概率密度不等。an=1n=2a——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波(why?)原因：物质波在阱内运动时，会在阱壁两端来回反射，要能够稳定下来，必须形成德布罗意驻波。阱壁处（即x=0,x=a

处）其

(x)=0，只能是波节。势阱中粒子的能量(能量本征值)：由：——势阱中粒子的能量是量子化的。因为n≠0，故E≠0，——完全静止的粒子是不存在的！势阱中的粒子在各处的概率密度不等。能级图？≠0？？？3)在一定条件下，量子力学解可趋近于经典力学的情况：当量子数n足够大时：粒子的概率密度趋于均匀分布粒子能级的相对差值当m或a足够大时，同样得到上述结论粒子能量趋于连续分布已知ABC提交则a/6处出现的概率密度为________，从阱壁a=0起到a/2区间粒子出现的概率为______。粒子出现概率密度最大的位置为____。D单选题3分二、一维散射问题梯形势(x＜

0)(x≥0)定态薛定谔方程：在此考虑

0<E<U0

情况根据波函数的连续性条件解得：在x＜0区域：在x≥0区域：(x

＜

0)(x≥0)——“电子逸出金属表面”模型(x

＜

0)(x≥0)“隧道效应”势垒贯穿势函数如图：当E<U0时：扫描隧道显微镜ScanningTunnelingMicroscope，STM用STM获得的硅晶体表面重构图象48个Fe原子构成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波用扫描探针显微镜(SPM)实现原子(分子)操纵一氧化碳“分子人”在0＜x＜a的区域：设n=1。