人教A版高中数学必修第二册第十章概率10.1.3古典概型(1)学案

PAGE10.1.3古典概型(1)【学习目标】1.理解古典概型及其概率计算公式.(数学抽象)2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率.(数学运算)3.掌握利用概率的计算公式求古典概型的概率的方法.(数学建模)必备知识自主导学知识点1古典概型的定义1.事件的概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.2.古典概型的定义我们把具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.[点睛]一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.知识点2古典概型的概率计算公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=n其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)古典概型中,试验中出现的样本点可以无限多.(×)提示:古典概型中,试验中出现的样本点是有限的.(2)古典概型每个样本点发生的可能性相等.(√)提示:这是古典概型的特征之一.(3)“在区间(0,5)内任取一点,求此点小于2的概率”是古典概型.(×)提示:因为区间内的点有无限多个,不满足基本事件的有限性,所以错误.(4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.提示:基本事件的总数为3×3=9,其中甲、乙参加同一个兴趣小组有3种结果,所以所求的概率为39=1关键能力师生共研题型一古典概型的判断【典例1】下列模型中,是古典概型的为()A.从一部分零件中任意抽取一个,测其长度B.种一粒种子,观察它是否能够发芽C.抛掷一枚均匀的骰子,观察向上的面的点数D.统计甲、乙两人射击的成绩,分析两人击中靶子的概率【解析】选C.选项A中,长度的值出现的可能性不一定相同,故不是古典概型,A错误;选项B中,发芽与不发芽的可能性不一定相等,故不是古典概型,B错误;选项D中,击中靶子与否的概率不一定相等,不满足等可能性,故不是古典概型,D错误;选项C中,出现的结果为1点至6点,结果是有限个,并且由于骰子均匀,因此每个点数向上的可能性相同,满足古典概型的两个特征,故是古典概型,C正确.【解题有招】判断古典概型的两个依据(1)样本点总数有限.(有限性)(2)各个样本点出现的可能性相等.(等可能性)【即学即练】(多选)下列是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点时B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点时C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率D.从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球,计算所取的两个小球都是白球的概率【解析】选CD.A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的样本点是无限的,故B不是;C和D项满足古典概型的有限性和等可能性,故C和D都是.题型二简单的古典概型概率的计算(重点讲解)【典例2】(1)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于()A.15 B.25 C.35【解析】选B.标记红球为A,白球分别为B1,B2,黑球分别为C1,C2,C3,则样本点有(A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3),共15个.记事件M为“取出的两球一白一黑”,则事件M包含的样本点有(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),共6个.根据古典概型的概率计算公式可得其概率P(M)=615=2(2)(教材P238例9提升)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出两个球,求:①样本空间的样本点的总数n;②事件“摸出两个黑球”包含的样本点的个数;③摸出两个黑球的概率.【解析】由于4个球的大小相等,摸出的每个球的可能性是均等的,所以是古典概型.①将黑球编号为黑1,黑2,黑3,从装有4个球的口袋内摸出两个球,样本空间Ω={(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)},共有6个样本点,即n=6;②事件“摸出两个黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共有3个样本点;③样本点总数为6,事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数为3,故摸出两个黑球的概率为36=1[变式]本例(2)条件不变,求摸出“一黑一白”的概率.【解析】事件“一黑一白”={(黑1,白),(黑2,白),(黑3,白)},共有3个样本点,所以摸出“一黑一白”的概率P=36=1【解题有招】求古典概型概率的步骤(1)判断试验的事件是否是古典概型,并用字母表示所求事件(如事件A).(2)确定样本空间的样本点的总数n.(3)确定所求事件A包含的样本点的个数k.(4)用公式P(A)=kn=n(A)【即学即练】(2026·上海高二检测)在一次学校组织的“科技文化节”活动中,某数学学习小组有男同学3名(记为a1,a2,a3),女同学2名(记为b1,b2).现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)写出这个随机试验的样本空间,并写出样本点的个数;(2)设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”,写出事件A所对应的子集,并求出事件A发生的概率;(3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率.【解析】(1)从5名同学中选取2名同学参赛,这个随机试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共10个样本点.(2)由事件A为“参赛的2名同学都是女同学”知,A={(b1,b2)},共1个样本点,所以P(A)=110(3)设B=“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”,则B={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},共6个样本点,所以P(B)=610=3题型三根据古典概型的概率求参数(重难突破)【典例3】从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n=(A.28 B.14 C.10 D.8【解析】选D.设(x,y)为取出的两个数组成的数对,x是第一个数,y是第二个数,且x≠y,则n(Ω)=n×n−n=n(n−1).设事件A:取出的两个不同的数的和为5,则A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},则n(A)=4,P(A)=n(A)n(Ω)=4所以n=8.【即学即练】1.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球,在不允许将球倒出来数的前提下,为估计口袋中黄球的个数,小明采用了如下的方法:每次从口袋中摸出1个球,记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程200次,共摸出红球80次,根据上述数值,估计口袋中大约有黄球()A.10个 B.15个 C.25个