材料力学（第3版）－11B－材料力学中的能量方法

材料力学11能量方法22基本概念互等定理应用于弹性杆件的虚位移原理单位载荷法莫尔积分直杆莫尔积分的图乘法卡氏定理结论与讨论研讨问题11

能量方法33虚位移虚位移原理应用于弹性杆件的虚位移原理4虚位移满足约束条件和连续条件的任意无限小位移。虚位移不改变原有平衡状态平衡位置应用于弹性杆件的虚位移原理

q(x)F1F2w*(x)真实位移可以作为一组虚位移虚位移无限小真实位移任意唯一确定任意唯一确定方向大小约束许可无限小q(x)F1F2w*(x)5—虚应变能虚位移原理虚功—力在虚位移上所作的功。结构在平衡状态下施加虚位移，外力虚功We等于内力在虚变形上作的虚功Wi。

——虚位移原理We=Wi应用于弹性杆件的虚位移原理

6外力在虚位移所作虚功等于内力在相应虚变形上所作虚功，也等于杆件的虚应变————虚位移原理q(x)F1F2w*(x)注：虚位移原理可用于线弹性材料，也可用于非线性弹性材料。

虚位移和对应虚变形产生的原因相同。应用于弹性杆件的虚位移原理

虚位移原理77基本概念互等定理应用于弹性杆件的虚位移原理单位载荷法莫尔积分直杆莫尔积分的图乘法卡氏定理结论与讨论研讨问题11

能量方法1(1)构造单位载荷系统建立一个与原结构完全相同的结构，并在所要求的点沿所求的位移方向施加广义单位力(2)原结构为“载荷系统”(3)在单位载荷系统施加虚位移将载荷系统的真实位移，作为单位载荷系统的虚位移(4)应用虚位移原理单位载荷法ΔΔiF1F2A载荷系统单位载荷系统Ai单位载荷法莫尔积分

9对单位载荷系统应用虚位移原理为单位载荷系统中单位载荷引起的内力;为载荷系统中外载荷引起的真实变形。1ΔΔiF1F2A载荷系统单位载荷系统Ai单位载荷法

莫尔积分

单位载荷法10

注：1)单位载荷法可用于非线性弹性材料;2)若求出的Δ为正，则表示Δ与单位力的方向相同；3)单位力和位移均为广义的。1ΔΔiF1F2A载荷系统单位载荷系统Ai单位载荷法单位载荷法

莫尔积分11莫尔积分对于线弹性材料，单位载荷法中的虚变形为

弯曲

拉压

扭转

d

dxOO单位载荷法莫尔积分

12=++线弹性轴力为常值莫尔积分式中：加一杠的内力是单位力引起的内力； 未加杠的内力是原外力引起的内力。显然，莫尔积分仅适用于线弹性结构。单位载荷法莫尔积分

13例2已知:F,l,a,E,I1,I2,不计轴力和剪力的影响。求：A点垂直位移

y及B截面的转角

B

。解：1实际载荷的弯矩

AB段在A点加y方向单位力laCEI2BAEI1x1x2FBC段2求

y

CEI2BAEI1x1x21单位载荷法莫尔积分

141实际载荷的弯矩

AB段在A点加y方向单位力BC段2求

y

单位载荷的弯矩AB段BC段

代入莫尔积分公式laCEI2BAEI1x1x2FCEI2BAEI1x1x21单位载荷法莫尔积分

15

代入莫尔积分公式

AB段BC段laCEI2BAEI1x1x2FCEI2BAEI1x1x21单位载荷法莫尔积分

单位载荷系统与载荷系统的弯矩正负号方向需一致。16在B点加单位力偶矩2求

B

单位载荷的弯矩AB段BC段

代入莫尔积分公式CEI2BAEI1x1x21laCEI2BAEI1x1x2F单位载荷法莫尔积分

17

代入莫尔积分公式

AB段BC段

这里的负号表示 实际的转向为顺 时针的CEI2BAEI1x1x21laCEI2BAEI1x1x2F单位载荷法莫尔积分

1818基本概念互等定理应用于弹性杆件的虚位移原理单位载荷法莫尔积分直杆莫尔积分的图乘法卡氏定理结论与讨论研讨问题11

能量方法19图乘法的条件直杆莫尔积分的图乘法

当EI＝const.时

以弯曲问题为例

图乘法公式MxOaαxOdxxM(x)dAΩ直杆莫尔积分的图乘法图乘法公式

dAΩ

AΩa

MxOxOSMAΩCxC直杆莫尔积分的图乘法图乘法公式

dAΩ

22

此式对轴力和扭矩也适用即：莫尔积分的计算，可用载荷的弯矩图的面积与该图形形心位置所对应之处的单位载荷(直线)的弯矩图的幅度之积代替。直杆莫尔积分的图乘法

图乘法公式23

常用图形的面积和形心位置

直杆莫尔积分的图乘法图乘法公式24ABDqABD1C例5已知:q,l,EI。求：中点D的挠度。解：用图乘法。

实际载荷的弯矩图

单位载荷的弯矩图直杆莫尔积分的图乘法25C

面积

高度

图乘?

图有折点，应分段图乘。直杆莫尔积分的图乘法

26ABDqAΩ1AΩ2ABD1C1C2

面积

高度

图乘直杆莫尔积分的图乘法

27例6已知:F，q，

a，l，EI。求：A截面转角。解：用图乘法。

实际载荷的弯矩图(叠加法）

单位载荷的弯矩图FlaABCqABC1AΩ1AΩ2AΩ31直杆莫尔积分的图乘法28

面积

高度FlaABCqABC11AΩ1AΩ2AΩ3C1C2C3直杆莫尔积分的图乘法

29

图乘ABC11AΩ1AΩ2AΩ3C1C2C3直杆莫尔积分的图乘法

30例7已知:q,a,l,

EI为常数。求：

Cx

及

C

，轴力及剪力不计。解：用图乘法。

实际载荷的弯矩图laCBAqCBAMC2C1AΩ1AΩ2

面积直杆莫尔积分的图乘法

31CBAMC2C1AΩ1AΩ2

求

Cx

单位载荷的弯矩图CBA1l直杆莫尔积分的图乘法

32CBAMC2C1AΩ1AΩ2

求

C

单位载荷的弯矩图

面积CBA111直杆莫尔积分的图乘法

33

正负号问题对刚架，外载荷的弯矩图与单位载荷的弯矩图在同侧的，乘积取正号；分别在两侧的，乘积取负号。直杆莫尔积分的图乘法CBAMC2C1AΩ1AΩ2CBA1113434基本概念互等定理应用于弹性杆件的虚位移原理单位载荷法莫尔积分直杆莫尔积分的图乘法卡氏定理结论与讨论研讨问题11

能量方法35忽略高阶微量

Fi

δi

/2，有:卡氏定理设Fi有一增量

Fi,其它各Fj不变，

Fi所作的功为

Fi

δi

/2，而各Fj所作的功为Fj

δj

。BAF1F2F3FnFi卡氏定理36

为应用功的互等定理，将力区分为两组力将F1,F2,……,Fn看作第一组力,

Fi看作第二组力。第一组力在第二组力

Fi作用点引起的位移为δi

，第二组力在第一组力作用点引起的位移为

δ1，

δ2,……,

δn。BAF1F2F3FnFiBA卡氏定理37由功的互等定理,有两边取极限，得:注：推导卡氏第二定理时，用了功的互等定理， 所以它只适用于线弹性材料及结构。

卡氏第二定理卡氏定理

38组合变形若Fi力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则卡氏定理

39

用卡氏定理解题的一般步骤1)求约束反力；2)分段列出内力方程（弯矩方程）；3)求偏导数；4)将内力方程和偏导数代入卡氏定理，积分。卡氏定理

40例已知:EI,Me,F,a,l。求：wC,

A。解：

求反力AB段

分段列弯矩方程BC段FRBFRA卡氏定理

41AB段BC段

求偏导数FRBFRA卡氏定理

42

由卡氏定理

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理FRBFRA卡氏定理

43

求

AFRBFRA卡氏定理

44aa2aABCDMe例3已知:EI为常数,Me

。求：

C

及D点的水平位移

x，轴力及剪力不计。解：1为求

C

，加Ma

分段列弯矩方程并求对Ma的偏导数Ma

求反力FRAyFRD卡氏定理

45

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理积分求出实际上并无Ma

，所以令Ma=0，得：通常在积分前即令Ma=0，可使积分简单。aa2aABCDMeFRAyFRDMa()卡氏定理

462为求

Dx

，aa2aABCDMeFaFRAxFRAyFRD

分段列弯矩方程并求对Fa的偏导数

求反力

在弯矩方程和偏导数中，令Fa=0积分求出

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理加Fa卡氏定理

47一个有意义的结果FPΔOΔ1FP1Δ2FPΔOΔ2FP2Δ1FPAB结论与讨论

48在产生相对位移的两点沿相对位移的方向加一对方向相反的单位力

单位载荷法求相对位移结论与讨论

49例已知:平面桁架如图，F,a,各杆EA相等。求：AC两点间的相对位移

AC

。解：1实际载荷的轴力

用节点法可求出各杆的 轴力FNi。在A、C两点沿AC方向加一对方向相反的单位力。2加单位力FAFDCBE154326798aaa单位载荷法求相对位移

50在A、C两点沿AC方向加一对方向相反的单位力。2加单位力11

用节点法可求出在这一 对单位力作用下，各杆3代入莫尔积分公式的轴力。AFDCBE154326798aaa注意轴力正负号注意各杆长度不同单位载荷法求相对位移

51例已知:活塞环如图，F,R,EI。求：切口处的张开量。解：

对曲杆，可近似用对直杆的公式。

根据已知条件，只考虑弯矩的影响1实际载荷的弯矩由于对称性，只需列出半圆的弯矩。

处截面:这里，是以使曲率增大的弯矩为正弯矩。FFAB

FNFsM单位载荷法求相对位移

52

处截面:在A、B两点沿AB方向加一对方向相反的单位力。2加单位力

单位载荷的弯矩

处截面:这里，是以使曲率增大的弯矩为正弯矩。AB

11

FNFsM单位载荷法求相对位移

531实际载荷的弯矩

单位载荷的弯矩3代入莫尔积分公式2加单位力AB

11FFAB单位载荷法求相对位移

54同一杆的载荷内力图与单位载荷内力图才能互乘同种内力分量的内力图才能互乘相同作用面内的弯矩图才能互乘图形相乘的结果必须除以相应的刚度载荷弯矩不连续时需要分段；单位载荷弯矩图斜率不连续时（弯矩图有折点）需要分段。当EI有变化时，应分段图乘；作弯矩图时，可用叠加法，分别进行图乘。面积与其形心对应的单位载荷内力图的内力数值均为代数值，要注意正负号；结论与讨论应用图乘法的要点

55注意弯矩图的画法——面积容易计算；形心容易确定。图示外伸梁梁中q、l以及弯曲刚度EI等均已知，忽略剪力影响。试用图乘法求：点A的挠度；截面B的转角。xM结论与讨论应用图乘法的要点56结论与讨论应用图乘法的要点57

结论与讨论图乘法的反乘AΩa

MxOxOCxC

xOa

MxOCxC

58结论与讨论图乘