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文档简介

一、若只计入电子与原子核的库仑相互作用，氢原子的电子态有严格的本征解，其本征能量为，为电子质量，为电子电荷量。1、找出该体系的一种完整力学量组，并分析本征能级的简并度；2、若计入自旋-轨道相互作用，用微扰论讨论和的能级劈裂情况。解：1、完整力学量组可选或本征能级简并度。2、若选择耦合表象，微扰将是对角矩阵，对角元即是该微扰项引起的一级能量修正。其对角元为对于能级，，该微扰的一级修正为零，能级不劈裂；对于能级，，一级能量修正为，即能级劈裂成3条。二、处于一维周期势场中的微观粒子的哈密顿量为，（其中和为常数）。而为一维自由粒子的哈密顿量，其对应的本征能态满足。在非常小的时候，周期势场可以视为微扰项，的本征态和本征能量则称为零级波函数和零级能量。计算该微扰项对零级能量为的本征量子态的一级能量修正（准确到的一次项）。解：由题已知自由粒子的能量色散为抛物线型，此时能量是二重简并的，和对应同一能级。若将周期势场看成微扰，应用简并微扰理论计算能级修正。能级对应的两个量子态为和:在该空间中微扰矩阵元为：，，求解一级能量修正的本征方程为可得能量的一级修正为。即周期性势场使得电子能带在布里渊区的边界会打开带隙。三、处于平面内的二维电子受到垂直于该平面的方向的匀强静磁场的作用，该磁场可用Landau规范描述，此体系的哈密顿量为 ，其中，为电子动量算符，为电子电荷量，为光速。1、证明：体系哈密顿量和方向动量算符互相对易，即；2、证明：，其中为和的共同本征态，是方向坐标算符。解：证明1.：，即有共同本征态。证明2.：设共同本征态为：（的本征态为平面波）带入本征方程可得：整理可得其中。可解得其中。所以有，证毕。四、若只计入电子与核之间的库仑场相互作用，氢原子的电子态有严格的本征解。在完全力学量集下，能量本征态记为，其中分别表示主量子数、轨道角动量量子数、轨道磁量子数和自旋磁量子数。1、分析本征能级的简并度。2、若该氢原子处于沿z方向的均匀磁场中,磁场所引起的附加哈密顿量为，其中、和分别为电子电荷、电子质量和光速。用微扰理论讨论在该磁场中氢原子能级的劈裂情况(忽略由相对论修正及自旋-轨道耦合所引起的精细结构劈裂)。1、本征能级的简并度。2、利用简并微扰理论，

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