物理光学-第3章-光的衍射

第三章

光的衍射

物理光学主要研究内容3.1衍射的基本理论3.2夫琅禾费衍射3.3菲涅耳衍射3.4光学系统的分辨本领3.5光栅3.6全息照相第三章光的衍射33.1.1光的衍射现象及主要特点2.衍射现象：光波在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进这种偏离直线传播的现象称为衍射现象。3.判据：a~λ障碍物/孔径尺寸与波长可比时明显。1.实验现象：单缝KabS光源(a)屏幕E屏幕E

单缝Ka

S光源(b)b

3.1衍射的基本理论衍射几何投影两个特点：①波传播方向会变，经障碍物后会在某种程度上绕到其几何阴影区域中去。②在几何阴影区附近，波的强度会有起伏。

只有当障碍物的尺寸与波长相近时衍射现象明显。

在空气中，波长较长、且与日常障碍物或孔隙尺寸相近的波最容易观察到明显衍射。

可闻声波波长约17mm-17m，容易绕过障碍物传播，衍射现象常见。

4衍射现象的主要特点3.1.1光的衍射现象及主要特点①单缝衍射

5②圆孔衍射3.1.1光的衍射现象及主要特点

单缝衍射条纹平行于缝

圆孔衍射为同心圆6光源障碍物接收屏光源障碍物接收屏1.菲涅耳衍射2.夫琅禾费衍射光源到衍射屏、衍射屏到接收屏至少一个有限远/均为有限远。

观察比较方便，但定量计算却很复杂。光源到衍射屏、衍射屏到接收屏两个距离均为无限远。计算比较简单。障碍物接收屏衍射系统一般由光源、衍射屏和接收屏组成的。按它们相互距离的关系，通常把光的衍射分为两大类

3.1.1光的衍射现象及主要特点夫琅禾费衍射菲涅耳衍射

1690年惠更斯提出惠更斯原理，认为波前上的每一点都可以看作是发出球面子波的新的波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波前。1818年，菲涅耳运用子波可以相干叠加的思想对惠更斯原理作了补充他认为从同一波面上各点发出的子波，在传播到空间某一点时，各个子波之间也可以相互叠加而产生干涉现象。这就是惠更斯－菲涅耳原理。73.1.2惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯-菲涅耳原理复振幅

代表开孔上的场强分布。代表从点光源发出的球面波传到P点时的振幅和相位的变化。是一个倾斜因子，它描写次波振幅随方向的改变，其中是QP与波面法线夹角，称为衍射角。

83.1.2惠更斯-菲涅耳原理

，如果把单缝2换成同样宽度的不透光窄带，例如直径为a的细丝（透光屏上的不透光窄条）。这时平行光通过这不透光的窄条以后，也要发生衍射，而且屏上的衍射条纹和单缝的衍射条纹类似。

93.1.2惠更斯-菲涅耳原理

巴俾涅原理

设和分别是单缝和窄条的衍射在屏上P点所产生的复振幅，而

则是没有衍射物是P点的复振幅。对于单缝，其积分面积是单缝透光的部分，设为；对于窄条，其积分面积也是透光的部分，它是除窄条以外的物镜的全部通光面积，设为；而什么都不放时，其积分面积就是全部通光面积，设为由于限制波面的孔径愈小，衍射图就愈扩展，因此单缝的衍射图要比物镜边框所产生的衍射图扩展得多，所以在远离衍射图中心的地方，实际上可以忽略。103.1.2惠更斯-菲涅耳原理

小角度入射时，近似

在

可忽略的区域，近似有总结：

反相（位相差

）而衍射光强相等。由此可见，在远离物镜边框所产生的衍射图中心的地方，单缝和窄条的衍射花样相同。所以在一般情况下，如果有两个特别的光屏，其中一个开孔的地方正好是另一个挡光的地方，且形状、大小完全一致。这时它们的衍射场和将满足关系式。这两个特殊的光屏则称之为互补屏，关系式则称为巴俾涅原理。既然不透光的窄带（例如直径为的细丝）其衍射效应与长直狭缝一样，因此可直接利用从单缝衍射所推出窄带的计算公式来测量细丝的直径。直径为a

的细丝

113.1.2惠更斯-菲涅耳原理

光的衍射现象可以分为两种类型——菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射，又分别称为近场衍射与远场衍射。12

3.1.3基尔霍夫衍射公式的近似

近场投影：若在K1面附近观察透过的光，将看到边缘比较锐利的光斑，其形状、大小和圆孔基本相同，可看作是圆孔的投影。这时光的传播大约可看作是直线进行的。

边缘模糊：若距离再远些，例如，在K2面上观察时，将看到一个边缘模糊的略大的圆光斑，光斑内有一圈圈的亮暗环，这时光斑已不能看作是圆孔的投影了。

环数减少：随着观察平面距离的增大，光斑范围将不断扩大，但光斑中圆环数目则逐渐减少（如K3面的情况），而且环纹的中心也表现出从亮而暗，又从暗而亮的变化。

远场稳定：当观察平面距离很远时，如在K4面，将看到一个较大的中间亮边缘暗且在边缘外有较弱的亮暗圆环的光斑，此后，当观察距离再增大时，光斑范围将不断扩大，但光斑形状不变。称为夫琅禾费衍射或远场衍射。13

3.1.3基尔霍夫衍射公式的近似1.基尔霍夫小角度近似14

3.1.3基尔霍夫衍射公式的近似小角度衍射时的菲涅耳-基尔霍夫积分公式。

2.菲涅耳近似：（近似条件为：z足够大）153.2

夫琅禾费衍射如何在近处观察远场衍射

当利用透镜时，在它的焦平面上得到的就是不用透镜时的远场衍射现象，只是空间范围缩小了，光能集中了。

3.2.1夫琅禾费单缝衍射16无透镜远场透镜焦平面3.夫琅禾费近似（近似条件：衍射屏到孔的距离z很大，透光孔很小）

17

3.2.1夫琅禾费单缝衍射空间频率实验装置

18

3.2.1夫琅禾费单缝衍射观察屏衍射屏光源3.2.1夫琅禾费单缝衍射1.衍射光强的计算当只考虑缝宽衍射时，缝宽x方向，缝长y方向3.2.1夫琅禾费单缝衍射角很小

物理意义21

3.2.1夫琅禾费单缝衍射（单缝上边与下边到观察点处相位差的一半）2.对光强分布公式的分析（1）极小值（暗纹）22

3.2.1夫琅禾费单缝衍射（2）衍射主极大23

3.2.1夫琅禾费单缝衍射24解释

当衍射角θ=0时，所有衍射光线从缝面AB到会聚点都经历了相同的光程，因而它是同相位的振动。

在O点合振动的振幅等于所有这些衍射线在该点引起的振动振幅之和，振幅最大，强度最大。

O点呈现明纹，因处于屏中央，称为中央明纹。

3.2.1夫琅禾费单缝衍射中央明纹（3）次极大

25

3.2.1夫琅禾费单缝衍射3.缝宽对条纹宽度的影响26

3.2.1夫琅禾费单缝衍射a增大，条纹变密。27干涉与衍射的联系和区别3.2.1夫琅禾费单缝衍射干涉和衍射本质上都是相干叠加。习惯上，干涉多指若干分立相干波源或光束之间的叠加；衍射多指波前受到障碍物或孔径限制后，连续波前上各子波在空间相干叠加，导致光强重新分布。条纹产生的原因（因衍射效应而扩散）所以前面讨论的双缝干涉条纹，实际上是单缝衍射和双缝干涉的双重效果。283.2.2

夫琅禾费多缝衍射1.夫琅禾费双缝衍射双缝干涉的形成这种现象在激光的双缝实验中更为清楚，当屏离双缝很远时，能看见双缝干涉条纹：当屏在几何光学区时，则只能看见两条分离的亮线，而没有干涉条纹出现，这时是光的直线传播为主不会重迭。293.2.2夫琅禾费多缝衍射1.夫琅禾费双缝衍射1）光强分布（两个单缝衍射光间的双光束干涉）

是单缝衍射P点的光强

式中是衍射花样中心处的光强，是单缝上下边缘

对于P点的相位差，a是每个缝的缝宽，d是两缝对应点间

的距离，

是相邻两缝对应点的相位差。303.2.2夫琅禾费多缝衍射2）条纹特点（1）双缝衍射光强公式

（2）衍射主极大条纹范围（宽度）（3）干涉角范围

313.2.2夫琅禾费多缝衍射整数干涉极大衍射极次（4）衍射主极大内包含干涉极大的数目

32当（一级衍射极小）时，第m级干涉条纹将消失，所以衍射的主极大内能产生的干涉条纹数为：3.2.2夫琅禾费多缝衍射缺级:

由上面分析可知，如果由确定的干涉极大的方向正好与由确定的衍射极小的方向重合，那么第m级干涉极大将不会出现。某一极干涉大因与衍射极小重合而不出现的现象称为缺级现象。

即当时发生缺级。例如，则缺少2，4，6，……各级；则缺少3,6,9……各级。

333.2.2夫琅禾费多缝衍射343.2.2夫琅禾费多缝衍射2.夫琅禾费多缝衍射为单缝衍射在P点的复振幅条纹特点（1）干涉主极大

（2）干涉极小在两相邻干涉主极大内，令，当

时，为干涉主极大。当

时，

时，

为干涉主极大。

当n

在

范围内时，n

在两相邻干涉主极大之间。353.2.2夫琅禾费多缝衍射363.2.2夫琅禾费多缝衍射结论：在两个相邻干涉主极大间有N-1个极小值，且极小值为零。（3）次极大对

取微商可求出干涉极小和干涉次极大的位置。次极大近似解由条件得到，即373.2.2夫琅禾费多缝衍射例极小值次级大383.2.2夫琅禾费多缝衍射（4）干涉条纹宽度①干涉次极大角宽度②干涉主极大角宽度

393.2.2夫琅禾费多缝衍射（5）缺级现象干涉极大衍射极小当干涉主极大位置恰是衍射极小时产生缺纹现象(角度均为)衍射极小对应的干涉级次的m为缺级。例：

取，处为缺级。

403.2.2夫琅禾费多缝衍射

总结：单缝衍射的作用是使光束散开（散开在衍射主极大范围内）多缝干涉的效应则是使光能集中，集中在干涉主极大位置，零级干涉主极大光强为单缝光强的

倍。条纹细，均为双缝干涉线宽的1/N（两干涉极大间有N-1干涉极小）N愈大，这种效应越显著。

3.2.2夫琅禾费多缝衍射42

平行光通过圆孔经透镜会聚，照射在焦平面上的屏幕上，也会形成衍射图样。中央是个明亮的圆斑，外围是一组同心的明环和暗环。中央明区集中了衍射光能的83.78%，因为大多数光学仪器所用透镜的边缘都是圆形，圆孔的夫琅禾费衍射对成像质量有直接影响。3.2.3夫琅禾费圆孔衍射爱里斑实验装置433.2.3夫琅禾费圆孔衍射衍射条纹也从长的平行的明暗条纹变成为圆的明暗条纹空间频率设光强分布公式443.2.3夫琅禾费圆孔衍射光强分布公式物理意义

453.2.3夫琅禾费圆孔衍射是圆孔边缘与中心到P点的相位差光强曲线第一个极小：爱里斑463.2.3夫琅禾费圆孔衍射夫琅禾费圆孔衍射光强分布曲线夫琅禾费圆孔衍射的极值

473.2.3夫琅禾费圆孔衍射条纹序数能量分配中央亮环0183.78%第一暗环1.22π=3.8400第一亮环1.64π=5.150.01757.22%第二暗环2.33π=7.0000第二亮环2.68π=8.410.00422.77%第三暗环3.24π=10.2000第三亮环3.70π=11.600.00171.46%1.波带法waveband

用菲涅耳基尔霍夫积分计算衍射光强就比较困难。因此对这类问题有时就用波带法来处理，以求得一些近似的结果。这种方法的优点是回避了积分计算的困难。缺点是得不到准确的光强分布的值。

波带法的基本原理

483.3

菲涅耳衍射3.3.1菲涅耳圆孔衍射圆孔衍射的波带法示意图

波带法的基本原理

波面划分：设由S发出的球面波在某一时刻的波面为Σ，次波源在P点（圆孔中垂线上的一点）处产生光振动的叠加以P为圆心，以r0为半径，在波面上作圆分波面为许多环带。

半波带：在这些环带中，自相邻带的相应边缘（或两相邻带的相应点）到P点的光程差为半波长。这些环带叫做半波带（或波带）。

各带贡献叠加：在P点产生的光振动是波面上所有波带发出的次波在P点的光振动的迭加。

下面先计算每一个小波带在P点产生的光振动。由惠更斯——菲涅耳原理得知，各波带在P点产生的光振动的振幅大小，取决于各带的面积，各带到P点的距离以及各带对P点的倾角（倾斜因子）。容易证明，各波带面积相等。为此，把每一波带分成宽度为无穷小的许多环形波带元。

493.3.1菲涅耳圆孔衍射2.影响各振幅大小的因素

（1）各波带的面积503.3.1菲涅耳圆孔衍射(2)各带到P0点的距离

每个带的面积和距离随N按同样的比例增长，即与序数N无关，这两个因素共同作用的结果，使每个带对P0点振动的贡献近似相等。

513.3.1菲涅耳圆孔衍射(3)倾斜因子

随序数N的增大，倾斜角也增大,减小，各子波传到P0点的振动也就减弱。即有下列关系：

523.3.1菲涅耳圆孔衍射当N为奇数时，取+，亮条纹N为偶数时时，取-，暗条纹533.3.1菲涅耳圆孔衍射奇数带时P点近似亮点，偶数带时近似暗点。菲涅耳圆孔衍射

圆孔愈小，则圆孔包含的波带的数愈少。与相差也小N为奇数时最大的光强度,

N为偶数时最小的光强度。

这表明，当圆孔露出奇数个波带时，P点的光强度是约等于的亮点，而当圆孔露出偶数个波带时，P点是光强度接近于零的暗点。543.3.1菲涅耳圆孔衍射553.3.1菲涅耳圆孔衍射3.3.2菲涅耳圆屏衍射用圆屏代替圆孔以P为圆心，分别以r1+,,…为半径（r1为圆屏边缘到P点的距离），将到达圆屏的波面划分成波带。在圆屏的情况下，第0到第N个波带被圆屏挡住，对P点不起作用。第N+1个波带以外的波带则全部通过（和圆孔的情况正好相反）。因此，P点的合振幅为：结论：圆屏不十分大，P点振幅永远是刚露出的第一个波带振幅的一半，

即永远是亮点，只是光强弱有差别而已；

圆屏比较大，P点的光强实际上为零，与几何光学的结论一致。3.3.3菲涅耳直边衍射菲涅耳直边衍射菲涅耳直条状波带用考纽螺线讨论菲涅耳直边衍射菲涅耳直边衍射图样及光强分布曲线从前面的讨论可知，相对于P点划分的波带中，奇数序波带（或偶数序波带）发出的次波在P点是同位相的，而奇数序波带和偶数序波带发出的次波在P点位相相反。因此，如果设想做成一个特殊的光栏，使得奇数序的波带畅通无阻，而偶数序的波带完全被遮去，或者使奇数序的波带被遮去而偶数序的波带能通过，那么观察点P处的振幅是同位相的诸次波的迭加。这样就会得到最大的迭加振幅，即583.3.4

菲涅耳波带片遮偶透奇遮奇透偶波带片透镜和波带片的不同点（1）透镜只有一个焦距，波带片的焦距不是单值的，当平行光入射到这种波带片上时，许多位置都会出现亮点；（2）焦点处的光强和焦点周围的光强分布不同。例如，对于点光源成像，透镜成的像只是一个亮点，而波带片成的像的周围还会形成一些亮暗相间的同心环。593.3.4菲涅耳波带片几何光学：认为一个理想光学系统应使点物成点像；实际：由于光的衍射的存在，一个点物会形成一个衍射像斑。这个衍射像斑就是光学系统的孔径的夫琅禾费衍射像斑。夫琅禾费衍射光斑的中央亮斑集中了全部能量的80%以上，通常把衍射光斑的中央亮斑作为物点通过理想光学系统后的衍射像。3.4光学系统的分辨本领瑞利判据3.4光学系统的分辨本领瑞利判据：分辨本领：光学系统分辨细微结构的能力。光学系统对点物所成的“像”是一个夫琅禾费衍射图样。这样，对于两个非常靠近的点物，它们的“像”（衍射图样）就有可能分辨不开，因此也无从分辨两个点物。一个像斑中央极大与另一像斑第一极小重合光学系统的分辨本领62

3.4光学系统的分辨本领1.望远镜的分辨本领

满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器所能分辨的最小距离，对应的角

称为最小分辨角。光学仪器的最小分辨角越小，分辨率就越高。

d0为光学仪器可分辨的最小距离，即为两物点可分辨的最小距离，L为圆孔到两物点的垂直距离，若为光学仪器，则L即为焦距f。D为圆孔直径。63

3.4光学系统的分辨本领2.眼睛的分辨本领

眼睛成像等价于单凸透镜（相空间折射率>1)

经瞳孔后在视网膜上都将成为夫琅禾费圆孔衍射的图样，

其中央亮斑的张角为:n为眼内玻璃状液体的折射率；D为瞳孔的直径。按瑞利判据，当物体上相邻两点对眼睛的张角时，这两点可以分辨；否则不可分辨。通常情况下，人眼睛瞳孔的直径为2～6mm（视入射的光强而定），因此相应的分辨极限为68″～23″。64

3.4光学系统的分辨本领3.显微镜的分辨本领

由物镜和目镜两部分组成，在一般情况下，系统中成像光束的口径由物镜框限制。在物镜的像平面上，尚能分辨的两像点之间的最小距离

为:

在已消像差的显微镜中，其物镜均满足正弦条件，即u、u′分别为物点与像点对物镜张角的一半n、n′分别为物方与像方的折射率。物镜能分辨的最小距离为：数值孔径65

电子显微镜用加速的电子束代替光束，其波长约0.1nm，用它来观察分子结构。电子显微镜拍摄的照片采用波长较短的光，也可提高分辨率光学镜头直径越大，分辨率越高

一般天文望远镜的口径都很大，世界上最大的天文望远镜在智利，直径16米，由4片透镜组成。地面观测用哈勃望远镜观测3.4光学系统的分辨本领66引言：对于单缝：

若缝宽大，条纹亮，但条纹间距小，不易分辨;

若缝宽小，条纹间距大，但条纹暗，也不易分辨;

因而利用单缝衍射不能精确地进行测量。问题：能否得到亮度大，分得开，宽度窄的明条纹？结论：利用衍射光栅所形成的衍射图样——光栅光谱应用：光栅可同时获得高亮度、窄条纹、可测量波长，是重要的光学元件，广泛应用于物理，化学，天文，地质等基础学科和近代生产技术的许多部门。3.5光栅

3.5.1衍射光栅67光栅：大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件衍射光栅(透射光栅)闪耀光栅(反射光栅)从工作原理分光栅制作刻划光栅：在玻璃片上刻划出一系列平行等距的划痕,刻过的地方不透光，未刻地方透光。全息光栅：通过全息照相，将激光产生的干涉条纹在干板上曝光，经显影定影制成全息光栅。通常在1cm内刻有成千上万条透光狭缝。3.5.1衍射光栅1.衍射图样

光栅衍射装置

光栅按光栅对入射光波的调制作用来分：

振幅光栅

位相光栅683.5.1衍射光栅观察屏3.5.1衍射光栅2．光栅方程（色散公式）

（光波垂直入射时）衍射光与入射光在光栅法线同侧取正号；衍射光与入射光在光栅法线异侧取负号。透射光栅的衍射衍射角入射角反射光栅703.5.1衍射光栅反射光波栅的衍射71光栅常数透光缝宽度a不透光缝宽度b光栅常数:光栅常数与光栅单位长度的刻痕数N的关系3.5.1衍射光栅

3.光栅光谱与色散色散率光栅光谱线 3.5.1衍射光栅3.光栅光谱与色散自由光谱区

73 3.5.1衍射光栅光栅光谱的重级现象4.光栅的分辨本领两条谱线逐渐接近

瑞利判据74点物S1的爱里斑中心恰好与另一个点物S2的爱里斑边缘（第一衍射极小）相重合时，恰可分辨两物点。

3.5.1衍射光栅瑞利判据平面光栅的作用：分光作用上面讨论的平面衍射光栅，其干涉零级主极大与衍射主极大之所以重合，是因为两者的光程差均由同一衍射角决定。单缝衍射时缝两边缘点之间的光程差为：

a为单缝的缝宽，d为相邻缝之间的距离。结论：

时，两个极大（衍射的主极大和干涉的零级极大）方向一致。因此，要把这两个极大分开，应使衍射和干涉的光程差分别由不同的因素决定。75 3.5.1衍射光栅5.平面定向光栅

时衍射主极大与零级干涉主极大重合。闪耀光栅的角度关系

76主闪耀波长

3.5.1衍射光栅6.闪耀光栅（定向光栅/闪耀光栅）利用反射的方法改变衍射主极大方向入射光程差。773.5.1衍射光栅

利用光的折射，使衍射主极大方向改变。

783.5.1衍射光栅3.5光栅3.5.4光栅应用举例用衍射光栅作色散元件的单色仪、分光计与摄谱仪统称为光栅光谱仪，光栅的主要用途是作为分光元件把复色光分解成单色光（分解为光谱）。透射光栅光谱仪艾伯特光栅单色仪3.5光栅李特洛自准式光谱仪3.5光栅光输入/输出耦合器

刻蚀式光栅耦合器的原理图中间为平面光波导，下面为衬底，上面为包层，两侧为在平面电磁波导薄膜上刻蚀出的波导光栅，

为光栅周期，

，δ

分别为沟槽宽度与深度。激光束以入射角

入射到波导光栅上，因光栅作用产生若干衍射光束。如果其中某一级衍射光的衍射角和平面电磁波导中导模的模角相等，则入射光波将通过这个衍射光束把能量有效地耦合到平面电磁波导中，使光能量在平面电磁波导中有效地传输。此时，波导光栅为输入耦合器。反之，已在平面电磁波导中传输的光波可通过波导光栅耦合出平面电磁波导，此时波导光栅为输出耦合器。对于单光束耦合器，在一定条件下（光栅长度L足够长或耦合系数足够大），输出耦合效率可达100%。3.5光栅光输入/输出耦合器

变周期光栅会聚耦合器根据相位匹配条件，其输出光束的方向在光束区域内随传播距离变化，因此，输出光束可以聚焦到一点上，并且焦点的坐标随波长而变。这种耦合器可用于光盘、激光打印等，并因其有很好的分光性能，可构成小型光纤光谱仪。3.6全息照相全息照相技术：能够记录和再现三维图像的光学技术。基本原理：利用干涉和衍射原理，可以在二维介质上观察到三维物体的真实立体图像。应用：应用于工业、医学和艺术等领域。3.6.1全息照相的基本原理记录：利用干涉方法把物光波在某个平面上的复振幅分布记录下来。再现：利用衍射原理进行物光波的再现。3.6.1全息照相的基本原理全息记录由激光器发出的光束经扩束后，一部分用于照明物体，经物体反射或散射后射向照相底版，这就是物光波；另一部分经反射镜反射后射向照相底版，这就是参考光波。在照相底版上，物光波和参考光波将发生干涉，形成一定的干涉图样。将记录下干涉图样的照相底版适当曝光冲洗，即可得到一张全息图（全息照片）。因此，全息图是物光波和参考光波的干涉图。3.6.1全息照相的基本原理物光波的再现用一个光波（在大多数情况下，它与记录全息图时用的参考光波完全相同）再照射全息图，光波会像在一块复杂光栅上一样在全息图上发生衍射。衍射光波中将包含原来的物光波，因此当观察者迎着物光波方向观察时，便可看到物体的再现像，它是一个虚像，具有原物的一切特征。当观察者移动眼睛通过全息图从不同角度观察它时，就像面对原物一样能看到它的不同侧面。另外，还有一个实像，称为共轭像，与原物对称地位于全息图前后两边，其三维结构与原物不完全相似。3.6.2全息照相的特点和要求（1）全息照相能够记录物光波的全部信息，并能把它再现出来。

因此，应用全息照相可以获得与原物完全相同的立体像。（2）全息照相实质上是一种干涉和衍射现象。（3）在前面的理论分析中，虽然没有说明全息图的大小，但可以理解为只有全息图的尺寸足够大时才能使再现