2026年上半年教师资格考试数学学科知识与教学能力初级中学真题及答案

2026年上半年教师资格考试数学学科知识与教学能力初级中学真题及答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\sint^2dt}{x^3}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{3}$C.1D.不存在2.设3阶矩阵$A$的特征值为1,-2,3，则$A^*+2A-2E$的行列式值为（）A.-36B.12C.36D.723.曲面$z=x^2+y^2$与平面$2x+2y-z=0$的交线在$xOy$平面上的投影曲线方程为（）A.$x^2+y^2+2x+2y=0,z=0$B.$(x-1)^2+(y-1)^2=2,z=0$C.$(x+1)^2+(y+1)^2=2,z=0$D.$x^2+y^2=2,z=0$4.设随机变量$X$服从参数为2的指数分布，则$P\{X>E(X)\}$的值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{e}$C.$1-\frac{1}{e}$D.$\frac{2}{e}$5.根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，第三学段（7-9年级）数学核心素养的主要表现不包括（）A.运算能力B.推理意识C.数学抽象D.数据意识6.在“一元二次方程根与系数的关系”教学中，教师引导学生先计算多个具体一元二次方程的两根之和、两根之积，再猜想一般规律并进行证明，该教学过程主要渗透的数学思想方法是（）A.分类讨论思想B.特殊到一般思想C.数形结合思想D.公理化思想7.根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，下列关于初中学业质量的说法错误的是（）A.学业质量是学生完成数学课程阶段性学习后的学业成就表现，反映核心素养要求B.学业质量标准以核心素养为主要维度，结合课程内容对学生学业成就具体表现特征进行整体刻画C.第三学段学业质量要求是初中学业水平考试命题的主要依据D.学业质量标准中设置的优秀水平等级是初中毕业合格性考试的基本命题依据8.在“勾股定理”新授课教学中，下列教学方式最符合学生认知规律、能够有效落实核心素养的是（）A.教师直接呈现勾股定理内容，要求学生背诵记忆后开展大量习题训练B.教师引导学生通过数方格、割补图形计算正方形面积，自主发现三边数量关系后开展定理证明C.教师直接展示勾股定理的经典证明过程，要求学生模仿证明步骤完成练习D.教师安排学生课后自行阅读教材了解勾股定理内容，课上直接开展习题讲解单项选择题参考答案：1.B解析：利用洛必达法则结合等价无穷小替换，当$x\to0$时$\sinx^2\simx^2$，原极限$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx^2}{3x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$。4.B解析：参数为2的指数分布期望$E(X)=\frac{1}{2}$，分布函数$F(x)=1-e^{-2x}(x>0)$，因此$P(X>E(X))=P(X>\frac{1}{2})=1-F(\frac{1}{2})=e^{-1}=\frac{1}{e}$。5.C解析：第三学段核心素养主要表现包括数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识，数学抽象是高中阶段数学核心素养的主要表现。6.B解析：通过研究具体方程的根的关系归纳一般规律，体现了从特殊到一般的数学思想方法。7.D解析：初中毕业合格性考试的基本命题依据是学业质量标准中的合格水平要求，对应学生完成初中阶段数学学习应达到的基本要求。8.B解析：选项B的教学方式引导学生经历操作、发现、证明的完整过程，符合学生的认知规律，能够有效落实几何直观、推理意识等核心素养。二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.已知函数$f(x)=x^3-3x$，完成下列问题：（1）求函数的单调区间与极值；（2）求函数在区间$[-2,2]$上的最大值与最小值。10.用反证法证明$\sqrt{2}$是无理数。11.根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，简述运算能力的内涵及初中阶段培养学生运算能力的教学意义。12.简述初中数学教学中创设问题情境应遵循的基本原则。13.一个不透明袋子中装有3个红球、2个白球，所有球除颜色外无其他差别，采用不放回方式依次摸出2个球，计算下列概率：（1）第一次摸到红球的概率；（2）第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率；（3）两次摸出的球恰好为1红1白的概率。简答题参考答案：9.（1）对函数求导得$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$（1分）。令$f'(x)=0$，解得驻点$x=-1$、$x=1$。当$x\in(-\infty,-1)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(-1,1)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x\in(1,+\infty)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增（2分）。因此函数的单调递增区间为$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$，单调递减区间为$(-1,1)$；在$x=-1$处取得极大值$f(-1)=2$，在$x=1$处取得极小值$f(1)=-2$（2分）。（2）计算区间端点函数值：$f(-2)=(-2)^3-3*(-2)=-2$，$f(2)=2^3-3*2=2$，结合极值点函数值比较可得，函数在区间$[-2,2]$上的最大值为2，最小值为-2（2分）。10.证明：假设$\sqrt{2}$是有理数，则存在互质的正整数$p$、$q$，使得$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$（2分）。将等式两边平方得$p^2=2q^2$，因此$p^2$为偶数，可得$p$为偶数，设$p=2k$（$k$为正整数）（2分）。将$p=2k$代入$p^2=2q^2$，得$4k^2=2q^2$，即$q^2=2k^2$，因此$q^2$也为偶数，可得$q$为偶数（2分）。$p$、$q$均为偶数与$p$、$q$互质的前提矛盾，因此假设不成立，$\sqrt{2}$是无理数（1分）。11.内涵：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够运用运算解决问题，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度（3分）。教学意义：第一，运算能力是学生学习数学的基础性能力，是学生学习代数、几何、统计等各领域数学内容的必备支撑；第二，运算能力的培养能够帮助学生理解算理、掌握算法，体会数学的逻辑性与严谨性，发展推理意识；第三，运算能力的形成过程能够引导学生养成规范思考、严谨细致的学习习惯，发展应用意识，提升学生运用数学运算解决实际问题的能力；第四，运算能力的发展能够协同带动符号意识、模型意识等其他核心素养表现的落地，为学生后续的数学学习和终身发展奠定基础（4分）。12.初中数学教学中创设问题情境应遵循以下原则：一是科学性原则，情境中的数学内容、事实表述必须准确无误，符合数学学科逻辑和客观事实，避免出现科学性错误；二是目标性原则，情境创设必须紧密围绕教学目标，服务于核心内容的探究，避免脱离数学本质的“去数学化”情境；三是启发性原则，情境要能够引发学生的认知冲突，激发学生的探究欲望，引导学生主动开展数学思考；四是适宜性原则，情境要贴近初中学生的生活经验、认知水平和已有知识基础，符合学生的年龄特征，避免设置超出学生认知范围的复杂情境；五是发展性原则，情境要能够承载数学思想方法，助力学生核心素养的发展，引导学生在情境中经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的完整过程（每点1-2分，共7分）。13.（1）第一次摸球时共有5个等可能的结果，其中红球有3个，因此第一次摸到红球的概率$P_1=\frac{3}{5}$（2分）。（2）第一次摸到红球后，袋中剩余4个球，其中红球2个、白球2个，因此第二次摸到白球的条件概率$P_2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$（2分）。（3）两次摸球恰好1红1白包含“第一次红第二次白”“第一次白第二次红”两种互斥情况，概率为$P_3=\frac{3}{5}*\frac{2}{4}+\frac{2}{5}*\frac{3}{4}=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{3}{5}$（3分）。三、解答题（本大题1小题，10分）14.设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，证明：（1）存在$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=1-\xi$；（2）存在两个不同的点$\eta,\zeta\in(0,1)$，使得$f'(\eta)f'(\zeta)=1$。参考答案：（1）构造辅助函数$g(x)=f(x)+x-1$（2分）。由$f(x)$的连续性可知$g(x)$在$[0,1]$上连续，且$g(0)=f(0)+0-1=-1<0$，$g(1)=f(1)+1-1=1>0$（2分）。根据闭区间上连续函数的零点存在定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$g(\xi)=0$，即$f(\xi)=1-\xi$（1分）。（2）在区间$[0,\xi]$上，$f(x)$满足拉格朗日中值定理的条件，因此存在$\eta\in(0,\xi)$，使得$f(\xi)-f(0)=f'(\eta)(\xi-0)$，代入$f(0)=0$和$f(\xi)=1-\xi$，可得$1-\xi=\xif'(\eta)$，即$f'(\eta)=\frac{1-\xi}{\xi}$（2分）。在区间$[\xi,1]$上，$f(x)$同样满足拉格朗日中值定理条件，因此存在$\zeta\in(\xi,1)$，使得$f(1)-f(\xi)=f'(\zeta)(1-\xi)$，代入$f(1)=1$和$f(\xi)=1-\xi$，可得$\xi=(1-\xi)f'(\zeta)$，即$f'(\zeta)=\frac{\xi}{1-\xi}$（2分）。因此$f'(\eta)f'(\zeta)=\frac{1-\xi}{\xi}*\frac{\xi}{1-\xi}=1$，且$\eta\in(0,\xi)$、$\zeta\in(\xi,1)$，即$\eta\neq\zeta$，结论得证（1分）。四、论述题（本大题1小题，15分）15.结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》的相关要求，论述初中数学教学中落实“推理意识”核心素养的基本路径，并结合具体教学实例进行说明。参考答案：推理意识是第三学段数学核心素养的主要表现之一，主要指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟：学生能够从已知事实和命题出发，依据规则推出其他结论；能够通过简单的归纳、类比提出初步猜想；能够体验数学从一般到特殊的论证过程，对自己和他人的问题解决过程给出合理解释。推理意识的培养有助于学生形成讲道理、有条理的思维品质，是发展推理能力的重要基础，教学中可通过以下路径落实：第一，在概念教学中融入推理活动，引导学生经历概念的抽象概括过程。概念教学不能采用直接灌输的方式，要给学生提供丰富的具体实例，引导学生通过观察、比较、分析、归纳，抽象出概念的本质属性，在概念形成的过程中感悟归纳推理的方法。例如在“正比例函数”概念教学中，可给学生提供多个现实情境中的函数关系，引导学生观察函数表达式的共同结构，逐步归纳出正比例函数的形式特征，让学生在抽象概念的过程中体会从特殊到一般的推理过程（4分）。第二，在命题教学中完整展现“猜想—证明—结论”的过程，让学生感悟合情推理与演绎推理的协同作用。教学中既要鼓励学生通过操作、实验、归纳、类比提出合理猜想，也要引导学生通过严谨的演绎推理对猜想进行验证，理解证明的必要性，掌握基本的证明方法。例如在“三角形内角和定理”教学中，可先让学生通过剪拼、测量等操作提出“三角形内角和为180°”的猜想，再引导学生通过作辅助线，利用平行线的性质对猜想进行演绎证明，让学生体会合情推理用于发现结论、演绎推理用于验证结论的推理逻辑（4分）。第三，在习题训练中强化“言必有据”的思维习惯，设计有层次的推理训练问题。推理能力的提升需要循序渐进的训练，教学中要避免机械的刷题训练，设计能够引导学生开展推理的问题，要求学生在分析问题、解决问题的过程中明确每一步的依据，能够用规范的数学语言表达思考过程，逐步形成严谨的思维习惯。例如在几何证明题的训练中，要求学生在每一步推导后注明依据，在代数运算中引导学生说明运算步骤对应的法则和算理，让学生在练习中逐步形成推理意识（3分）。第四，在课堂交流中营造理性说理的氛围，引导学生在质疑、解释的过程中深化对推理过程的理解。教学中要鼓励学生大胆表达自己的思考过程，引导学生对同伴的观点进行合理质疑和补充，在交流中反思自己的推理过程，修正逻辑漏洞。例如在学生给出问题解答后，可引导其他学生提问“你为什么这么想？这一步的依据是什么？有没有不同的推导方法？”，让学生在交流中逐步学会有条理地思考和表达（4分）。五、案例分析题（本大题1小题，20分）16.阅读某教师教授“一次函数的概念”的教学片段，回答问题：教学片段：教师首先呈现3个实际问题，要求学生写出问题中的函数关系：①汽车以60km/h匀速行驶，路程$s$与行驶时间$t$的函数关系；②出租车3公里内起步价10元，超过3公里部分每公里收费2元，行驶里程$x\geq3$时，乘车费用$y$与$x$的函数关系；③容积500L的水池原有水100L，以20L/分钟的速度注水，总水量$Q$与注水时间$t$的函数关系。3名学生上台板演，分别写出$s=60t$、$y=2x+4(x\geq3)$、$Q=20t+100$三个函数表达式。教师引导学生观察：“这三个表达式有什么共同特点？”学生回答：“都有两个变量，都是函数。”教师补充：“大家可以观察表达式的形式，它们都是自变量乘以一个常数再加一个常数的形式。我们规定，形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\neq0$）的函数叫做一次函数，大家把概念记下来，尤其要注意$k$不能为0。”随后教师安排25分钟的书面练习，让学生判断给定函数是否为一次函数、求解一次函数中的参数取值，下课前核对练习答案。问题：（1）对该教师的教学过程进行评析；（2）针对教学中存在的问题提出改进建议。参考答案：（1）对该教学过程的评析应坚持全面、辩证的视角：值得肯定的方面：教师能够结合实际问题引入函数表达式，一定程度上体现了数学与现实生活的联系；设置了学生板演展示的环节，并安排了充足的练习时间帮助学生巩固概念，关注了基础知识和基本技能的训练（4分）。存在的不足：一是概念形成过程不充分，没有引导学生充分经历抽象概括的思维过程，在学生回答未达预期时直接抛出概念的形式化定义，学生对一次函数概念的理解停留在机械记忆层面，未真正把握概念本质；二是概念的内涵辨析不到位，给出定义后未引导学生思考“$k\neq0$的原因”“$b$的取值对函数的影响”“正比例函数与一次函数的关系”等核心问题，学生对概念的外延理解不完整；三是核心素养落实不足，教学中重技能训练、轻过程探究，没有在概念抽象过程中发展学生的符号意识、模型意识和抽象能力，不符合新课标倡导的“让学生经历知识形成过程”的教学理念；四是学生主体地位未充分体现，教师的引导缺乏层次性，当学生思考方向出现偏差时没有通过追问搭建思维支架，而是直接灌输结论，学生的主动思考不足（6分）。（2）改进建议：第一，优化概念探究环节，设计有层次的问题引导学生开展抽象概括活动。在学生写出三个函数表达式后，预留充足的独立思考和小组交流时间，设计问题链引导学生从“表达式中自变量的次数”“表达式是否为整式”“参数的位置和意义”等角度观察，让学生自主归纳出三个函数表达式的共同结构，经历概念的形成过程，避免教师直接给出定义（3分）。第二，强化概念内涵与外延的辨析，在抽象出形式化定义后，引导学生思考核心问题：如果$k=0$，函数表达式会发生什么变化？这时候函数是否还会随着自变量的变化而变化？是否满足一次函数的本质特征？当$b=0$时，函数变为$y=kx$，它是否属于一次函数？通过对参数的辨析，让学生深刻理解$k\neq0$的必要性，明确正比例函数是特殊的一次函数，完善学生的概念体系（3分）。第三，优化练习设计，避免机械重复的技能训练，设计包含正例、反例的辨析类问题，比如让学生判断$y=\frac{3}{x}$、$y=2x^2+1$、$y=2(x+1)-2x$等易混淆的函数是否为一次函数，要求学生说明判断依据，在辨析过程中深化对概念本质的理解（2分）。第四，落实学生主体地位，提升课堂引导的启发性。当学生的回答不够全面时，通过追问搭建思维支架，比如在学生回答“都有两个变量是函数”时，追问“没错，它们都是我们之前学过的函数，那它们的表达式结构和我们学过的反比例函数、二次函数有什么不同？”，引导学生的思考逐步深入，避免直接灌输结论（2分）。六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.人教版八年级上册“等腰三角形的性质”第一课时主要内容为：探索并证明等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质，能够运用性质解决简单问题。请完成下列教学设计任务：（1）写出本节课的教学目标；（2）写出本节课的教学重点与难点；（3）设计“等腰三角形性质的探究与证明”教学环节，说明设计意图。参考答案：（1）教学目标：①知识与技能目标：理解等腰三角形的相关概念，掌握等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的两个核心性质，能够运用性质进行简单的角度计算和几何证明。②过程与方法目标：经历动手操作、观察猜想、推理证明等腰三角形性质的过程，体会轴对称在几何图形研究中的作用，发展几何直观与推理意识，感悟转化的数学思想。③情感态度与价值观目标：在探究活动中感受数学的严谨性和等腰三角形的对称美，在合作交流中获得探究成功的体验，增强数学学习的兴趣（8分）。（2）教学重点：等腰三角形性质的探究、证明与简单应用；教学难点：等腰三角形“三线合一”性质的理解，性质证明过程中辅助线的添加思路（6分）。（3）“等腰三角形性质的探究与证明”环节设计：①操作感知，发现特征活动1：请学生拿出提前准备的长方形纸片和剪刀，按照步骤操作：将长方形纸片对折后剪下一个直角三角形，展开得到三角形，观察三角形的边的特征，明确等腰三角