华东师大版八年级上册数学第11章《整式的乘除》全章教学课件（新教材）

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件华东师大版八年级上册数学（25秋新教材）11.1幂的运算11.1.1同底数幂的乘法章节导入植树造林，功在千秋.将一块长mm、宽am的长方形林地的长、宽分别增加nm和bm.用两种方法表示这块林地现在的面积，可得到：mnbambmanbna(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？复习回顾求几个相同因数的积的运算叫做______，它的结果叫____，在an中，a叫做______，n叫做______，读作______________.乘方幂底数指数a的n次方（幂）an底数指数幂=a·a·…·an个

光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？(3×105)×(5×102)=(3×5)×(102×105)探究新知根据幂的意义填空：试一试（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2×2×2×2×2×2×2=27=3+4343个24个27个2（3）(-3)3×(-3)4（2）53×54=（5×5×5）×（5×5×5×5）=5×5×5×5×5×5×5=57=3+4343个54个57个5=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=[(-3)×(-3)×(-3)]×[(-3)×(-3)×(-3)×(-3)]=(-3)7（5）a3·a4=（a·a·a）（a·a·a·a）=a·a·a·a·a·a·a=a7（4）猜想：am·an=?（当m、n都是正整数）am·an=（a·a·a·…·a）（a·a·a·…·a）=a·a·a·…·a=am+nam·an=am+n（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.m个an个a(m+n)个a你能利用乘方的意义证明am·an=am+n吗?例1计算：（1）103×104；（2）a·a3；（3）a·a3·a5.解（1）103×104（2）a·a3=a1+3=a4.（3）a·a3·a5=a1+3+5=a9.=103+4=107.可推广：am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数）同底数幂的乘法法则的注意事项：1.底数不变，指数相加；2.单个字母或数字可以看成指数为1的幂；3.计算结果化到最简.1.判断下列计算是否正确，并说明理由：（1）a·a2=a2（2）a+a2=a3（3）a3·a3=a9（4）a3+a3=a6×a·a2=a2+1=a3××a3·a3=a3+3=a6×a3+a3=2a32.计算：（1）102×105（2）a3·a7（3）x·x5·x7=102+5=107.=a3+7=a10.=x1+5+7=x13.跟踪训练1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)x3+x5=x8 （）(2)x2·x2=2x4 （）(3)a3·a2-a2·a3=0 （）(4)y14=y7·y7 （）××√√可逆用：am+n=am·an

（m、n都是正整数）2.计算：（1）(－3)7×(－3)6（2）(x+y)3·(x+y)4（3）(x－y)3·(y－x)4（5）(－b)2n·b2n+1（4）(－x)3·x5=(－3)7+6=－313.=(x+y)3+4=(x+y)7.=(x－y)3+4=(x－y)7.=－(x3·x5)=－x3+5=－x8.=b2n+2n+1=b4n+1.底数含有“－”时（易错）：a2n=(－a)2n，－a2n+1=(－a)2n+1（n是正整数）3.已知3m=a，3n=b.求：（1）3m+n；（2）3m+n+1.解：（1）3m+n=3m·3n=a×b=ab.（2）3m+n+1=3m·3n·31=a×b×3=3ab.4.已知x2n+5=10，x2n=5，求(－x)3·(－x)2的值.解：因为x2n=5，所以x2n+5=x2n·x5=5x5=10.所以x5=2.所以(－x)3·(－x)2=(－x)5=－x5=－2.课堂小结同底数幂的乘法法则注意am·an=am+n（m、n为正整数）am·an·ap=am+n+p（m、n、p为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加底数相同时直接应用法则底数不同时先变成同底数，再应用法则常见变形：(－a)2=a2，(－a)3=－a311.1幂的运算11.1.2幂的乘方复习回顾同底数幂乘法法则：am·an=am+n（m、n为正整数）文字描述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的10倍，太阳的半径是地球半径的102倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=πr3）解：设地球的半径为r，则木星的半径就是10r.因此，木星的体积为V木星=π(10r)3.太阳的体积为V太阳=π[(10r)2]3探究新知试一试：根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空：（1）(23)2=23×23=2()；（2）(52)3=52×52×52=5()；（3）(a3)4=a3·a3·a3·a3=a().6612观察计算结果，你能发现什么规律？你能直接写出(am)n的计算结果吗？你能将上面发现的问题规律推导出来吗？(am)n=am·am·…·amn个=am+m+…+mn个=amn可得(am)n=amn（m、n为正整数）即：幂的乘方，底数不变，指数相乘.例2计算：（1）(103)5；（2）(b5)4；解（1）(103)5（2）(b5)4=b5×4=b20.=103×5=1015.拓展延伸思考：[(am)n]p（m、n、p都是正整数）如何运算？[(am)n]p=amnp（m、n、p都是正整数）幂的乘方法则可以逆用，即amn=(am)n

（m、n都为正整数）.1.判断下列计算是否正确，并说明理由：（1）（a3）5=a8（2）a3·a5=a15（3）（a2）3·a4=a9×（a3）5=a3×5=a15×a3·a5=a3+5=a8×（a2）3·a4=a2×3·a4=a6·a4=a6+4=a102.计算：（1）（22）2（2）（y2）5（3）（x4）3（4）（y3）2·（y2）3=（22）2=22×2=24=（y2）5=y2×5=y10=（x4）3=x4×3=x12=y3×2·y2×3=y6·y6=y6+6=y12思考：同底数幂相乘与幂的乘方有什么区别？内容公式区别幂的乘方(am)n=amn（m、n都是正整数）底数不变，指数相乘同底数幂的乘法am·an=am+n（m、n都是正整数）底数不变，指数相加跟踪训练1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)a5+a5=2a10 (2)(x2)3=x5(3)(－3)2×(－3)4=(－3)6=－36

(4)a6·a4=a24 (5)[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0(6)(y3)3=y9××××√√2.计算：（1）−(a4)2⋅(a2)3；（2）−2(a3)4+a4⋅(a4)2；（3）(−a2)3⋅a3+(−a)2⋅a7−5(a3)3.解：原式=−a8⋅a6=−a8+6=−a14.解：原式=−2a12+a4⋅a8=−2a12+a12=−a12.解：原式=(−a6)⋅a3+a2⋅a7−5a9=−a9+a9−5a9=−5a9.（4）2(a2)4−a(a2)2⋅a3−(−a)3⋅(−a2)2⋅(−a).解：原式=2a8−a⋅a4⋅a3−(−a3)⋅a4⋅(−a)=2a8−a8−a8=0.3.已知xa=2，xb=3.求：（1）xa+b；（2）x2a+3b.解：（1）xa+b=xa·xb=2×3=6.（2）x2a+3b=(xa)2·(xb)3=22×33=4×27=108.课堂小结幂的乘方法则注意(am)n=amn（m、n为正整数）[(am)n]p=amnp（m、n、p为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn；am·an=am+n幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m11.1幂的运算11.1.3积的乘方复习回顾同底数幂的乘法am·an=am+n（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.幂的乘方(am)n=amn（m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘.

若已知一个正方形的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗?1.1×103cm(1.1×103)3这个结果是幂的乘方形式吗？如何运算？探究新知试一试：根据乘方的意义和乘法运算律填空：（1）(ab)2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=a()b()；（2）(ab)3=_____________=____________=a()b()；（3）(ab)4=_________________=____________=a()b()；22(ab)·(ab)·(ab)(aaa)·(bbb)33(ab)·(ab)·(ab)·(ab)(aaaa)·(bbbb)44计算式子有什么共同特点，你能发现什么？(ab)n=？（n为正整数）你能将上面发现的问题规律推导出来吗？(ab)n=(ab)·(ab)·…·(ab)n个=(a·a·…

·a)·(b·b·…

·b)n个n个=anbn积的乘方(ab)n=anbn（n为正整数）积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.可推广：(abc)n=anbncn（n为正整数）例3计算：（1）(2b)3；（2）(a3)2；（3）(－a)3；（4）(－3x)4.解（1）(2b)3=23·b3=8b3.（2）(a3)2=()2×(a3)2=a6.（3）(－a)3=(－1)3·a3=－a3.（4）(－3x)4=(－3)4·x4=81x4.1.判断下列计算是否正确，并说明理由：（1）（xy3）2=xy6；（2）（-2x）3=-6x3.×（xy3）2=x2y6×（-2x）3=-8x32.计算：（1）(3a)2；（2）(-3a)3；（3）(ab2)2；（4）(-2×103)3.解：原式=32a2解：原式=-33a3=9a2.=-27a3.解：原式=a2b4.解：原式=-23×103×3=-8×109.思考：如何区分同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则？1.注意运算形式：同底数幂相乘是乘法运算，幂的乘方（积的乘方）是乘方运算；2.注意法则：幂的乘法是指数相加，幂的乘方是指数相乘；积的乘方是先将各个因式先乘方再相乘.跟踪训练1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)a5+a5=2a10 (2)(x2)3=x6(3)(－3)2×(－3)4=(－3)6=－36

(4)a6·a4=a10 (5)(a2b3)3=a6b9(6)(2×102)3=8×105×√×√√×2.计算：（1）［(-x2y)3·(-x2y)2］3；解：原式=［(-x6y3)·(x4y2)］3=(-x10y5)3=-x30y15.（2）a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2.解：原式=a8+a8+4a8=6a8.3.若2x+1·3x+1=62x-1，求x的值.解：因为2x+1·3x+1=(2×3)x+1=6x+1，所以x+1=2x-1，所以x=2.可逆用：(ab)n=an·bn

（n为正整数）4.用简便方法计算：()2014·()2015解：原式=［()·()］2014=(－1)2014=课堂小结积的乘方(ab)n=anbn（n为正整数）积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.11.1幂的运算11.1.4同底数幂的除法复习回顾同底数幂的乘法am·an=am+n（m、n为正整数）幂的乘方(am)n=amn（m、n为正整数）积的乘方(ab)n=anbn（n为正整数）

地球的体积是1.1×1012km3，月球的体积2.2×1010km3，求地球的体积是月球的多少倍？如何列式？(1.1×1012)÷(2.2×1010)怎样计算呢？探究新知试一试：用你熟悉的方法计算：（1）25÷22=______；（2）107÷103=______；（3）a7÷a3=______（a≠0）.23104a4你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？算式运算过程结果25÷2223107÷103104a7÷a3a42×2×2×2×22×210×10×10×10×10×10×1010×10×10a·a·a·a·a·a·aa·a·a观察上表，发现同底数幂相除有什么规律？你能将上面发现的问题规律推导出来吗？一般地，设m、n为正整数，m>n，a≠0，有am÷an=a·a·…·aa·a·…·an个m个=a·a·…·am-n个=am-n.同底数幂除法am÷an=am-n（a≠0，m、n为正整数，且m>n）同底数幂相除，底数不变，指数相减.可推广：am÷an÷ap=am-n-p（a≠0，m、n、p为正整数，且m>n+p）例4计算：（1）a8÷a3；（2）(－a)10÷(－a)3；（3）(－2a)7÷(2a)4.解（1）a8÷a3=a8-3=a5.（2）(－a)10÷(－a)3=(－a)10-3=－a7.=

(－a)7（3）(－2a)7÷(2a)4=

(－1)·(2a)7÷(2a)4=－(2a)7-4=－(2a)3=－8a3.以后，如果没有特别说明，我们总假设所给出的式子是有意义的.1.填空：（1）a5·(

)=a9；（2）()·(-b)2=

(-b)7；（3）x6÷(

)=x

；（4）()÷(-y)3=(-y)7.

a4(-b)5x5(-y)102.计算：（1）a10÷a2；（2）（-x）9÷（-x）3；（3）m8÷m2·m3；（4）

（a3）2÷a6.=a10-2=a8=（-x）9-3=（-x）6=x6=m8-2+3=m9=a3×2÷a6=a6÷a6=1跟踪训练1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)a5÷a3=a2 (2)a8÷a2=a4(3)(－a)10÷(－a)4=a6(4)(－x)6÷(－x)=x6 (5)(ab)5÷(ab)3=a2b2(6)(－b)4÷(－b)2=－b2√×√×√×2.计算：（1）(−a3)4÷(−a4)3；

（2）(a2·a3)2÷a7×(−a)2；（3）(p−q)9÷(q−p)3；

（4）x⋅x5+(−2x2)3+x9÷x3.解：原式=a12÷(−a12)=−1.原式=(a5)2÷a7·a2=a10-7+2=a5．解：原式=−(p−q)9÷(p−q)3

=−(p−q)9−3=−(p−q)6.原式=x6−8x6+x6=−6x6.3.已知xm=9，xn=27，求x3m−2n的值.解：x3m−2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2=(9)3÷(27)2=(32)3÷(33)2=36÷36=1.可逆用：am−n=am÷an

（a≠0，m、n为正整数，且m>n）4.一张数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的照片？26M=26×210=216K216÷28≈2340（张）答：能存储2340张这样的照片。5.若32×92a+1÷27a+1=81，求a的值.解：32×92a+1÷27a+1=32×34a+2÷33a+3=32+4a+2-3a-3=31+a.所以31+a=81=34，所以1+a=4，得a=3.课堂小结同底数幂除法am÷an=am-n（a≠0，m、n为正整数，且m>n）同底数幂相除，底数不变，指数相减.习题11.1（1）93×95；（2）35×27；（3）a7·a8；（4）x2·x3·x4.1.计算（结果以幂的形式表示）：=93+5=35×33=98=35+3=38=a7+8=a15=x2+3+4=x9A组2.计算：（1）（103）3；（2）（a3）7；（3）（x2）4；（4）（a2）3·a5.=103×3=109=a3×7=a21=x2×4=x8=a2×3+5=a113.判断下列等式是否正确，并说明理由：（1）a2·a2=（2a）2；（3）a12=（a2）6=（a3）4=（a5）7；（2）a2·b2=（ab）4；×a2·a2=a4a2·b2=（ab）2××同底数幂相乘，底数不变，指数相加两因数平方的积，应等于它们乘积的平方（4）a6÷a2=a3.×同底数幂相除，底数不变，指数相减a6÷a2=a44.计算：（1）（3×105）2；（2）（2x）2；（3）（-2x）3；（4）a2·（ab）3；（5）（ab）3·（ac）4.（1）（3×105）2（2）（2x）2解：（3×105）2=32×105×2=9×1010解：（2x）2=4x2（3）（-2x）3解：（-2x）3=-23x3=-8x3（4）a2·（ab）3（5）（ab）3·（ac）4=a2·a3b3=a5b3解：a2·（ab）3解：（ab）3·（ac）4=a3b3·a4c4=a7b3c45.计算：（1）x12÷x4；（2）（-a）6÷（-a）4；（3）（p3）2÷p5；（4）a10÷（-a2）3.=x12-4=x8=（-a）6-4=

a2=p3×2-5=p=a10÷（-a6）=-a10-6=-a46.判断下列计算是否正确，如果不正确，请予以改正：（1）（a2b）2=a2b2；（2）（3xy2）2=6x2y4；（a2b）2=a4b2××（3xy2）2=9x2y4（3）（-m）7÷（-m）2=m5.×（-m）7÷（-m）2=（-m）7-2=（-m）5B组（1）（a3）3÷（a4）2；7.计算：（2）（x2y）5÷（x2y）3；（3）x2·（x2）3÷x5；（4）（y3）3÷y3÷（-y2）2.=a9÷

a8=a=x10y5÷x6y3=x4y2=x2·x6÷x5=x2+6-5=x3=y9÷y3÷y4=y9-3-4=y28.用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形？试写出三个答案，并用两种方法表示新正方形的面积.从不同的表示方法中，你能发现什么？aa2a2a2（2a）2=4a2（3a）2=9a2（4a）2=16a28.用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形？试写出三个答案，并用两种方法表示新正方形的面积.从不同的表示方法中，你能发现什么？解：用k2(k>1，k为正整数)张边长为a的正方形硬纸卡便可拼成一个边长为ka的正方形，用不同的方法计算出正方形的面积便可以得到k2·a2=(ka)·(ka)=(ka)2.11.2整式的乘法11.2.1单项式与单项式相乘复习回顾1.什么是单项式？数与字母的乘积组成的代数式.注意：单独的一个数或单独的一个字母也是单项式.2.下列单项式的系数、次数分别是多少？a，－x2y，2πr，xy，－x2情境导入如图：长为a，宽为b的长方形的面积=_____.如果有6个这样的长方形拼在一起，面积又是多少？你能用两种方法表示吗？ababbbbaa2a·3b6ab=这个等式蕴含着什么样的运算法则呢？探究新知计算：试一试(2×103)×(5×104)=(2×5)×(103×104)=10×107=108.请同学们根据以上解题思路，计算：2x3·5x22x3可以看成是2·x35x2可以看成是5·x2=(2×5)·(x3·x2)=10x5.例1计算：（1）3x2y·(－2xy3)；（2）(－5a2b3)·(－4b2c).试着根据刚才发现完成下列例题:解：=[3·(－2)]·(x2·x)·(y·y3)=－6x3y4.=[(－5)·(－4)]·a2·(b3·b2)·c=20a2b5c.

尝试总结一下单项式与单项式相乘的运算法则吧！单项式与单项式相乘法则单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.注意：（1）系数相乘；（2）相同字母的幂相乘；（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.讨论：你能分别说出a·a和a·ab的几何意义吗？式子a·a表示边长为a的正方形的面积.aaaab式子a·ab表示长为a，宽为b，高为a的长方体的体积.1.计算：（1）3a2·2a3；（2）(-9a2b3)·8ab2；（3）(-3a2)3·(-2a3)2；（4）-3xy2z·(x2y)2.=3×2·a2·a3=6a5=(-9)×8·a2·a·b3·b2=-72a3b5=-27a6·4a6=-27×4·a6·a6=-108a12=-3xy2z·(x4y2)=-3x5y4z注意：1.单项式乘以单项式的结果仍是单项式；2.对于只在单项式里出现的字母和这个字母的指数，在计算结果里要全部出现，不能漏掉；3.若有乘方、乘法混合运算，要按照“先乘方，后乘法”的顺序进行.2.光在真空及空气中的传播速度约为3×108m/s，太阳光射到地球上的时间约为5×102s，地球与太阳的距离约为多少千米？(3×108)×(5×102)=(3×5)×(108×102)=15×1010=1.5×1011（米）答：地球与太阳的距离约是1.5×108千米.=1.5×108（千米）3.小明的步长为am，他量得一间屋子长15步、宽14步，这间屋子的面积是多少平方米？15a·14a=210a2（m2）答：这间屋子的面积是210a2平方米.跟踪训练1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)5a5·2a3=10a6 (2)3s·(−2s7)=−6s7(3)3y2·(−2x2y2)=6x2y3(4)2·(−a3)=−a6 (5)(−4a2b)·(−2a)=8ba3(6)2a3b−4ba2=−2a4b2××××√×2.计算：（1）(−3x)2·4x2；（2）4y·(−2xy2)；（3）(−4a2bc3)·(−5c5)·(ab2c).解：原式=9x2·4x2=36x4.解：原式=−8xy3解：原式=[(−4)×(−5)×]·(a2·a)·(b·b2)·(c3·c5·c)=a3b3c9.注意：有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.3.若单项式3x2y与−2x3y3的积为mx5yn，则m+n为________.−24.若(am+1bn+2)·(a2n−1b)=a5b3，求m+n的值.解：因为(am+1bn+2)·(a2n−1b)=am+1+2n−1bn+2+1=a5b3，所以m+1+2n−1=5，n+2+1=3.解得m=5，n=0.所以m+n=5.课堂小结单项式与单项式相乘转化有理数乘法同底数幂的乘法注意：（1）系数相乘；（2）相同字母的幂相乘；（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.11.2整式的乘法11.2.2单项式与多项式相乘复习回顾1.单项式乘法法则：单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积的因式.注意：有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.注意：系数相乘不要漏掉负号.2.计算：（1）2x2·(−4xy)（2）(−2x2)·(−3xy)（3）(−ab)·(ab)（4）6x2y2·(−4x2y)（5）(x2)2·(−8x3y2)（6）(−3mx2)2·(−5m2x)3=−8x3y=6x3y=−a2b2=−24x4y3=−8x7y2=−1125m8x7探究新知算一算：6×(+−).=6×+6×−6×=3+2−1=4把数字改为字母，怎样计算？想一想：m(a+b+c)怎么计算？mabc①②③（1）大长方形的长是____________；（2）①、②、③三个小长方形的面积分别是_____________；（3）由（1）（2）得出等式____________________.a+b+cma、mb、mcm(a+b+c)=ma+mb+mc计算：2a2·(3a2−5b).试一试解：2a2·(3a2−5b)=2a2·3a2−2a2·5b乘法分配律=6a4−10a2b总结一下，怎样将单项式与多项式相乘？单项式与多项式相乘法则单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.用字母表示为：m(a+b+c)=ma+mb+mc例2计算：(−2a2)·(3ab2−5ab3).解：(−2a2)·(3ab2−5ab3)=(−2a2)·3ab2+(−2a2)·(−5ab3)=−6a3b2+10a3b3.1.计算：（1）3x3y·(2xy2-3xy)；（2）2x·(3x2-xy+y2).解：3x3y·(2xy2-3xy)=3x3y·2xy2-3x3y·3xy=6x4y3-9x4y2解：2x·(3x2-xy+y2)=2x·3x2-2x·xy+2x·y2=6x3-2x2y+2xy22.化简：x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5).解：x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)=x3-x+2x3+2x2-6x2+15x=3x3-4x2+14x注意：1.单项式乘多项式，结果是一个多项式；2.结果的项数与所乘多项式的项数相等；3.正确确定积的符号：多项式的每一项包括前面的符号，要注意积的各项符号的确定，同号相乘得正，异号相乘得负.跟踪训练1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)m(a+b+c+d)=ma+b+c+d

(2)a(a2+a+2)=a3+a2+1(3)(−2x)·(ax+b−3)=−2ax2−2bx−6x×××2.计算：(3x2y−xy2)·(−3xy)(x2y−xy2

−y3)·(−4x2y)解：原式=3x2y·(−3xy)+(−xy2)·(−3xy)=−9x3y2+3x2y3解：原式=x2y·(−4x2y)+(−xy2)·(−4x2y)+(−y3)·(−4x2y)=−3x4y2+2x3y3+x2y43.化简求值.（1）yn(yn+9y−12)−3(3yn+1−4yn)，其中y=−3，n=2.

解：yn(yn+9y−12)−3(3yn+1−4yn)=y2n+9yn+1−12yn−9yn+1+12yn=y2n当y=−3，n=2时，原式=(−3)2×2=(−3)4=81.（2）其中x=-2，

.以x=-2，

代入，原式=1.课堂小结单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：单项式与多项式相乘,在没有合并同类项前，其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同.积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号来决定.注意运用去括号法则，不要漏乘项．11.2整式的乘法11.2.3多项式与多项式相乘复习回顾1.单项式乘以单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.探究新知问题：将一块长mm、宽am的长方形林地的长、宽分别增加nm和bm.请你计算这块林地现在的面积.bamn你能用不同的方法表示扩地后的面积吗？bamn方法一：这块林地现在长(m+n)m，宽(a+b)m，因而面积为：(m+n)(a+b)m2．方法二：这块林地现在是由四小块组成，它们的面积分别为：mam2、mbm2、nam2、nb

m2，故这块林地的面积为(ma+mb+na+nb)m2．mananbmb由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块林地的面积，故有(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.如何进行多项式与多项式相乘的运算？实际上，把(m+n)看成一个整体，有：(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b=ma+mb+na+nb.多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb注意：在进行多项式的乘法运算时，若多项式中有减法运算，一定要先将减法运算转化为加法运算.例3计算：（1）(x+2)(x−3)；（2）(2x+5y)(3x−2y).解：（1）(x+2)(x−3)=x2−3x+2x−6=x2−x−6.（2）(2x+5y)(3x−2y)=6x2−4xy+15xy−10y2=6x2+11xy−10y2.例4计算：（1）(m−2n)(m2+mn−3n2)；（2）(3x2−2x+2)(2x+1).解：（1）(m−2n)(m2+mn−3n2)=m·m2+m·mn−m·3n2−2n·m2−2n·mn+2n·3n2=m3+m2n−3mn2−2m2n−2mn2+6n3=m3−m2n−5mn2+6n3.（2）(3x2−2x+2)(2x+1)=6x3+3x2−4x2−2x+4x+2=6x3−x2+2x+2计算：（1）(x+5)(x-7)；（2）(x+5y)(x-7y)；（3）(2m+3n)(2m-3n)；（4）(2a+3b)2.=x2-7x+5x-35=x2-2x-35=x2-7xy+5xy-35y2=x2-2xy-35y2=4m2+6mn-6mn-9n2=4m2-9n2=4a2+12ab+9b2多项式乘以多项式的注意事项：1.多项式是单项式的和，其中的每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中的符号；2.多项式与多项式相乘，结果是多项式，在未合并同类项之前，积的项数要等于两个多项式项数的乘积；3.结果应化为最简式，即能够合并同类项的要进行合并.跟踪训练1.计算(a−2)(a+3)的结果是（）.A.a2−6 B.a2+a−6 C.a2+6 D.a2−a+62.计算(x+4y)(x−5y)的结果是（）.A.x2−20y2 B.x2−9xy−20y2C.x2−xy−20y2 D.x2+xy−20y2BC2.计算：（1）(2x+1)(x+3)；（2）(m+2n)(m−3n)；解:原式=2x2+6x+x+3=2x2+7x+3.解：原式=m2−3mn+2mn−6n2=m2−mn−6n2.（3）(a−1)2；（4）(a+3b)(a−3b)；解：原式=(a−1)(a−1)=a2−a−a+1=a2−2a+1.解：原式=a2−3ab+3ab−9b2=a2−9b2.（5）(2x2−1)(x−4)；（6）(x2+3)(2x−5).解:原式=2x3−8x2−x+4.解：原式=2x3−5x2+6x−153.计算：（1）(x+2)(x+3)；（2）(x−4)(x+1)；（3）(y+4)(y−2)；（4）(y−5)(y−3)；观察计算结果，你发现了什么？解：原式=x2+5x+6解：原式=x2−3x−4解：原式=y2+2y−8解：原式=y2−8y+15(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq（p、q为常数）4.(1+x)(2x2+ax+1)的结果中，x2的项的系数为−3，求a的值.解：(1+x)(2x2+ax+1)=2x2+ax+1+2x3+ax2+x=2x3+(2+a)x2+(a+1)x+1因为x2的项的系数为−3，所以2+a=−3,所以a=−5.课堂小结多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号.特殊公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq（p、q为常数）习题11.21.计算：（1）5a3·8a2；（2）11a12·(-12a11)；（3）2x2·(-3x)4；（4）(-8xy2)·(-x)3.=40a5=-132a23=2x2·81x4=162x6=(-8xy2)·(-x3)=x4y2A组2.计算：（1）(-3x)·(2x2-x+4)；（2）=(-3x)·2x2-(-3x)·x+(-3x)·4=-6x3+3x2-12x.3.计算：4.计算：（1）(x+5)(x-6)；（2）(2x+1)(2x+3)；解：(x+5)(x-6)=x2+5x-6x-30=x2-x-30解：(2x+1)(2x+3)=4x2+2x+6x+3=4x2+8x+3（3）(3x+4)(3x-4)；（4）(9x+4y)2.解：(3x+4)(3x-4)=9x2+12x-12x-16=9x2-16解:(9x+4y)2=(9x+4y)(9x+4y)=81x2+72xy+16y2=81x2+36xy+36xy+16y25.计算：（1）(3x-1)(2x2+3x-4)；（2）(x+2y)(x2-2xy+4y2).=3x·(2x2+3x-4)-(2x2+3x-4)=6x3+9x2-12x-2x2-3x+4=6x3+7x2-15x+4=x·(x2-2xy+4y2)+2y·(x2-2xy+4y2)=x3-2x2y+4xy2+2x2y-4xy2+8y3=x3+8y36.世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6m，底边长230.4m，用了约2.3×106块大石块，每块重约2.5×103kg.问：胡夫金字塔总重约为多少千克？2.3×106×2.5×103=2.3×2.5×106×103=5.75×109（kg）答：胡夫金字塔总重约为5.75×109kg.B组7.已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差2，甲、乙两长方形的周长相等.问：哪个长方形的面积大？大多少？解：设甲长方形的长、宽分别为a，b（a>b），乙长方形的长、宽分别为x，y（x>y）.由题意得a-b=6，x-y=2，所以a=b+6，x=y+2.所以S甲=ab=(b+6)b；S乙=xy=(y+2)y.因为甲、乙两长方形的周长相等，所以a+b=x+y，所以2b+6=2y+2，即y=b+2.所以S乙=(b+2+2)(b+2)=b2+6b+8.因为S甲=b2+6b，所以乙长方形的面积大.S乙-S甲=b2+6b+8-(b2+6b)=8.11.3乘法公式11.3.1两数和乘以这两数的差5mxm情境导入从前有一个狡猾的地主，他把一块长为xm的正方形的土地租给张老汉种植.有一天，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5m，另一边增加5m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了.回到家中，他把这件事对邻居讲了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉非常吃惊.

5mx−5mx+5mx2____(x+5)(x−5)？探究新知用多项式乘法法则计算：(a+b)(a−b).做一做(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2.利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.试一试观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算:aabbb(a+b)(a−b)a2b2=-=-几何角度证明.(a+b)(a−b)ab结果(−x+y)(x+y)yxy2−x2(x−y)(y+x)xyx2−y2(−x−y)(−x+y)−xyx2−y2(x−y)(−x−y)−yxy2−x2试一试，你能用平方差公式直接计算吗？使用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2时，关键在于找准a与b，公式左边积的两个因式中相同的项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b.例1计算：（1）(a+3)(a−3)；（2）(2a+3b)·(2a−3b)；（3）(1+2c)·(1−2c)；（4）(−2x−y)·(2x−y).=a2−32=a2−9=(2a)2−(3b)2=4a2−9b2=12−(2c)2=1−4c2=(−y+2x)(−y−2x)=(−y)2−(2x)2=y2−4x2你还有其他解法吗？=−(2x+y)(2x−y)=−(4x2−y2)=−4x2+y21.计算：（1）(2x+)(2x-)；（2）(-x+2)(-x-2)；=

4x2-=(-x)2-22=x2-4（3）(-2x+y)(2x+y)；（4）(y-x)(-x-y).=(y)2-(2x)2=y2-4x2=(-x)2-(y)2=x2-y2找清哪个是相同的，即公式中的a；哪个是互为相反数，即公式中的b.例2计算：1998×2002.解

1998×2002写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便.=(2000−2)×(2000+2)=20002−22=4000000−4=3999996.2.计算：（1）498×502；（2）999×1001；=(500-2)×(500+2)=250000-4=249996=(1000-1)×(1000+1)=1000000-1=999999例3如图，街心花园有一块边长为am的正方形草坪(a>2)，经统一规划后，南北向增加2m，东西向减少2m.改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积.a2a2解

(a+2)(a−2)=a2−4.答：这块长方形草坪的面积为(a2−4)m2.跟踪训练1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是()A.(2a−3b)(−2a+3b) B.(−3a+4b)(−4b−3a)C.(a−b)(b−a) D.(a−b−c)(−a+b+c)B2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）(x+2)(x−2)=x2−2 （2）(−3a−2)(3a−2)=9a2−4改正：(x+2)(x−2)=x2−4改正：(−3a−2)(3a−2)=4−9a23.计算：（1）(a+3b)(a−3b)；（2）(3+2a)(−3+2a)；（3）51×49；（4）(a−b+c)(a+b+c).=a2−(3b)2=a2−9b2=(2a)2−32=4a2−9=(50+1)×(50−1)=502−12=2500−1=2499=[(a+c)+b][(a+c)−b]=(a+c)2−b2=(a+c)(a+c)−b2=a2+2ac+c2−b24.用一定长度的篱笆围成一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域可使面积最大，而小亮认为不一定.你认为如何？说说你的道理.解：长方形区域的周长是一定的，设为4a，如果围成正方形，那么其边长为a，面积为a2；如果围成一般的长方形，设其长为b(b≠a≠0)，则宽必为(2a-b)，因而其面积为(2a-b)b=2ab-b2而a2-(2ab-b2)=(a-b)2>0(a≠b≠0)，因此围成一般的长方形比围成正方形面积要小.课堂小结整式的乘法平方差公式特殊情形(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.11.3乘法公式11.3.2两数和(差)的平方情境导入一块边长为am的正方形实验田，因实际需要将其边长增加bm，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）.用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.amambmbm直接求：总面积=(a+b)(a+b)间接求：总面积=a2ababb2a2+2ab+b2你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2探究新知用多项式乘法法则计算：(a+b)2.做一做(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.我们又得到一个新的公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.

这个公式叫做两数和的平方公式.利用这个公式，可以直接计算两数和的平方.试一试观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算:aabbaabba2ababb2=++(a+b)2a22ab=++b2几何角度证明.例4计算：（1）(2x+3y)2；（2）(2a+)2.解（1）(2x+3y)2(a+b)2=a2+2ab+b2=(2x)2+2×2x×3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2.（2）(2a+)2.=(2a)2+2×2a×

+()2.=4a2+2ab+.1.计算：（1）(x+3)2；（2）(2x+y)2.=x2+2·x·3+32=x2+6x+9=(2x)2+2·2x·y+y2=4x2+4xy+y2推导两数差的平方公式(a−b)2=试一试?方法1：直接计算(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2方法2：整体代入(a−b)2=[a+(−b)]2=a2+2×a×(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2这样就得到了两数差的平方公式：(a−b)2=a2−2ab+b2

这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.指出图形中包含哪些长方形和正方形，你能用图中的面积关系来解释两数差的平方公式吗?ababa2ababb2=-+(a-b)2a22ab=-+b2ab例5计算：（1）(3x−2y)2；（2）(−m+1)2.解（1）(3x−2y)2(a−b)2=a2−2ab+b2=(3x)2−2×3x×2y+(2y)2=9x2−12xy+4y2.例5计算：（1）(3x−2y)2；（2）(−m+1)2.方法1：（2）(−m+1)2=(−m)2+2×(−m)×1+12=m2−m+1.方法2：（2）(−m+1)2=(1−m)2=12−2×1×

m+(m)2=m2−m+1.2.计算：（1）(x-3)2；（2）(2m-3n)2.=x2-2·x·3+32=x2-6x+9=(2m)2-2·2m·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n23.计算：（1）(-2m+n)2；（2）(-2m-n)2.=(-2m)2+2·(-2m)·n+n2=4m2-4mn+n2=(2m)2+2·2m·n+n2=4m2+4mn+n2=[-

(2m+n)]2

=

(2m+n)2完全平方公式两数和的平方公式：两数差的平方公式：(a+b)2=_____________(a−b)2=_____________a2−2ab+b2a2+2ab+b2公式特征：左边：两数和（差）的平方.右边：1.积为二次三项式；2.前后两项为两数的