数学-人教A版（新教材）-一轮复习-22版：§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 -第七章　立体几何与空间向量-学案

§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考试要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3微思考1．斜二测画法中“三变”与“三不变”指的是什么？提示“三变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x轴和y轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形改变.))“三不变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改变，,与x轴，z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变.))2．柱体、锥体、台体体积之间有什么关系？提示题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(×)(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(√)(3)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．(×)(4)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．(×)题组二教材改编2．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是()A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱答案C3．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于eq\f(8,5)π，则该圆锥的体积为________．答案16π解析由题意知，侧面展开图的弧长为5×eq\f(8,5)π＝8π，设圆锥底面圆的半径为r，则8π＝2πr，∴r＝4，∴圆锥高h＝eq\r(52－42)＝3，∴体积为eq\f(1,3)×π×42×3＝16π.4．一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1,2,3，则球的表面积为________．答案14π解析设球的半径为R，则2R＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，则R＝eq\f(\r(14),2).∴S＝4πR2＝4π×eq\f(14,4)＝14π.题组三易错自纠5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案A解析由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为eq\r(2)，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2eq\r(2).故选A.6．下面图形都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是()答案C题型一基本立体图形命题点1结构特征例1(多选)下列说法错误的是()A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案ABC解析选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．故选ABC.思维升华空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．命题点2直观图例2一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.eq\f(\r(2),4)a2 B．2eq\r(2)a2C.eq\f(\r(2),2)a2 D.eq\f(2\r(2),3)a2答案B解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),2)·S＝eq\f(\r(2),4)S.可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝eq\f(\r(2),4)S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S＝eq\f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq\r(2)a2.思维升华(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形．命题点3展开图例3(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．答案1解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，∴r·l＝2.又圆锥侧面展开图为半圆，∴eq\f(1,2)πl2＝2π，∴l＝2，∴r＝1.思维升华多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．跟踪训练1(1)(多选)下列说法正确的是()A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径答案BCD解析A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径)．故选BCD.(2)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)答案A解析恢复后的原图形为一直角梯形，其上底为1，下底为1＋eq\r(2)，高为2，所以S＝eq\f(1,2)(1＋eq\r(2)＋1)×2＝2＋eq\r(2)，故选A.(3)(2020·安庆模拟)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是()A.eq\r(a2＋9b2) B.eq\r(9a2＋b2)C.eq\r(4a2＋9b2) D.eq\r(a2＋b2)答案A解析正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为eq\r(a2＋9b2).故选A.题型二表面积与体积命题点1表面积例4(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故选B.思维升华(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．命题点2体积例5(2020·新高考全国Ⅱ)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________．答案1解析如图，由正方体棱长为2，得＝2×2－2×eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(3,2)，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴＝＝eq\f(1,3)··D1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝1.思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2(1)(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．答案40eq\r(2)π解析因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r，则母线长l＝eq\r(2)r.在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，所以sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8).因为△SAB的面积为5eq\r(15)，即eq\f(1,2)SA·SBsin∠ASB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)r×eq\r(2)r×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，所以r2＝40，故圆锥的侧面积为πrl＝eq\r(2)πr2＝40eq\r(2)π.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．答案eq\f(\r(2),3)解析如图，过BC作与EF垂直的截面BCG，作平面ADM∥平面BCG，取BC的中点O，连接GO，FO，由题意可得FO＝eq\f(\r(3),2)，FG＝eq\f(1,2)，所以GO＝eq\r(FO2－FG2)＝eq\f(\r(2),2)，所以S△BCG＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝eq\f(\r(2),4)，V2＝2VF－BCG＝2×eq\f(1,3)S△BCG·GF＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12)，所以V＝V1＋V2＝eq\f(\r(2),3).题型三与球有关的切、接问题命题点1简单几何体的外接球例6(2020·枣庄模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝4，△ABC是边长为2eq\r(3)的正三角形，D1是线段B1C1的中点，点D是线段A1D1上的动点，则三棱锥D－ABC外接球的表面积的取值集合为______(用区间表示)．答案[25π，32π]解析如图，设三棱柱ABC－A1B1C1上、下底面的中心分别为O1，O2，三棱锥D－ABC外接球的球心为O，连接O1O2，AO2，由△ABC是边长为2eq\r(3)的正三角形知O1在A1D1上，且AO2＝A1O1＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝2.根据三棱柱的结构特征以及AA1⊥平面ABC，可得O1O2⊥平面ABC，O在O1O2上，连接OD，OA，设O1D＝x，OO2＝y，球O的半径为R，则R2＝y2＋4，R2＝x2＋(4－y)2，可得y＝eq\f(x2,8)＋eq\f(3,2)，x∈[0,2]，所以y2＋4∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,4)，8))，所以球O的表面积S＝4πR2＝4π(y2＋4)∈[25π，32π]．思维升华(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图．如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线．命题点2简单几何体的内切球例7(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．答案eq\f(\r(2),3)π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2eq\r(2)，△PEO∽△PDB，故eq\f(PO,PB)＝eq\f(OE,DB)，即eq\f(2\r(2)－r,3)＝eq\f(r,1)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故内切球的体积为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2),3)π.思维升华“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决．(2)体积分割是求内切球半径的通用方法．跟踪训练3(1)已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，若点P为三棱锥S－ABC的外接球的球心，则这个外接球的半径是________．答案eq\f(3,2)解析如图所示，将三棱锥补为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R，则(2R)2＝12＋22＋22＝9，∴4R2＝9，R＝eq\f(3,2).即这个外接球的半径是eq\f(3,2).(2)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A.eq\f(\r(6)π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(\r(3)π,3)答案C解析平面ACD截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体棱长为1，∴AC＝CD1＝AD1＝eq\r(2).∴内切圆半径r＝tan30°·AE＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),6).∴S＝πr2＝π×eq\f(1,6)＝eq\f(π,6)，故选C.空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．一、解方程确定球心的位置例1已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为4eq\r(3)，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________．答案64π解析如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.∵在正三棱锥S－ABC中，底面边长为6，侧棱长为4eq\r(3)，∴BE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×6＝2eq\r(3)，∴SE＝eq\r(SB2－BE2)＝6.∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R，∴OB＝R，OE＝6－R.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.二、借助三角形的外心确定球心的位置例2(2020·南昌市八一中学模拟)如图所示，在三棱锥S－ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A－BC－S的大小为eq\f(2π,3)，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为()A.eq\f(7π,3) B.eq\f(13π,3)C.eq\f(4π,3) D．3π答案A解析如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，∴∠ADS＝eq\f(2π,3)，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂