2025年线性代数（行列式与矩阵）秋季学期期末考试答案

2025年线性代数（行列式与矩阵）秋季学期期末考试答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题2分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设行列式D的某一行所有元素均乘以数k（k≠0），则新行列式的值等于（）。A.D/kB.kDC.k^2DD.k^3D2.若方阵A的秩为r，则下列说法正确的是（）。A.A的任意r阶子式都不为零B.A中存在r+1个线性无关的列向量C.A的秩一定小于其阶数D.A的行向量组线性相关3.设A是n阶可逆矩阵，B是n阶矩阵，则下列运算中结果仍为可逆矩阵的是（）。A.ABB.BAC.A+BD.A-B4.若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则矩阵A的行列式（）。A.必等于零B.不一定等于零C.必大于零D.必小于零5.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则下列运算中定义且结果为n阶方阵的是（）。A.ABB.BAC.AB-BAD.(AB)^T二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在题中横线上。）6.行列式D的元素a_ij的代数余子式A_ij与元素本身a_ij的位置互换，行列式的值变为。7.若矩阵A经过有限次初等行变换变为矩阵B，则A和B的秩。8.设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|=。9.若向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1线性。10.矩阵方程Ax=b有唯一解的充要条件是。三、计算题（共40分。）11.（6分）计算行列式D的值：D=|12-1||305||-142|12.（8分）设矩阵A和矩阵B分别为：A=|1-1|B=|21||20||13|计算矩阵C=AB和矩阵D=BA。13.（8分）设矩阵A为：A=|123||2a6||124|已知矩阵A的秩为2，求a的值。14.（10分）利用初等行变换求矩阵A的逆矩阵，其中：A=|123||111||012|15.（8分）求线性方程组的基础解系和通解：3x1-x2+2x3=1x1+x2-x3=22x1+x2+x3=0四、证明题（共10分。）证明：若方阵A满足A^2=A，则A的特征值只能是0或1。试卷答案一、单项选择题1.B2.A3.B4.A5.A二、填空题6.-D7.相等8.189.无关10.矩阵A可逆（或r(A)=n）三、计算题11.解：D=|12-1||305||-142|=1*|0-15||422|-2*|3-15||-122|+(-1)*|305||-142|=1*(0*(2)-(-1)*2-5*(4)-2*(-1))-2*(3*(2)-(-1)*2-5*(-1)-2*(-1))-1*(3*(4)-0*(-1)-5*(-1)-2*(-1))=1*(0+2-20+2)-2*(6+2+5+2)-1*(12-5+2)=1*(-16)-2*(14)-1*(9)=-16-28-9=-5312.解：C=AB=|1-1||21|=|(1*2+(-1)*1)(1*1+(-1)*3)||20||13|=|(2*2+0*1)(2*1+0*3)||21|=|1-2||46|=|46|D=BA=|21||1-1|=|(2*1+1*2)(2*(-1)+1*(-1))||13||20|=|(1*1+3*2)(1*(-1)+3*0)||21|=|4-3||70|=|70|13.解：对矩阵A进行初等行变换化为行阶梯形：A=|123||2a6||124|->|123||0a-40||001|由于矩阵A的秩为2，故r(A)=2，因此a-4=0，解得a=4。14.解：对矩阵A进行初等行变换化为单位矩阵E，同时将单位矩阵E化为A的逆矩阵A^-1。(A|E)=|123||100||111||010||012||001|->(R2-R1,C2-C1,C3-C1)|123|100||0-1-2|-110||012|001|->(R1+2*R2,C1+2*C2,C3+2*C2)|10-1|-120||0-1-2|-110||012|001|->(R2*(-1),C2*(-1),C3*(-1))|10-1|-120||012|1-1-1||012|001|->(R3-R2,C3-C2)|10-1|-120||012|1-1-1||000|-112|由于矩阵A化为行阶梯形后出现全零行，说明矩阵A不可逆。15.解：首先写出增广矩阵并化为行阶梯形：(A|b)=|3-12|1||11-1|2||211|0|->(R1-3*R2,C1-3*C2,C3-2*C2)|0-45|-5||11-1|2||-1-23|-4|->(R1*(-1/4),C1*(-1/4),C2*(-1/4))|01-5/4|5/4||11-1|2||-1-23|-4|->(R2-R1,R3+2*R1)|01-5/4|5/4||101/4|3/4||001/2|-3/2|->(R2*4,R3*2)|01-5/4|5/4||401|3||001|-3|->(R1+5/4*R3,R2-R3)|010|-2||40-1|6||001|-3|->(R1/4,R2+R3)|01/4-1/4|-1/2||400|3||001|-3|->(R1+1/4*R2,C1-1/4*C2,C3+1/4*C2)|100|0||400|3||001|-3|原方程组对应的齐次方程的基础解系为：[-3/4,1/4,0]^T