湖南省衡阳市衡阳县第四中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

衡阳县四中2026年下学期期中考试高二数学试题卷（考试时间120分钟，总分150分）一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合A={x|x²−3x+2=0}，B={1,2,3}，则A∩B=（）A.{1,2}B.{2,3}C.{1,3}D.∅2.函数f(x)=的定义域是（）A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(0,+∞)D.[0,+∞)3.复数z=3−4i的模|z|=（）

A.7B.5C.25D.4.已知向量a=(2,−1)，b=(1,2)，则a·b=（）

A.-5B.3C.5D.05.空间向量a=(0,3,4)的模|a|=（）

A.5B.7C.12D.256.已知空间向量a=(2,−1,3)，b=(1,2,−1)，则a+2b=（）

A.(4,3,1)B.(3,0,2)C.(5,−3,5)D.(2,−3,4)7.直线x+2y−3=0与圆(x−1)²+(y+1)²=5的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不确定8.直线l₁:ax+2y−1=0与l₂:x+(a−1)y+2=0垂直，则a=（）A.2B.C.−2D.二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分）9.下列函数中，在(0,+∞)上单调递增的是（）A.y=2xB.y=2ˣC.y=x²D.y=10.关于平面向量a=(1,1)，b=(0,1)，正确的有（）A.a+b=(1,2)B.a·b=1C.|a|=D.a⊥b11.圆C:x²+y²−2x+4y−4=0，则（）A.圆心为(1,−2)B.半径为3C.点(0,0)在圆外D.直线y=0被圆截得的弦长为三、填空题（每题5分，共15分）12.函数f(x)=2ˣ−8的零点为______________。13.已知a=(1,2)，b=(3,−1)，则|2a−b|=______________。14.圆x²+y²−4x+2y−4=0上的点到直线x−y+7=0的距离的最大值为______________。四、解答题（共77分）15.（12分）已知向量a=(1,2,−1)，b=(2,1,3)。（1）求a+b；（2）求a·b；（3）求|b|。16.（12分）已知直线l过点P(2,−1)，且与直线y=2x+3平行。（1）求直线l的方程（化为一般式）；（2）求直线l与x轴、y轴的交点坐标。17.（13分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=，A=60°。（1）求角B的大小；（2）求边c的长度；（3）求△ABC的面积。18.（13分）已知直线l:3x−4y+5=0和圆C:x²+y²=9。（1）求圆心到直线l的距离；（2）判断直线与圆的位置关系；（3）若相交，求弦长；若不相交，说明理由。19.（14分）如图，在直三棱柱ABC−中，CA=CB=2，=4，∠ACB=90°。（1）请建立适当的空间直角坐标系，并写出A,B,C₁,A₁的坐标；（2）求平面的一个法向量；（3）求直线与平面所成角的正弦值。20.（13分）已知圆C过点A(0,0)，B(4,0)，且圆心在直线x+y−3=0上。（1）求圆C的标准方程；（2）过点Q(0,4)作圆C的切线，求切线方程；（3）若过点Q的直线被圆C截得的弦长为，求该直线的方程。

一、单选题1.A2.A3.B4.D5.A6.A7.C8.B二、多选题9.ABC10.ABC11.ABD三、填空题12.313.√2614.5√2+3四、解答题15.【12分】（1）a+b=(3,3,2)；（2）a·b=2+2−3=1；（3）。16.【12分】（1）k=2，由y+1=2(x−2)，得2x−y−5=0；（2）与x轴交点(5/2,0)，与y轴交点(0,−5)。17.【13分】（1）由正弦定理得解得。因为b<a，所以B<A=60°，故B=30°；（2）C=180°−A−B=180°−60°−30°=90°，△ABC为直角三角形，由勾股定理；（3）。18.【13分】（1）；（2）d=1<r=3，直线与圆相交；（3）弦长。19.【14分】（1）A(2,0,0)，B(0,2,0)，C₁(0,0,4)，A₁(2,0,4)；（2）。设平面的法向量，由，得，取得；（