湘教版八年级上册数学5.2 第2课时 勾股定理的实际应用 教学课件（25秋新教材）

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学

课

件湘教版八年级上册数学（25秋新教材）

第5章直角三角形第2课时

勾股定理的实际应用

5.2勾股定理及其逆定理1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.

（重点）2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，

利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.（难点）学习目标

OA1A211

1

思考：如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5m，那么，梯子顶端是否也上移0.5m？勾股定理的简单实际应用1

抽象成数学问题解决实际问题实际问题：梯子顶端往上移动的距离.A'C'CAB

墙面地面梯子几何问题：利用_________，求_________的长.勾股定理AB，A'B解：在Rt△ABC中，AC

=4m，BC

=1.5m，

因此

A'A=A'B－AB≈3.87－3.71

=0.16(m).即梯子顶端

A

点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.A'C'CAB

在Rt△A'BC'

中，A'C=4m，BC'=

1m，例1

在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面

6

米处断裂，树的顶部落在离树根底部

8

米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？8米6米8米6米ACB解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在

Rt△ABC

中，AC

=

6

米，BC

=

8

米，由勾股定理得∴这棵树在折断之前的高度是10+6

=

16（米）.例2(古代数学问题)“今有池方一丈，葭(jia)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面，问水深与芦苇长各为多少？武英殿聚珍版《九章算术》分析

根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示.设

AB

为芦苇，BC

为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部

B点恰好碰到岸边

B'.ABB'1尺5尺C解：如图，设水深

x尺，则

AC=x尺，因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，在Rt△ACB'

中，根据勾股定理得，

52+x2=(x+1)2，故芦苇长为13尺.解得

x=12.答：水池的水深12尺.AB=AB'=(x+1)

尺.所以

B'C

=5尺.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.数学问题直角三角形勾股定理实际问题转化构建利用决解要点归纳解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理得

∴这条“近路”的长为5米.CAB练一练

如图，学校教学楼前有一块长为4米，宽为3米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草.(1)求这条“近路”的长；(2)他们仅仅少走了几步(假设

2

步为

1

米)？别踩我,我怕疼!(2)他们仅仅少走了

(3+4-

5)×2=4(步).CBA问题在

A点的小狗，为了尽快吃到

B点的香肠，它选择

AB路线，而不选择

A

C

B路线，难道小狗也懂数学？AC+CB＞AB（两点之间线段最短）思考在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？利用勾股定理求最短距离2AB

蚂蚁

A→B的路线问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在

B处，恰好一只在

A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从

A处爬向

B处，蚂蚁怎么走最近？BA根据两点之间线段最短易知上面路线最近.若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3.BA3O12侧面展开图123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.归纳例3有一个圆柱形油罐，要以

A点环绕油罐建梯子，正好建在

A点的正上方点

B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m，高

AB是5m，π取3)?ABABA'B'解：油罐的展开图如图，则

AB'

为梯子的最短距离.AA'

=2×3×2=12，

A'B'=5，根据勾股定理得

即梯子最短需13米.数学思想：立体图形平面图形转化展开B牛奶盒A【变式题】看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点

A处，并在点

B处放了一滴蜂蜜，你能帮小蚂蚁求出找到蜂蜜的最短路程么？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+(6+8)2=296，AB22=82+(10+6)2=320，AB32=62+(10+8)2=360，解：由题意知有三种展开方法，

如图.由勾股定理得∴AB1＜AB2＜AB3.∴小蚂蚁找到蜂蜜的最短路程为

AB1，长为

cm

.

如图是一个边长为

1

的正方体硬纸盒，现在

A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面爬到

B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？AB解：由题意得

AC=2，BC=1.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=22+12=5.∴AB=，即最短路程为.21ABC练一练1.从电线杆上离地面

5

m

的

C

处向地面拉一条长为

7

m的钢缆，则地面钢缆

A

到电线杆底部

B

的距离是(

)A.24mB.12

mC.mD.mD2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是

9

cm，内壁高

12

cm，则这只铅笔的长度可能是(

)A.9

cmB.12

cmC.15

cmD.18

cmD3.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？ABC解：如图，过点

A作

AC⊥BC于点

C.由题意得

AC=8(米)，BC=8-2=6(米)，

答：小鸟至少飞行10米.4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和

B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到