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四、无穷大五、小结第五节无穷小与无穷大二、无穷小的性质三、无穷小的比较一、无穷小一、无穷小定义1若在自变量x的某个变化过程中limf(x)=0,则称函数f(x)为x在该变化过程中的无穷小量,简称为无穷小.例如,注意（1）无穷小是变量,不能与很小的常数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数;（3）无穷小是相对于自变量的变化过程而言的.定理1(1)有限个无穷小的代数和仍是无穷小;(2)

有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.二、无穷小的性质

这里所说的有界,对函数而言可以是局部有界.都是无穷小.推论1常量与无穷小的乘积为无穷小.推论2有极限的量与无穷小的乘积为无穷小.推论3有限个无穷小的乘积为无穷小.注

两个无穷小的商未必是无穷小.因为常量有界,有极限的变量有界或者局部有界,所以有如下推论:2x和3x都是x→0时的无穷小,但商却不是.下面我们考虑无穷小与函数极限的关系:意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）;例如,极限不同,反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限三、无穷小的比较定义2例如，关于等价无穷小,有下面的两个结论:定理3意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,定理4(等价无穷小代换定理)常用等价无穷小:例1解

若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例2解例3解解错例4解四、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.【无穷大】【无界量】无穷大必无界，但无界未必是无穷大.【两者区别与联系】不是无穷大．无界，证例4定理5(无穷小与无穷大的关系)在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.解由于例5根据定理5,可知五、小结1.主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2.几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.【注】【反例】无穷大的性质3.无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.4

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