微积分（上册）（第3版）课件 2-1 数列的极限

二、数列的有关概念四、收敛数列的性质五、小结三、数列极限的定义第一节数列的极限一、引例“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术——刘徽一、引例正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2.截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的有关概念例如定义按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数叫做数列.记作{xn}或xn

(n=1,2,…).并把每个数叫做数列的项,第n个数叫做数列的第n项或通项.注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数单调性则称数列{xn}是单调增加的；单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列．对于数列{xn},若有x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,对于数列{xn},若有x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…,则称数列{xn}是单调减少的.有界性例如,有界；无界同样,三、数列极限的概念【问题1】当

无限增大时,是否无限接近于一个固定常数?如果是,如何确定?

当n无限增大时，xn无限接近于一个固定的常数a，则称数列{xn}有极限,或称数列{xn}以a为极限（或称数列是收敛的）,记为当n无限增大时,xn不能趋于一个固定常数,则称数列{xn}没有极限（或称数列是发散的）.【直观定义】【问题2】“无限接近”意味着什么?如何用数学语言定量描述？“距离”任意小要多接近有多接近无限接近绝对值任意小【例如】如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证明数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.

对于一切正整数,对小的找到N,这个N也适用于大的，因此根据问题需要不妨设

例3证【思考题】【错证】可以证明因为解新的不等式故当时有【思考题解答】【分析】错误①：极限是1明显是不对的，应为0.错误②：推导过程中又将不适当的放大，致使不等式：不能对任何ε>0成立.［例如］取ε=1/2时，找不到n满足该不等式.【结论】极限的分析定义严格描述了极限过程，如果随心所欲地放大不等式，就会导致荒谬的结果.切记证明中应适当放大，否则无法保证小于任给的ε>0.【正确证法】因为解不等式故取则当n>N时，必有故四、数列极限的性质性质1（极限的惟一性）收敛数列的极限必惟一.证由定义,故收敛数列不可能有两个极限.【证】(反证法)同时成立,这显然是矛盾的.因此收敛数列的极限是唯一的.例4证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.收敛数列必有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要而非充分条件.推论无界数列必定发散.性质2（有界性）性质3（保号性）证对于正数由于故存在正整数N1,当n

>N1时,有从而有对于上述的由于故存在正整数N2,当n

>N2时,有从而有取N=max{N1,N2},当n

>N时,有即推论1这个定理表明

若数列的极限为正（或负），则该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）.在上述性质中,若取yn=b(n=1,2,…),即得如下推论.在上述推论中,若取

b=0

,则有推论2但推论2的逆命题却不成立.也就是说,即使xn>0(或xn<0),但极限却不一定大于0

(或小于0).例如,对于数列,显然,可是却有

,但我们可以得到如下推论.推论3五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:惟一性、有界性、保号性.1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.——刘徽一、概念的引入1.割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而