2026-2027学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={−1,0,1,2}，集合A={0,1}，B={−1,0}，则A∪∁UB=A.{0} B.{−1,0,1,2} C.{1} D.{0,1,2}2.已知α∈(0,π)，则α=π6是sinα=12的A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非必要非充分3.已知cosα=32，则cos2α=A.−12 B.12 C.−4.已知等比数列{an}公比q=2，前3项和S3=7，则其首项A.7 B.73 C.74 5.空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是(

)A.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n

B.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β

C.若α//β，m//α，n//β，则m//n

D.若α//β，m//α，m//n，则n//β6.函数y=sin2x在区间[0,π2]上的值域为A.(−1,0) B.(0,1) C.[−1,1] D.[0,1]7.已知函数f(x)=sin(2x+2π3)为了得到函数g(x)=sinA.向左平移11π12个单位长度 B.向左平移11π24个单位长度

C.向右平移11π12个单位长度 D.8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=54A.1 B.2 C.22 9.如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具．在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用an表示解下n(n≤9,n∈N∗)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且anA.5 B.10 C.21 D.42二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，则复数2+i3−2i=

．11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=−3，S212.已知抛物线C：x2=my(m>0)的焦点为F(0,1)，点A在抛物线上，若E(3,5)，则△AEF周长的最小值为

．13.已知直线l：mx+y+3m−3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过点A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若14.数列{an}中，a1=1，an=3a15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动点，则下列结论正确的有

.(填写序号)

①存在点Q，使得PQ//BD1；

②存在点Q，使得PQ⊥平面AB1C1D三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

已知函数f(x)=sin(2x−π3)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的单调增区间；

(3)求函数f(x)17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，5asinC=3csinB，cosC=15．

(1)求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(2B+18.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1．

(1)求证：BC1//平面AA1D19.(本小题10分)

已知椭圆C：x24+y2=1，左顶点A，右顶点为B，过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点P．

(1)若点P横坐标为1，求k的值；

(2)若直线20.(本小题11分)

已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=an4an+1(n∈N∗)．

(Ⅰ)设bn=121.(本小题16分)

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点是(0,23).

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)如图所示，直线x=2与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．

(i)若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；

(ii)当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】41311.【答案】9

12.【答案】11

13.【答案】4

14.【答案】2⋅15.【答案】②④

16.【答案】π

[−π12+kπ,17.【答案】27

4218.【答案】解：(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(2,1,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，C1(0,3,2)，D1(0,0,2)，B1(2,3,2)

所以BC1=(−2,0,2),AD1=(−2,0,2)，得BC1=AD1，则BC1//AD1，而B不在直线AD1上，

因此BC1/​/AD1，又AD1⊂平面AA1D1D，BC1⊄平面AA1D1D，

所以BC1/​/平面AA1D1D.

19.【答案】解：(1)因为椭圆C：x24+y2=1，

所以a=2，b=1，

可得椭圆的左顶点A(−2,0)，

因为点P横坐标为1，

将x=1代入椭圆的方程中，

解得y=±32，

所以点P的坐标为(1,32)或(1,−32)，

则斜率k=32−01+2=36或k=−32−01+220.【答案】解：(Ⅰ)∵an+1=an4an+1，∴1an+1=4+1an，即1an+1−1an=4，∴bn+1−bn=4．

∴数列{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列．∴1an=bn=1+4(n−1)=4n−3，

∴数列21.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1 (a>b>0)，

由椭圆顶点为(0,23)，可得b=23，

由e=ca=a2−b2a=a2−12a=12，解得a=4，

故椭圆C方程：x216+y212=1；

(Ⅱ)(i)将x=2代入椭圆416+y212=1，解得y=±3，

∴P(2,3)，Q(2,−3)，|PQ|=6，

依题意，设直线AB：y=1