上海市晋元中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷（含答案）

晋元中学2026-2027学年第一学期高三年级数学月考2026.10一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1．已知集合，则.

2．若复数（其中表示虚数单位），则.

3．若函数与的最小正周期相等，则.

4．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为.

5．已知，且，则.

6．已知两个单位向量满足，则的夹角为.

7、如图，矩形中，，点是边的一个四等分点（靠近点），则.

8、已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是.

9．在复平面内，复数（i是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为为曲线上的动点，则与之间的最小距离为.

10．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为.

11．10世纪阿拉伯天文学家阿尔•库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星星的高度.如图，设有两个观察者在地球上两地同时观察到一颗流星，仰角分别是和表示当地的地平线）.设，地球的半径，则流星的高度为km（精确到1km）.12．已知向量满足，且在方向上的投影为的单位向量，则的最大值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.

13、已知角的始边在的非负半轴，终边经过点，则（）.

A．B．C．2D．

14、设不共线，，若三点共线，则实数的值为（）.

A．－2B．－1C．1D．2

15．在平行四边形中，点分别为的中点，连接交于点，若，则（）.

A．B．C．1D．

16．已知定义域为的函数和，对，记．有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数.（）.A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知复数在复平面上对应的点分别为，且在第一象限.

（1）若两点关于虚轴对称，且为纯虚数，求实数的值；

（2）若是关于的方程的两个根，求实数的值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设．

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）在中，若且，求的面积．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若是函数的极小值点，求的取值范围．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点.

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若是双曲线上在第一象限的点，，求的面积；

（3）已知直线过点是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

对于定义域为的函数，以及集合S，若对任意的，都有成立，则称：函数满足＂S关联＂.

（1）若，分别判断函数是否满足＂关联＂，＂关联＂（无需说明理由）；

（2）若定义域为的函数满足＂关联＂，且当时，，解不等式；

（3）已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句：：函数满足＂关联＂，且满足＂关联＂；：函数满足＂关联＂．判断是的什么条件，并证明你的结论.

晋元中学2026-2027学年第一学期高三年级数学月考2026.10一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1．已知集合，则.

【答案】

【详解】由，所以，因此．2．若复数（其中表示虚数单位），则.

【答案】－3

【详解】，所以．

3．若函数与的最小正周期相等，则.

【答案】4

【详解】由题意得，解得.

4．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为.

【答案】

【详解】已知是直线的一个法向量，可设直线的一般式方程为（为常数），将其化为斜截式即，因此直线的斜率，设直线的倾斜角为，其中，由斜率的定义可得，因为，故，因此．

5．已知，且，则.

【答案】

【详解】因为，所以，由同角三角函数的平方关系，代入可得，

6．已知两个单位向量满足，则的夹角为.

【答案】

【详解】两边平方得，设的夹角为，即，

因为为单位向量，所以，解得，

因为，所以．故答案为：

7、如图，矩形中，，点是边的一个四等分点（靠近点），则.

【答案】1

8、已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是.

【答案】

【详解】由题可设，因为函数过点，所以，所以函数，所以函数是定义在上的增函数，

所以若，则，所以实数的取值范围是．故答案为：.

9．在复平面内，复数（i是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为为曲线上的动点，则与之间的最小距离为.

【答案】1

【详解】复数是纯虚数，∴，解得，∴，其对应的点为，为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上，

所以与之间的最小距离.故答案为：1.

10．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为.

【答案】

【详解】由得，

当时，，

则，令，则，

则在区间上总存在唯一确定的，使得，

等价于在上存在唯一解，则，解得，所以的最小值为.

11．10世纪阿拉伯天文学家阿尔•库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星星的高度.如图，设有两个观察者在地球上两地同时观察到一颗流星，仰角分别是和表示当地的地平线）.设，地球的半径，则流星的高度为km（精确到1km）.【答案】195【详解】已知弧长，地球的半径，设圆心角为，则，

仰角是视线与地平线的夹角，而地平线垂直于地球半径，

∴视线与半径的夹角分别为，设为流星的高度，则地心到流星的距离，

在中，①，在中，②，

且③，可以解得代入①可得

12．已知向量满足，且在方向上的投影为的单位向量，则的最大值为.【答案】

【详解】由题意可得在上的投影向量为，即，所以，因为，所以，设与的夹角为，则，

又因为，所以.如图，作出符合题意的图形，

设，则，由已知可得，．连接，则，

又因为，在中，由正弦定理得：，即，所以的外接圆的半径为2，设圆为的外接圆，点为优弧上任意一点，则，取的中点，则，

求的最大值，即求的最大值，

当三点共线时，即点在优弧的中点时，最大，

又因为是边长为2的正三角形，所以，即的最大值为，所以的最大值为：．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.

13、已知角的始边在的非负半轴，终边经过点，则（）.

A．B．C．2D．

【答案】C

【详解】因为角的始边在的非负半轴，终边经过点，则，可得，所以.

14、设不共线，，若三点共线，则实数的值为（）.

A．－2B．－1C．1D．2

【答案】B

【详解】，又∵三点共线，∴共线.设，

∵不共线，∴．

15．在平行四边形中，点分别为的中点，连接交于点，若，则（）.

A．B．C．1D．

【答案】D

【详解】如下图所示：由题意可知，

设，所以，

因为交于点，则，设，因为不共线，由平面向量的基本定理可得，解得，

故，所以，

又因为，所以，故.

16．已知定义域为的函数和，对，记．有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数.（）.A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假

【答案】B

【详解】对于集合而言，越小，不等式越容易被满足，

则意味着集合中元素可取的值就越多，

因此若，则，即，

反之，若，则必有，

对于①，若对于任意的，都有，则必有，

即对于任意的，都有，故严格单调递减，故①正确.

对于②，取，则其值域为，取，

此时对任意的，因此，

即此时所有的均为空集，满足条件.但此时不是周期函数，故②错误.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知复数在复平面上对应的点分别为，且在第一象限.

（1）若两点关于虚轴对称，且为纯虚数，求实数的值；

（2）若是关于的方程的两个根，求实数的值．

【详解】（1）由题意得，

因为两点关于虚轴对称，所以，即，则，

因为为纯虚数，所以，解得或

因为，故舍去，综上．

（2）实数系方程的虚根为共轭复数，则，

由韦达定理得，即，将其代入两根之积得，解得或，因为，故舍去，综上，．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设．

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）在中，若且，求的面积．

【详解】（1）由题意得令．对于，开口向下，对称轴。

由二次函数性质得在对称轴处取最大值；最小值在端点处：

当（即）时：；当（即）时：．

故最小值为4（当时取得）．

（2）由，设，则，得到，

而在内无解.∴或.

若（此时超出三角形内角和，舍去）.由知为等腰三角形，．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若是函数的极小值点，求的取值范围．

【答案】（1）增区间为，减区间为（2）

【详解】（1）的定义域为，

因为，所以在区间上恒成立，

所以当时，单调递增；

当时，单调递减；

所以的增区间为，减区间为.

（2）由（1）可知，当为函数的极大值点，不合题意；

下面分析的情形：

当时，在区间上恒成立，不合题意；

当时，，在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，则为函数的极大值点，不合题意；

当时，，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，为函数的极小值点，符合题意；

综上，，即．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点.

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若是双曲线上在第一象限的点，，求的面积；

（3）已知直线过点是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）对于双曲线，故双曲线的渐近线方程为，即；（2）设，由题意可知，则，

由，得，即，

又在双曲线上，故，则，

结合，得，则，由于，故，

又，故的面积．

（3）设，由知，

若直线斜率不存在，则，此时，不符合题意，舍去；

设直线方程为：，与双曲线联立化简得，显然成立，设交点，由韦达定理：，由得，从而，即，即，

将韦达定理代入化简得（※），

因为，即，由已知在双曲线上，得，

从而得代入（※）式，

得，化简得，即，解得，结合，解得，

则点的坐标为．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

对于定义域为的函数，以及集合S，若对任意的，都有成立，则称：函数满足＂S关联＂.

（1）若，分别判断函数是否满足＂关联＂，＂关联＂（无需说明理由）；

（2）若定义域为的函数满足＂关联＂，且当时，，解不等式；

（3）已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句：：函数满足＂关联＂，且满足＂关联＂；：函数满足＂关联＂．判断是的什么条件，并证明你的结论.【答案】（1）满足＂关联＂，不满足＂关联＂；（2）（3）是的必要条件，证明见解析

【详解】（1）因为若对任意的，

则；

而若，则；所以满足＂关联＂，不满足＂关联＂；（2）∵满足＂关联＂，∴对于任