上海市七校2026-2027学年高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市七校2026-2027学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.异面直线所成角的范围是（）A. B. C. D.2.已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则3.早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（

）条件.

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1和点P，有两个命题：

命题甲：存在m条过点P的直线l,满足l与正方体的每条棱所成角都相等；

命题乙：存在n个过点P的平面α，满足α与正方体的每个面所成锐二面角都相等；

则下列判断正确的是（）A.m＞n B.m=n

C.m＜n D.m、n的大小关系与点P的位置有关二、填空题：本题共12小题，共54分。5.半径为1的球的表面积为

.6.若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为

．7.已知，是两个不同的平面，，，且，则

（用集合符号表示）．8.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AA1＝3cm，AB＝4cm，则点A1到棱BC的距离是

cm

9.已知空间两个角与，若，，，则

.10.水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是

．

11.一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为

．12.已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为

13.斜边长为的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为

．14.已知平面与平面间的距离为3，定点，设集合，则表示的曲线的长度为

．15.已知异面直线，所成角为，为空间一定点，过点且与，所成角都是的直线有且仅有条，则的范围为

．16.防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且四只碗可自行调整摆放且互不重叠，并正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为

．（结果取整数）三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是弧的中点．(1)求该圆柱的表面积和体积；(2)求直线与圆柱底面所成角的正弦值．18.(本小题14分)如图，在直三棱柱中，，，，分别为、的中点．(1)求证：，(2)求二面角的大小．19.(本小题14分)如图所示，点是平面外一点，平面，，点是线段的中点．(1)求证：；(2)问：线段上是否存在定点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．20.(本小题18分)长方体中，，，，分别为棱，上的动点，且，(1)当时，求直线与直线所成角的大小；(2)当，且时，求点到平面的距离，(3)当，时，求从点经此长方体表面到达点的最短距离．21.(本小题18分)如图1，在中，，，是线段上一点，且，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；(1)求的长度；(2)当时，求直线与平面所成角的正切值；(3)当时，在翻折的过程中：求线段长的取值范围．

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】

6.【答案】平行或相交

7.【答案】

8.【答案】5

9.【答案】或

10.【答案】

11.【答案】2

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】20

17.【答案】解：（1）由轴截面为边长为的正方形，得圆柱底面半径，高，母线长，圆柱表面积.圆柱体积.（2）直线与平面所成角为直线与其在平面内射影的夹角，在下底面的射影为，则底面，.上底面内，为直径，为弧中点，故，因上底面，平面，故，则.直线与圆柱底面所成角为，则，又平面平面，所以直线与圆柱底面所成角的正弦值为．

18.【答案】解：(1)因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，AB，平面，所以平面，又平面，所以.（2）因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，可得，而平面的一个法向量为，设二面角为，则，结合图象可知，所以，所以二面角的大小为.

19.【答案】解：(1)∵平面，平面，平面平面，∴，(2)存在，点为的中点.证明如下：如图，在上取点使得，连接.∵点是线段的中点，.∴.∵平面，平面，∴平面.因为，，所以，由（1），所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，∵，平面，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面.

20.【答案】解：（1）在长方体中，以为原点，、、方向分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，因为，，当时，长方体是正方体，，，，，，，所以，所以直线与直线所成角为.（2）当，且时，各点的坐标分别为：、、、，，，设平面的一个法向量为，则：，取，则，所以点到平面的距离为.（3）当，时,，，若将平面旋转到平面，则路径长度的平方为，在处取到最小值为5，若将平面旋转到平面，则路径长度的平方为，在处取到最小值为5，若将平面旋转到平面，则路径长度的平方为，在处取到最小值为9，经过对比，点经此长方体表面到达点的最短距离为.

21.【答案】解：（1），，⊥，故；（2）当时，平面⊥平面，交线为，过点作⊥交的延长线于点，连接，由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影，所以即为直线与平面所成的角，其中平面，故