2026-2027学年高二数学上学期期中考试仿真模拟卷三（北京市人教A版适用 ）

2026-2027学年高二数学上学期期中考试仿真模拟卷三（北京市人教A版适用）范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线x+ay+1=0是圆x2+y2−2y=0A．−1 B．0 C．1 D．22．空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为A．12a−C．12a+3．一束光线从点A(3,1)出发，经x轴反射后经过点B(−1,2)，则入射光线所在直线斜率为（

）A．−14 B．14 C．−4．椭圆x22+y2k=1A．3 B．3 C．1 D．45．已知空间向量a=13，b=5，且a⋅b=−9，则A．−91313b B．913136．下列说法正确的是（

）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．任一个向量p在基底a,b,7．已知直线l1:ax+y−1=0,l2:ax−y+1=0，则“a=1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知平面直角坐标系xOy中，A，B为圆O：x2+y2=4上的两个动点，AB=23，D为弦ABA．5−3 B．4 C．5+39．根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图，F1，F2是椭圆C：x220+y215=1的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，l为椭圆C在点P处的切线，光线F1P经过直线l反射后一定经过另一个焦点F

A．x2+yC．x2+y10．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M是棱BB1的中点，点N是正方形ABCD内部或边界上一点，若点

A．55 B．1055 C．15第二部分（非选择题共110分）填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11．点0,2关于直线y=x+1的对称点为_____.12．过点0,1且与直线x−2y=0垂直的直线方程为___________．13．已知i，j，k为空间两两垂直的单位向量，且a=i+2j−3k14．已知圆C经过A5,2，B−1,2两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程是15．若椭圆x23+y2解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）16．已知△ABC的顶点为A1,2、 B3,4、(1)求AB边所在直线的方程；(2)求AB边上的高线所在直线的方程；(3)求△ABC的面积.17．（13分）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D

(1)求证：AM⊥BD；(2)异面直线AM与BC所成角的余弦值．18．（14分）若点O和点F分别为椭圆x24+y219．（15分）已知圆C经过A−2,−2，B−3,5两点，并且圆心C在直线(1)求圆C的标准方程；(2)求直线l：x−y−5=0被圆C所截得的弦长；(3)已知点N7,−6，以N为圆心的圆N与圆C相切，求圆N20．（15分）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，AB⊥平面PAD，PA=PD，AB=4，O，E分别是AD，PB的中点．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若PA=4，平面PBC与平面PAD的交线为l，设直线CE与直线l交于点F，求线段DF的长度；(3)当直线DP与平面PBC所成角的正弦值为105时，求PA21．（15分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆E的方程；(2)P为椭圆上一点，直线AC与直线PB交于点Q，直线PC与x轴交于点T，设直线PB，QT的斜率分别为k1,k22026-2027学年高二数学上学期期中考试仿真模拟卷三（北京市人教A版适用）范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线x+ay+1=0是圆x2+y2−2y=0A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】先求圆心，根据直线经过圆心可得答案.【详解】圆心坐标为0,1，因为直线x+ay+1=0是圆x2所以直线过圆心，可得a+1=0，即a=−1.故选：A2．空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为A．12a−C．12a+【答案】D【详解】由OM=2MA且OA=OM+MA，得OM=因为N为BC的中点，所以ON=因此MN=3．一束光线从点A(3,1)出发，经x轴反射后经过点B(−1,2)，则入射光线所在直线斜率为（

）A．−14 B．14 C．−【答案】D【分析】求出点B关于x轴的对称点B'，则入射光线所在直线的斜率即直线A【详解】点B−1,2关于x轴的对称点为B'−1,−2，则直线A所以入射光线所在直线的斜率为344．椭圆x22+y2k=1A．3 B．3 C．1 D．4【答案】C【分析】由题意c=1，且焦点在x轴上，再由a,b,c的关系求解即可【详解】椭圆x22+∴焦点在x轴上，且c=1，a2=2,b∴由a2−b2=故选：C．5．已知空间向量a=13，b=5，且a⋅b=−9，则A．−91313b B．91313【答案】D【详解】因为a→⋅b→=−9，|b→|=5，所以6．下列说法正确的是（

）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．任一个向量p在基底a,b,【答案】C【分析】借助空间向量基底定义与性质逐项判断即可得.【详解】对A：任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，故A错误；对B：空间的基底有且无数个，故B错误；对C：两两垂直的三个非零向量不共面，故可构成空间的一个基底，故C正确；对D：由于基底不唯一，故不一定相等，故D错误.故选：C.7．已知直线l1:ax+y−1=0,l2:ax−y+1=0，则“a=1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线垂直的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由l1所以“a=1”是“l1故选：A8．已知平面直角坐标系xOy中，A，B为圆O：x2+y2=4上的两个动点，AB=23，D为弦ABA．5−3 B．4 C．5+3【答案】D【分析】分析可知，点D在以原点为圆心，半径为1，的圆x2+y2=1上运动，利用圆的几何性质可知，当D为直线CO【详解】如下图所示，因为A、B是圆O:x2+y2=4上的两个动点，且满足由垂径定理可知，OD⊥AB，则OD=所以，点D在以原点为圆心，半径为1，的圆x2设D′为直线CO与圆x2+y2则CD≤DO+OC=故选：D．9．根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图，F1，F2是椭圆C：x220+y215=1的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，l为椭圆C在点P处的切线，光线F1P经过直线l反射后一定经过另一个焦点F

A．x2+yC．x2+y【答案】D【分析】结合椭圆的光学性质与椭圆定义可得OH为定值，即可得解.【详解】延长F1P、F2H使其交于点由光线F1P经过直线l反射后为直线PF则点A与F2关于l对称，则PA=P故F1OH为△AF1F即点H在圆x2故选：D.

10．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M是棱BB1的中点，点N是正方形ABCD内部或边界上一点，若点

A．55 B．1055 C．15【答案】B【分析】利用空间向量根据垂直关系确定N的轨迹，再计算最值即可.【详解】

如图所示，建立空间直角坐标系，易知A(2,0,0),M(0,0,1),D设N(x,y,0)(x,y∈[0,2])，则AM=(−2,0,1),因为AM⊥D1N，所以AM可知AN=(−1,y,0),|所以N到直线AM距离为d=AN所以当y=2时，点N到直线AM的距离取得最大值为1055第二部分（非选择题共110分）填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11．点0,2关于直线y=x+1的对称点为_____.【答案】1,1【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果.【详解】设0,2关于直线y=x+1对称点坐标为m,n，则n−2m=−1n+22=故答案为：1,1.12．过点0,1且与直线x−2y=0垂直的直线方程为___________．【答案】y=−2x+1【分析】根据垂直直线的斜率关系设出直线方程，代入点坐标，求解即可.【详解】与直线x−2y=0垂直的直线方程可设为2x+y+b=0，将点(0,1)代入，得：1+b=0，解得：b=−1，所以直线方程为：2x+y−1=0，即y=−2x+1.故答案为：y=−2x+1.13．已知i，j，k为空间两两垂直的单位向量，且a=i+2j−3k【答案】−11【分析】由i,j,k为空间两两垂直的单位向量可知【详解】将a·b按多项式展开，得由数量积的运算律，九个乘积中凡含两个不同基向量的项均为0，只留下同向相乘的三项，即3i把i2=j14．已知圆C经过A5,2，B−1,2两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程是【答案】x−2【分析】利用两点距离公式，即可求解圆心和半径得解，或者利用圆的几何性质，根据弦的垂直平分线经过圆心可得圆心，即可由两点距离求解半径得解.【详解】方法一：圆心在x轴上，设圆心坐标为a,0，半径为r，则r2=a−5所以圆C的标准方程为x−22方法二：弦AB的中点为M2,2，且直线AB平行于x则弦AB的垂直平分线为直线MC:x=2，即圆心C2,0所以半径AC=则圆C的标准方程为x−22故答案为：x−215．若椭圆x23+y2【答案】33或【分析】直接分椭圆的焦点在x轴或y轴上，再结合椭圆的性质及离心率的定义计算可得.【详解】当椭圆x23+此时椭圆满足a2=3,b2=根据椭圆关系c2=a2−所以a=3,c=1​，离心率当椭圆x23+此时椭圆满足a2=m2,由c2=a2−所以a=m=2,c=1，离心率e=c综上，椭圆的离心率为33​​或1解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）16．已知△ABC的顶点为A1,2、 B3,4、(1)求AB边所在直线的方程；(2)求AB边上的高线所在直线的方程；(3)求△ABC的面积.【答案】(1)x−y+1=0(2)x+y−5=0(3)6【分析】（1）先求直线AB的斜率，用点斜式写出直线AB的方程并化简.（2）根据两直线垂直，确定AB边上高的斜率，再根据点斜式写出AB边上的高的方程并化简.（3）利用“割补法”求三角形的面积.【详解】（1）因为kAB所以直线AB的方程为：y−2=x−1即x−y+1=0.（2）因为kAB=1，所以AB边上的高的斜率为：所以边AB上的高所在的直线为：y−0=−x−5即x+y−5=0（3）如图：作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，则E1,0，F所以S△ABC=S梯形AEFB17．（13分）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D

(1)求证：AM⊥BD；(2)异面直线AM与BC所成角的余弦值．【答案】(1)证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，因为AA所以A0,0,0AM=AM⋅所以AM⊥BD；

(2)3【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值．【详解】（1）略（2）AM=设异面直线AM与BC所成角的大小为θ，则cosθ=故异面直线AM与BC所成角的余弦值为3318．（14分）若点O和点F分别为椭圆x24+y2【答案】6【分析】设Px,y，由数量积运算及点P在椭圆上可把OP⋅FP【详解】由题得c=1，则F−1,0设Px,y，则OP又点P在椭圆上，所以x2又−2≤x≤2，所以当x=2时，14(x+2)2+2取得最大值为6，即19．（15分）已知圆C经过A−2,−2，B−3,5两点，并且圆心C在直线(1)求圆C的标准方程；(2)求直线l：x−y−5=0被圆C所截得的弦长；(3)已知点N7,−6，以N为圆心的圆N与圆C相切，求圆N【答案】(1)x−1(2)2(3)x−72+【分析】（1）圆心是AB的中垂线与已知直线的交点，定出圆心后再用两点距离求半径；（2）先算圆心到直线的距离，再由半径、弦心距、半弦长的勾股关系求弦长；（3）先算圆心距，再按外切、内切两类方程分别求圆N的半径．【详解】（1）AB的中点为−52,32故AB的中垂线为y−32=圆心C既在中垂线上，又在2x−y=0上，联立解得C1,2半径r=|CA|=1+2故圆C的标准方程为x−12（2）圆心C1,2到直线x−y−5=0的距离d=由垂径定理得所得弦长为2r（3）|CN|=7−12+−6−22若两圆外切，则10=R+5，R=5；若两圆内切，则10=R−5，得R=15或R=−5故圆N的标准方程为x−72+y+620．（15分）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，AB⊥平面PAD，PA=PD，AB=4，O，E分别是AD，PB的中点．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若PA=4，平面PBC与平面PAD的交线为l，设直线CE与直线l交于点F，求线段DF的长度；(3)当直线DP与平面PBC所成角的正弦值为105时，求PA【答案】(1)因为PA=PD，O是AD的中点，所以PO⊥AD，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PO，因为AD∩AB=A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.(2)4(3)22或【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线面垂直的性质定理，证明线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据线面平行的性质定理，找到直线的位置，进而设出点的坐标，写出直线的方向向量，求出点的位置，求出结果即可；（3）设出几何体的高，根据线面夹角的向量方法，求出直线方向向量和平面的法向量，进而求出参数值，写出结果.【详解】（1）略（2）如图所示，作BC中点G，连接OG，可知PO⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，则以O为坐标原点，分别以OD,OG,OP为x,y,