二次函数存在性问题专题复习(全面典型含答案)

1、中考数学专题复习的存在性问题所谓存在性问题，是判断是否存在满足某一条件的问题，这种问题的知识复盖面广，综合较强，问题意识非常精巧，问题解决方法灵活，对学生分析问题、解决问题的能力要求高，是近年来在各地合格的“热点” 这种问题解法的一般想法是，假设存在推论论证得出结论。 如果能导出合理的结果，就判断为“存在”，通过导出矛盾，就判断为不存在。以下是一些典型的二次函数中出现的存在性问题，说明后，希望考生在今后的考试中遇到这种类型时能顺利地写下流程。一、二次函数中相似三角形的存在性问题如图所示，在平面直角坐标系中，将抛物线向左错开1个单位，再向下错开4个单位，得到抛物线和轴与a、b两点相交(点a是点b

2、的左)，轴与点c相交，顶点是d .(1)写的值(2)判断2)acd的形状，说明理由(3)线段AC上是否存在点m？aom -ABC？ 如果存在，则求出点m的坐标，如果不存在，则说明理由2.(2011临沂13分钟)如图所示，已知抛物线是a (-2，0 )、b (-3，3 )和原点o，顶点是c(1)求抛物线的解析式(2)点d在抛物线上时，点e在抛物线对称轴上，且以a、o、d、e为顶点的四边形为平行四边形，求点d的坐标(3)P是抛物线上的第一象限内的动点，是否存在与将过点p设为PMx轴，将垂线设为m，将p、m、a设为顶点的三角形BOC相似的点p？ 如果存在，求点p的坐标不存在的话，请说明理由二、二次函

3、数中面积的存在性问题3. (2011日照10分钟)如图所示，抛物线和双曲线的点a，b .已知点b的坐标为(-2，-2)，点a在第一象限内，以tanAOX=4.交点a为直线AC轴，抛物线与另一点c相交.(1)求双曲线和抛物线的解析式(2)计算2)ABC的面积(3)抛物线上是否存在点d，使ABD的面积等于ABC的面积。 如果存在的话，请写下点d的坐标。如果不存在的话，请说明理由。4.(2010年深圳，9分钟)如图9所示，抛物线y=ax2 c(a0)通过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中a (-2，0 )，B(-1，-3)。(1)求抛物线的解析式(3点)(2)点m是y轴上任意点，当从

4、点m到a、b两点的距离之和最小时，求出此时的点m的坐标(3)根据第(2)题的结论，抛物线上的点p使SPAD=4SABM成立，求出点p的坐标.(4)自编：在抛物线的BD段上是否存在点q，请把三角形BDQ的面积最大化，如果存在，请求点q的坐标，如果不存在，请说明理由。xyc.c乙级联赛_德. d_甲组联赛o.o图9三、二次函数中直角三角形的存在性问题5.(2011重庆澪南中考，12点)如图所示，在平面直角坐标系中，ABC为直角三角形，873acb=90、AC=BC、OA=1、OC=4，抛物线通过a、b两点，抛物线的顶点为d(1)求出b、c的值(2)点e是直角三角形ABC斜边AB上的移动点(除点a、

5、b以外)，超过点e作为x轴的垂线抛物线与点f相交，线段EF的长度最大时，求出点e的坐标(3)在(2)的条件下求出以点e、b、f、d为顶点的四边形的面积抛物线上是否有p，要形成以EFP为直角边的直角三角形吗？ 如果存在，则求出所有点p的坐标，如果不存在，则说明理由四、二次函数中等腰三角形的存在性问题o.oc.c乙级联赛甲组联赛6.(2011湘潭市中考，10点)如图所示，直线与a点相交，交点与b点相交，通过a、b点的抛物线与另一点c (3，0 )相交。求抛物线的解析式抛物线的对称轴上是否存在点q，ABQ是等腰三角形？ 如果存在，求满足条件的q点坐标不存在时，请说明理由五、二次函数中等腰梯形、直角梯

6、形的存在性问题y甲组联赛乙级联赛c.co.ox7.(2010山东临沂)如图所示，二次函数y=-x2 ax b的图像和x轴为A(-，0 )，b (2，0 )是两点，y轴和点c相交(1)求出该抛物线的解析式，判断ABC的形状(2)在x轴上的抛物线上有点d，并且是a、c、d、b四个以点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写d点的坐标(3)在该抛物线上是否存在点p是a、c、b、p这4点如果顶点四边形是直角梯形还是存在的话，求出p点的坐标而不存在的话，就说明理由。六、二次函数中菱形的存在性问题8.(2012辽宁铁岭)如图所示，抛物线通过原点o和x轴上的点a (4，0 )，抛物线的顶点是e，其对称轴和点d .

7、直线y=6512x，1通过抛物线上的点b (6512x，m )，通过y轴和点c(1)求出m的值及其抛物线对应的解析式(2)P(x，y )是抛物线上的一点，如果SADP=SADC，则求出所有相应点p的坐标(3)点q是平面内的任意点，点m从点f开始沿着对称轴以每秒1单位的长度的速度等速运动，如果能把点m的运动时间设为t秒，以q、a、e、m 4点为顶点的四边形做成菱形的话，如果不能直接写点m的运动时间t的值，请说明理由七、二次函数有关于圆的问题9 .抛物线和x轴与两点a (x1，0，0 )、b (x2，0，0 )相交，其对称轴的x轴与点N(x3 )， 如果与0，0 )相交的a、b两点的距离为6以下，

8、则已知(1)求出m的取值范围(在AB=5的情况下，求出抛物线的解析式，(3)尝试判断是否存在m的值，将过点a和点n用圆和y轴与点(0，1 )相接，或者通过值问题：如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUK是正三角形，点e、f分别在菱形的边BC.CD上滑动，e、f与B.C.D重叠.(1)不论e、f在BC.CD上如何滑动，都证明有BE=CF(2)点e、f在BC.CD上滑动时，研究四边形AECF和CEF的面积是否变化，如果不变化，则求出该值，如果变化，则求出最大(或最小)的值.从(1)直线移动的性质可知，顶点坐标为D(-1，-4)222222喀嚓喀嚓喀嚓

9、喀嚓地(2)由(1)得到当时，我能解开那个了。1另外当时c点坐标是(0，-3)。另外，抛物线的顶点坐标D(-1，-4)是抛物线的对称轴与点e相交，DF轴与点f相交。 易知在RtAED中AD2=22 42=20，在RtAOC中AC2=32 32=18在RtCFD中，CD2=12 12=2、8756； ac2 CD2=ad2。 ACD是直角三角形。(3)存在. OMBC与m相交，m点是求点。根据(2)，AOC为直角等腰三角形，873.bac=450，AC。AOM ABC，得到。 即。如果把m点设为MGAB点g，则AG=MG=PS=PS-PS=3-。 另外，m位于第三象限，所以是M(-，- )。解：

10、 (1)解析抛物线的解析式1222222222航空航空航空653抛物线的解析公式是。(2)ae为边的情况下，a、o、d、e为顶点的四边形为平行四边形，DE=AO=2d在轴下是不可能的，8756； 如果d在轴上DE=2，则为D1 (1，3 )，D2 (-3，3 )。 AO为对角线时，DE和ao被互相二分。点e在对称轴上，线段AO的中点的横轴为-1从对称性可以看出，满足条件的点d只有一个，与点c重叠，即C(1，-1)。满足条件的点d是D1 (1，3 )，D2 (-3，3 )，C(1，-1)三点。(3)存在，图：6512222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653BO2=18，CO2=2，BC2=20，8

11、756； bo2co2=bc2.2喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6假定存在点p并且以p、m、a为顶点的三角形类似于BOC设p (，)的话，从题意来看 0， 0如果是AMPBOC的话。即，以2=3(2)得到：1=，2=2 (舍去) .=的情况下，=，即p (，)。如果pmaboc的话。即，2 2=3(2)获得：1=3、2=-2 (舍去)在=3的情况下，=15，即p (3，15 )。因此，满足条件的点p分别是p (，)或(3，15 )这两点。解：将(1)点B(-2，-2)的坐标代入、=4。双曲线的解析式如下。设a点的坐标为(m，n )。另外，AAAUAUUUUUUUUUUUUR=4，UUUUUUUU

12、UUUUUUUUUUUa点在第一象限，n=1，m=4。 a点的坐标是(1，4 )。如果代入a、b点的坐标，则=1、=3。抛物线的解析公式如下。(2)HHHHHK轴、HHHK点c的纵轴y=4在代入方程式中，解为1=-4，2=1(舍去)。c点的坐标是(-4，4 )，AC=5。另外，ABC的高度为6，ABC的面积=56=15。(3)d点使ABD的面积等于ABC的面积。 理由如下：当CDAB通过点c在另一点d画抛物线时，ABD的面积等于ABC的面积(同底： AB，高度： CD与AB的距离)。对应于直线AB的一次函数是：然后在CDAB上直线CD解析式为代入c点的坐标(-4，4 )即可得到。与直线CD对应

13、的一次函数如下。解方程式。点d的坐标是(3，18 )。4.(1)、点a、b都在抛物线上，所以点a、b的坐标适用于抛物线方程式解之得： 故求(2)如图2所示连接BD，如果y轴与点m相交，则可获得点m。设BD的解析式为BD的解析式是令则、故(3)，如图3所示，连接AM、BC的y轴在点n处，从(2)可以看出，OM=OA=OD=2图3易懂的BN=MN=1，容易求出设置根据题意：即解的得：所以，满足条件的p点有三个回答： (1)已知的： a (-1，0 )，b (4，5 )系列二次函数y=x2 bx c的图像通过点a (-1，0 )，b (4，5 )b=2，c=3；(2)图： 1122222222222

14、22222222226直线AB的解析式为y=x 1二次函数y=x22x，3如果设置点E(t，t 1 )，则F(t，T22t，3 )为2222222222222222222222222226在t=的情况下，EF的最大值为点e的坐标是(，)；(3)图：依次连接点e、b、f、d得到四边形EBFD .求出点f的坐标(，)，点d的坐标是(1，-4)。s四边形ebfd=sbefsdef=(4-)(-1)=；图：I )过点e作为aEF在点p处画出抛物线，并设置点P(m、m22m3 )m 2、2 m、2=解： m1=，m2=，p1(，)、P2(，)，ii )通过点f作为bEF在P3上画出抛物线，并设为P3(n

15、、n22n3 )N2-2n-2=-解： n1=，n2=(与点f重叠，舍去)p3(，)；根据以上内容，所有点p的坐标： P1 (，)、P2 (，)、P3 (，)可以设为以EFP为直角边的直角三角形.6 .解： (1)AMMMAMMK时，=3=0时=-1(-1，0 )、(0，3 )一分(3，0 )。设抛物线的解析式为=a(1)(33=a1(3)a=AR1该抛物线的解析式为=(1) (3 )=-2 32点(2)存在抛物线的对称轴是：=14分钟设图的对称轴与轴的交点为qO=，。2222222222卡卡卡卡(1，0 )六点=的情况下，设坐标为(1，m )2米=1(3米)m=1(1，1 )八点=的情况下，设为(1，n )2 n=1 3n0n=(1，)满足条件的点坐标为(1，0 )、(1，1 )、(1)10点7、答案： 解 (1)根据问题意思，将A(-、0 )、b (2，0 )代入y=-x2 ax b，并对其进行解方程式是a=，b=1， 该抛物线的解析式在y=-x2 x 1、x=0时，y=1点c的坐标是(0，1 )。 在PS中，AC=。在BOC中，BC=。AB=OA OB=2=，ac2bc2=5=ab2，8756； ABC是直角三角形。(2)点d的坐标是(，(1)。(3)存在。 从(1)可以看出，ACBC。y甲组联赛乙级联赛c.co.oxp以jbc为底边，BC/AP如图1所示，可以求出