高中数学课件 圆与方程.ppt

1、阶段复习课第四章,请你根据体系图快速回顾本章内容，把各序号代表的含义填到对应的横线上，并构建出清晰的知识网络.,题型一求圆的方程【典例1】已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程.【解析】方法一：设圆心C(a,b),半径为r,则由中点坐标公式,得C(5,6).再由两点距离公式,得r=|CP1|=.所以所求圆的方程是(x-5)2+(y-6)2=10.,方法二：设P(x,y)是圆上不同于P1,P2的任意一点,因为直径所对的圆周角是直角,所以PP1PP2.(1)当直线PP1和PP2的斜率都存在时,=-1.所以,所以(x-5)2+(y-6)2=10.(2)当PP1,PP2的

2、斜率有一个不存在时,有x=4或x=6,这时点P的坐标是(4,3)或(6,9),它们都满足方程,又P1(4,9),P2(6,3)两点坐标也满足方程,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10.,【典例2】已知点A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),问这四点能否在同一个圆上?试说明理由.,【解析】设经过A,B,C三点的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得所以经过A,B,C三点的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.将点D的坐标代入上述方程,可得等式成立,所以点D在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D四点在同一个圆上,圆的方程为(x-1)2+(y-

3、3)2=5.,【技法点拨】1.圆的方程的两种形式(1)标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中圆心为(a,b),半径为r.(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),其中圆心为半径,2.圆的方程的求法及步骤(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法或几何法.即列出关于a,b,r的方程组,求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r.(2)用待定系数法求圆的方程的一般步骤：设：根据题意,设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2或x2+y2+Dx+Ey+F=0.列：根据已知条件,建立关于a,b,r或D,E,F的方程组.解：解方程组,求出a,b,r或

4、D,E,F的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.,题型二直线与圆的位置关系【典例3】已知直线l：y=2x-2,圆C：x2+y2+2x+4y+1=0,请判断直线l与圆C的位置关系,若相交,则求直线l被圆C所截的线段长.,【解析】圆心C为(-1，-2)，半径r=2.圆心C到直线l的距离所以直线l与圆C相交.设交点为A，B，所以所以|AB|=所以直线l被圆C所截的线段长为,【技法点拨】1.直线与圆的位置关系及判定方法直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切,其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的

5、大小关系来判断).,2.直线与圆的三种位置关系的说明(1)当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r,其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时,圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.,(3)当直线与圆相切时,经常涉及圆的切线.若切线所过点(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则切线方程为x0 x+y0y=r2;若点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.若切线所过点(x0,y0)在圆外,则切线有两条.提醒：解题时若用到直线的斜率,则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.,题

6、型三圆与圆的位置关系【典例4】设集合M=(x,y)|x2+y225,N=(x,y)|(x-a)2+y29,若MN=M,则实数a的取值范围是.【解析】集合N表示的区域是以N(a,0)为圆心,半径为3的圆(称圆N)的内部(包括圆上).集合M表示的区域是以M(0,0)为圆心,半径为5的圆(称圆M)的内部(包括圆上).又因为MN=M,所以NM,即圆N在圆M的内部(包括边界),所以|NM|r1-r2|=2,所以|a|2,所以-2a2.答案：-2,2,【典例5】(2013福州高一检测)已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0.(1)求证：对任意实数a,该圆恒过一定点.(2)若该圆与圆x2+y2

7、=4相切,求a的值.,【解析】(1)将圆的方程整理为(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,令可得所以该圆恒过定点(4,-2).,(2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5a2-20a+20=5(a-2)2,所以圆心为(2a,-a),半径为|a-2|.若两圆外切，则即|a|=2+|a-2|,由此解得若两圆内切，则即由此解得综上所述，两圆相切时，a=或.,【技法点拨】1.圆与圆的五种位置关系、判定方法及常见的圆系方程(1)圆与圆的位置关系有5种,分别是外离,外切,相交,内切和内含.(2)判定方法有：外离时|O1O2|r1+r2,外切时|O1O2|=r1+r2,相交时|r1-

8、r2|O1O2|r1+r2,内切时|O1O2|=|r1-r2|,内含时|O1O2|0)的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0.(2)过圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1).,方法一数形结合思想的应用【典例1】如果实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求：(1)的最大值与最小值.(2)x+y的最大值与最小值.,【解析】(1)设方程(x-3)2+(y-3)2=6所表示的圆C上的任意一点P(x,y).的几何意义就是直线

9、OP的斜率，设则直线OP的方程为y=kx.由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值.因为点C到直线y=kx的距离所以当即k=32时，直线OP与圆相切.所以的最大值与最小值分别是3+与3-.,(2)设x+y=b,则y=-x+b,由图知，当直线与圆C相切时，截距b取最值.而圆心C到直线y=-x+b的距离为因为当即b=6时，直线y=-x+b与圆C相切，所以x+y的最大值与最小值分别为6+与6-.,【技法点拨】1.数形结合思想的本质数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来考查的思想.根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去

10、研究，简而言之，就是“数形互补，取长补短”.,2.利用数形结合思想处理圆与方程问题的策略(1)根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来难于解决的问题转化成易于解决的问题.如求的最值.可将构造成此式的几何意义是点(x,y)与(0，0)连线的斜率.(2)充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量.,方法二分类讨论思想【典例2】已知圆M：(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|=，求直线a的方程.,【解析】(1)当直线a的斜率存在时，设直线a的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.如图，作MCAB于C，

11、在RtMBC中，BC=，MB=2，所以由点到直线的距离公式，得解得所以直线a的方程为3x-4y+6=0.,(2)当直线a的斜率不存在时，其方程为x=2,圆心到此直线的距离也是1，符合题意.综上可知，直线a的方程为3x-4y+6=0或x=2.,【技法点拨】分类讨论思想的实质分类讨论思想是数学的基本思想之一,是历年高考的重点,其实质就是整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时,在求直线的斜率问题时,用斜率表示直线方程时,都要分类讨论.提醒：分类要注意分类标准的确定及分类的准确性.,1.(2012辽宁高考)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线

12、是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0【解析】选C.圆x2+y2-2x-4y+1=0的圆心坐标为(1,2),验证得C.,2.(2013长沙高一检测)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为则实数a的值为()A.-1或B.1或3C.-2或6D.0或4【解析】选D.由解得a=4或a=0.,3.设直线l过点(-2，0)，且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是()【解析】选C.设直线l的方程为y=k(x+2),由题意得所以.,4.两圆相交于点A(1，3)，B(m,-1)，两圆的圆心均在直线x-y+c=0上，则m+c的值为_.【解析】直线AB与x-y+c=0垂直，所以=-1,所以4=m-1,所以m=5，所以AB的中点为(3，1)，且在直线x-y+c=0上，所以3-1+c=0,所以c=-2,故m+c=5-2=3.答案：3,5.若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是_.,【解析】曲线可变形为x2+y2=1(x0)，它表示圆心