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1、4.欧氏环3.1定义及例3.2主要结论3.3两个重要唯一分解环3.4小结,3.1定义,在整数环和数域上一元多项式环中,带余除法起着重要的作用,这个定理在一般的整环中并不成立,例如:二元多项式环.因此,需要定义可以做“带余除法”的环.,定义一个整环R叫做一个欧氏环，假如（）存在一个映射(非零元所作成的集合)（）给定了的一个不等于零的元a，的任何元b都可以写成的形式，这里:或是,例1整数环是一个欧氏。因为：是一个适合条件（）的映射。给了整数，任何整数b是可以写成的形式，这里。,3.2主要结论,定理1任何欧氏R一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。,证明我们看R的任一个理想A,我们需要证明A
2、是一个主理想。如果A=0,它是一个主理想(0)如果包含不等于零的元。由欧氏环的定义，存在一个映射，在这个映射之下A的每一个不等于零的元有一个象，那么是N的非空子集,中一定有一个最小的(?)，因此我们可以找到A的一个不等于零的元a，使得对于A的任何不等于零的元来说，都有,再一次欧氏环的定义，A的每一个元b都可以写成的形式，这里因为a和b都属于A，也属于A。若是，那么有一个不等于零的元r，适合条件与a的取法矛盾。这样，,3.3两个重要唯一分解环,由于上面的例同这个定理我们立刻有：,定理2整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。,另一中常见的欧氏环就是一个域上的多项式环。我们先证明一个引理。,引理假定是整环R上的一元多项式环，的元的最高系数是R的一个单位。那么的任意多项式都可以写成的形式，这里或是或是的次数小于的次数n。,定理3一个域上的一元多项式环是一个欧氏环。,证明利用多项式的次数我们显然可以规定一个合于条件的映射，就是域的每一个不等于零的元都是一个单位，所以由引理，每一个都可以写成的
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