第五章-应用统计学

1、第五章大数定律及中心极限定理,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量的随机现象.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,定理1切比雪夫大数定律的特殊情况,设X1,X2,是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即E(Xi)=，D(Xi)=2，i=1,2,则对任意的0，有,切比雪夫(1821-1894),证明：,切比雪夫大数定律表明，当n充分大时，,与偏差很小的概率接近于1.,当n很

2、大时，X1,Xn的算术平均值在概率意义下接近于它们公共的均值,注1：,有,设Y1,Y2,Yn是随机变量序列，a是一个常数。若对任意的0，有,则称序列Y1,Y2,Yn以概率收敛于常数a记为,以概率收敛于有以下性质,若,又g(x,y)设在点(a,b)连续，则,定理1,设X1,X2,是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即E(Xi)=，D(Xi)=2，i=1,2,以概率收敛于，即,则序列,即：具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,定理2（辛钦大数定律）,设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，i=1,2,则对任给0,辛钦(18

3、94-1959),辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,当n足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,可以用算术平均值近似地代替数学期望.,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是一次试验中事件A发生的概率，则对任给的0，,定理3（贝努里大数定律）,或,(1654-1705),设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是一次试验中事件A发生的概率,则有,且,由辛钦大数定律，有,设,证明,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,贝努里大数定律为小概

4、率原理（或实际推断原理）提供了理论依据,小概率原理是：小概率事件在一次试验中，它是几乎不能发生的,例1：设X1,X2,独立同分布，且Xi的k阶矩mk=E(Xik)存在，则有,证明：令,则有,Y1,Y2,独立同分布,且,所以由辛钦大数定律,也即,中心极限定理的客观背景,在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的.而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。,该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.他指出测量误差服从正态分布,这种随机变量往往近似地服从正态分布。,高斯1777-1855,例如：考虑炮弹的射击误差。设靶心为坐标原点，弹着点的坐标为(X,Y)，

5、X,Y分别表示弹着点与靶心的横向和纵向误差。我们来看造成误差的原因是什么？,炮身在每次射击后，因震动而造成的微小偏差,每发炮弹内炸药的数量和质量上的微小差异而引起的误差,每发炮弹外形上的细小差别引起空气阻力不同，由此出现的误差,炮弹在前进时遇到的空气气流的微小扰动而造成的误差,而误差X（或Y）是这许多彼此间相互独立的随机小误差的总和，即,等等许多原因，每种原因引起一个微小的误差，有的为正，有的为负，都是随机的,一般认为它服从正态分布。,以下我们从数学上来研究这种随机变量之和的分布,考虑,取值的概率.,可以证明，满足一定的条件时，上述和的分布函数的极限是标准正态分布.,在概率论中，习惯于把和的分

6、布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,我们只讨论几种简单情形.,下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（LevyLindberg）中心极限定理.,定理1（独立同分布的中心极限定理）,设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=0，i=1,2,，则,当n较大时,近似服从正态分布N(0,1),另外，利用该定理，当n较大时,近似服从正态分布N(n,n2),特别地,近似服从正态分布N(,2/n),这表明，当n较大时，可以用正态分布N(,2/n)近似计算与n个相互独立、同分布随机变量的算术平均值,有关事件的概率,定理2李雅普诺夫(Liapu

7、nov)定理,设随机变量序列,相互,独立，且有有限的期望和方差：,记,若,则对于任意实数x,定理3(棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明，当n较大，0p1时，可以用正态分布N(np,np(1-p)近似二项分布.常有下面的近似计算。,即对任意的ab,例2设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例与1/6比较上下不超过1%的概率.,解设X表示6000粒种子中的良种数,则,XB(6000,1/6),比较几个近似计算的结果,用中心极限定理,用二项分布(精确结果),用Poisson分布,用Chebyshev不等式

8、,例3.(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.,问应供应多少千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?,用X表示在某时刻工作着的车床数,解：对每台车床的观察作为一次试验，,每次试验观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率为0.6，共进行200次试验.,依题意，,XB(200,0.6),现在的问题是：,求满足,设最多供应N台车床工作，,由德莫佛-拉普拉斯极限定理,近似N(0,1),于是P(XN)=P(0XN),这里np=120,np(1-p)=

9、48,由3准则，此项为0。,查正态分布函数表得,由0.999，,从中解得N141.5,即所求N=142.,也就是说,应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产,例4对敌人的防御工事用炮火进行100次轰击,设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.如果各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.,解设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数,相互独立，,设X表示100次轰击命中的炮弹数,则,(1),(2),例5.假如在市场调查中独立获得10000个由四舍五入获得的用5位小数表示的近似数。设用一个5位小数x*近似表示一个实数时，其误差可看作是区间（0.000005，0.000005)上的均匀分布。求这10000个近似数和的误差的分布。,解：,设Xi表示第i个数近似时产生的误差,则：XiU(-0.000005,0.000005),EXi=0,DXi=10-10/12,故满足独立同分布情形下的中心极限定理,所以,中心极限定理的意义,在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合