二次函数知识点汇总资料#仅供借鉴

1、二次函数知识点(第一话)一、二次函数的概念：1 .二次函数的概念：一般而言，形状为(常数)的函数被称为二次函数。 这里需要强调的是，与一次二次方程式类似，二次项系数可以是零。 二次函数的定义域是整体实数2 .二次函数的结构特征：等号左边是函数，右边是与自变量相关的二次式，的最高次数是2 .常数、二次项系数、一次项系数、常数项。二、二次函数的基本形式1 .二次函数的基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质往上走轴时，随着增大而增大时，随着增大而减小时，有最小值往下看轴时，随着增大而减少时，随着增大而增大时，有最大值2 .的性质：(正负)的符号开口方向顶

2、点坐标对称轴性质往上走轴时，随着增大而增大时，随着增大而减小时，有最小值往下看轴时，随着增大而减少时，随着增大而增大时，有最大值3 .的性质：(左正负)的符号开口方向顶点坐标对称轴性质往上走X=h时，随着增大而增大时，随着增大而减小时，有最小值往下看X=h时，随着增大而减少时，随着增大而增大时，有最大值4 .的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质往上走X=h有时，随着增大而增大时，随着增大而减小时，有最小值朝下。X=h时，随着增大而减少时，随着增大而增大时，有最大值三、二次函数图像的移位1 .画面移动步骤：方法1:将抛物线解析式转换为顶点点式，确定其顶点坐标在不改变抛物线形状的情况下，使其顶

3、点到处直线移动，具体的直线移动方法如下2 .平移规则根据原来的函数总结为“值向右移动，负向左移动的值为正上，负下移动”这8个单词。方法2 :沿着轴向上(下)移动：时(或)沿轴直线移动：将单位向左(右)直线移动，成为(或)四、与二次函数的比较从解析式来看，是两种不同的表现形式，后者根据处方能够得到前者，即，在其中的形式.五、二次函数图像的画法五点画法：用二次函数作为顶点点，决定其开口方向、对称轴及顶点坐标，在对称轴的两侧左右对称地画点。 一般选择的五点是顶点、与轴的交点、关于对称轴的点、与轴的交点(若没有与轴的交点，则取两组关于对称轴的点)。在画草图时，应该抓住开口方向、对称轴、顶点、与轴的交点

4、、与轴的交点六、二次函数的性质1 .当时抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为那时，随着增大而减少的时候，随着增大而增大的时候，有最小值2 .那时抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标，那时随着变大而变大，当时随着增大而减少，当时有最大值七、二次函数解析式的表现方法1 .通式：(，是常数)2 .顶点：(，是常数)3 .二本式：(、是抛物线与轴交点的横轴)。注意：任意二次函数的解析式可以为通式或顶点式，但并非所有二次函数都能写出交点式，只有抛物线和轴有交点，才能立即用交点式表示抛物线的解析式。 二次函数解析式的这三种形式可以相互化。八、二次函数图像与各系数的关系1 .二次项系数在二次函数中，作为二次项系数

5、很明显当时抛物线的开口向上，值越大，开口越小，相反的值越小，开口越大当时抛物线的开口向下，值越小，开口越小，相反的值越大，开口越大总结起来，决定抛物线开口的大小和方向，正负决定开口方向，大小决定开口的大小2 .一次项系数以二次项系数的确定为前提，确定了抛物线的对称轴在前提下当时，抛物线的对称轴在轴的左侧当时，抛物线的对称轴是轴当时，抛物线对称轴在轴的右侧在前提下，结论正好与上述相反当时，抛物线的对称轴在轴的右侧当时，抛物线的对称轴是轴当时，抛物线对称轴在轴的左侧总而言之，在确定的前提下，确定了抛物线对称轴的位置符号的判定：对称轴为轴的左侧，轴的右侧，概括的话为“左右异”总结：3 .常数项当时，

6、抛物线和轴的交点在轴上，抛物线和轴的交点的纵轴为正当时抛物线和轴的交点是坐标原点，也就是抛物线和轴的交点的纵轴是当时，抛物线和轴的交点在轴之下，也就是抛物线和轴的交点的纵轴为负。总结，确定了抛物线和轴的交点的位置也就是说，如果全部确定的话，这条抛物线是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用未定系数法。 用未定系数法求出二次函数的解析式，必须根据问题的特征选择适当的形式。 一般来说，有以下情况1 .知道抛物线上三点的坐标，一般选择通式2 .抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值是已知的，一般选择顶点3 .知道抛物线和轴两个交点的横轴，一般选择两个公式4 .已知抛物

7、线上的纵轴相同的两点总是选择顶点九、二次函数图像的对称性二次函数图像的对称性通常有5个，能够用通式或顶点式来表现1 .关于轴对称关于轴对称，得到的解析公式是关于轴对称，得到的解析公式是2 .关于轴对称关于轴对称，得到的解析公式是关于轴对称，得到的解析公式是3 .关于原点对称关于原点对称后，得到的解析公式为关于原点对称后，得到的解析公式为4 .关于顶点对称(即抛物线以顶点为中心旋转180度)关于顶点对称，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是5 .关于点对称关于点对称得到的解析式是很明显，根据对称性质，无论进行什么样的对称变换，抛物线的形状都不会变化，所以永远不变。 求抛物线对称抛物线的公

8、式时，可以根据问题意或容易运算的原则，选择合适的形式，习惯上先确定原抛物线(或公式已知的抛物线)的顶点坐标和开口方向，然后确定对称抛物线的顶点坐标和开口方向，再写对称抛物线的公式。十、二次函数和一次二次方程式：1 .二次函数和一次二次方程式的关系(二次函数和轴的交点的情况):一次二次方程式是二次函数为函数值时的特殊情况图像和轴的交点数：当时，图像和轴相交于两点，其中有一维二次方程式两条。 这两点之间的距离当时图像和轴只有一个交点当时，图像和轴没有交点当时，图像落在轴上，是任何实数。当时，图像落在轴下，什么实数都有2 .抛物线图像与轴必须相交，交点坐标为：3 .二次函数中常用的解题方法总结：为了

9、求出二次函数的图像和轴的交点坐标，需要变换成一次二次方程式为了求出二次函数的最大(小)值，有必要利用分配方法将二次函数从通式转换为顶点式要根据图像的位置来判断二次函数中、的符号，或根据二次函数中、的符号来判断图像的位置，可进行数学形式结合利用二次函数的图像关于对称轴对称的性质，可以将已知的点对称的点坐标相加，或者将与轴的一个交点坐标设为已知，从对称性求出另一个交点坐标.抛物线和轴有两个交点二次三项式的值为正、零、负一次二次方程式有两个不同的实根抛物线和轴只有一个交点二次三项式的值为非负一次二次方程式有两个相等的实数根抛物线和轴没有交点二次三项式的值总是正的一次二次方程式没有实数根有与二次函数相

10、关的二次三项式，是包含二次三项式本身的字母二次函数以下，以时间为例，明确二次函数、二次三项式和一次方程式之间的内在关系二次函数调查的重点和常见问题类型1 .考虑到二次函数的定义、性质，相关问题经常出现在选择问题上知道被认为是自变量的二次函数的图像通过原点时的值是2 .正比，反比，一次函数，二次函数的图像综合检查，问题的特征是在同一直角坐标系中检查两个函数的图像，问题类型是选择问题如该图所示，在函数的图像处于第1、第2、第3象限时，函数的图像大致为()y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xPS3、考察了使用保留系数法求二次函数的解析式，练习题的出现频率很高，练习题类型有中级

11、解答问题和选拔性的综合问题已知抛物线通过(0，3 )、(4，6 )两点，对称轴求出该抛物线的解析式。4 .使用交配方法求出抛物线顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，问题是解答问题已知抛物线(a0 )和x轴的两个交点的横轴为-1、3，与y轴的交点的纵轴为-。(1)确定抛物线的解析式(2)用分配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5 .调查代数和几何学的综合能力，常见的是特别的主题。【例题古典】根据抛物线的位置确定系数的符号参照图1示出示例1 (1)中的二次函数的图像，点在()处a .第一象限b .第二象限c .第三象限d .第四象限(2)已知二次函数y=ax2 bx c(a0 )的图像，如图

12、2所示，a、b在相同编号x=1和x=3时，函数值相等，4a b=0； y=-2时，x的值只能取0 . 正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个(1) (2)。明确抛物线的位置与系数a、b、c的关系是解决问题的关键已知二次函数y=ax2 bx c的图像与x轴在点(-2，o )、(x1，0 )处相交，并且1O； 4a cO，其中正确结论的数量是()A 1个B. 2个C. 3个D.4个回答： d用未定系数法求二次函数解析式可以看出，关于x的一次二次方程式ax2 bx c=3的根是x=-2，二次函数y=ax2 bx c的对称轴是直线x=2，抛物线的顶点坐标是()A(2，-3) b.(2，1 )

13、 c (2，3 ) d.(3，2 )回答： c如图(单位： m )所示，等腰三角形ABC沿着直线l以2米/秒的速度移动，直到AB与CD重叠为止.(1)写y和x的关系式(2)x=2、3.5时，y分别是多少？(3)重叠部分的面积为正方形面积的一半的情况三角形移动了多少？求抛物线的顶点坐标，对称轴例5、抛物线y=x2 x-。(1)用分配方法求出其顶点坐标和对称轴(2)设该抛物线和x轴的两个交点为a、b，则求出线段AB的长度.本问题(1)是对二次函数的“基本方法”的考察，第(2)主要考察二次函数和一次方程式的关系已知二次函数y=ax2-(B1 ) x-3a的图像通过点p (4，10 )，交叉x轴为2点

14、，交叉y轴为负的半轴为c点，且满足3AO=OB .(1)求二次函数的解析式(2)二次函数的图像上存在点m，设为锐角MCOACO吗？ 如果存在的话，请求出m点横轴的值的范围。如果不存在的话，请说明理由。(1)解：图-抛物线交叉x轴在点a (x 1，0 )，B(x2，o )处x1x2=30，另外x1o、x1ACO例7 已知函数图像通过点A(c，-2)是二次函数图像的对称轴是x=3。 “主题中的矩形框部分是被墨水污染而无法辨认的文字。(1)基于已知和结论中存在的信息，可以求出出题中的二次函数解析式吗？ 如果可能的话，请写求解过程，如果不能画出二次函数图像的话，请说明理由。(2)根据现有的信息，在原题中的矩形框内加入适当的条件，完全补充。点评：对于第(1)个小问题，从已知和结论中的已有信息