数值分析课件.ppt

1、数值分析、数学学院、教材数值分析李庆扬、王能超、易大义(华中科技大学出版社、第四版)数值分析孙志忠、袁慰平(东南大学出版社、第二版)数值近似蒋尔雄、赵风光、苏背峰(复旦大学出版社、第二版)数值分析精品课程网站：第一章绪论、第一、数值分析能做什么？(应用问题的例子)，1Introduction，1，2千年前的例子，现在是上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉、实三十九斗的上禾二秉、中禾三秉、下禾一秉、实三十四斗上禾一秉、中禾二秉、下禾三秉，实际上26斗。 上、中、下禾实一秉问各几何？ 答案是“上禾一秉九斗四分斗之一”。 中草一秉四斗四分斗之一。 下草一秉二斗四分斗之三。 - 九章算术，这是线性方程式解决问

2、题。 2、测量了某海洋不同深度的水温：深度(m)46674195021634根据水温(oC)7.044.283.402.542.13这些数据，在其他深度(例如500米、600米、1000米) 人口预测，接下来显示中国1900年到2000年的人口数，我们的目标是预测未来的人口数(数据量大的情况下)，这是曲线拟合问题，4，是铝制的波瓦的长度问题，建筑使用的铝制的波瓦用机器平坦的铝如果要求波瓦的长度为4英尺，则以波纹的高度(距中心线)为1英寸，波纹约为2英寸为周期.求出制作波纹所需的铝板的长度l. 由微积分学可知，求得的弧长可以表示为：上述积分叫做第二种椭圆积分，用普通的方法不能计算. 这是一个数值

3、积问题，二、三诺贝尔奖获得者、计算物理学家Wilson提出了现代科学研究的三大支柱： 21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”、“数学无处不在”，21世纪信息社会对科技人才的要求：- 计算成为第三种科学方法，建立数学模型，选择计算方法数值计算方法是计算数学的主要组成部分，它主要使用计算机研究各种科学和工程计算问题的数值方法(近似方法)。 评价求出的解的精度，在计算机上实现求解。 数值计算方法已经成为计算机处理实际问题的重要手段，从宏观天体运动中学习微观分子细胞学，从工程系统到社会经济系统，离不开数值计算方法。 因此，数值计算和计算机模拟被称为“第三研究科学方法”。 传统数值分析的主要

4、研究内容：1，数值近似：插值，函数近似和计算，拟合，FFT，数值积分和微分2，数值代数：方程求根，线性代数方程的解法，非线性代数方程的解法，特征值和特征向量3，微分方程的数值解： ODE，PDE和有限元法4， 优化方法：无约束优化和约束优化方法，现代计算方法：融合了机器学习计算、仿生学计算、网络计算、以数据为中心的计算和各种通用计算、非线性科学计算等内容。 数值分析的主要特征：通过计算机提供实用的数学算法，通过数值实验证明算法的有效性，如何掌握数值分析？ 三、算法、描述算法有不同的方法。 例如，可以用日常语言或数学语言记述，用形式语言(算法语言)进行正确的说明，也可以用框图视觉地显示算法的整体

5、情况。 定义：由基本的运算和运算顺序的规定构成的完整的解题顺序称为算法。例：解二项一次联立方程式，用行列式解法：首先判别，如果(1)的话让计算机计算，输出计算结果x1、x2。 如果(2)d=0，则没有解或有无限解。 是否为零，有两种可能：通过命令、求解过程，算法的步骤如下： S2计算，S3，如果原方程式没有解或输出有无限解的信息，S1输入，S4输出计算的结果，四，算法的优劣的判别，计算量的大小，存储量， (n-1)(n 1)次的乘法运算。 n=20需要运算几次？ n=100？ 另一方面，误差的来源和分类从实际问题中抽象化了数学模型的模型误差，例如：质量m的物体在重力作用下自由落下，其落下距离s

6、和时间t的关系是：其中g是重力加速度。 此外，第二误差源和误差分析的重要性在于，模型中的参数值通过测量观测误差，并获得近似解的方法误差(截止误差)。 例如，如果用Taylor多项式近似函数，则数值方法的截止误差是(在和0之间)。 四舍五入后在数值计算方法中，主要研究舍入误差和舍入误差(包括初始数据的误差)对计算结果的影响，在计算机、计算机和笔算中，只能用有限位小数代替无限小数，或者用位数少的小数代替位数多的有限小数。 例如，机器语言长度的有限的尾数误差，二，误差分析的重要性，在数值计算中不注意误差分析，可以通过不同的正确的方法产生不同的结果，并且还存在可执行所确定的结果的方法。 数值计算在设计

7、算法时首先感兴趣的是它产生的计算结果的稳定性，算法的稳定性与舍入误差的增加密切相关。 算法输入数据中存在微小的干扰(误差)，计算过程中舍入误差不增加时，该算法的数值是稳定的，除此之外的情况下数值是不稳定的。 求定积分、的值。 解：直接积分可以建立递归式，取初始值就可以得到递归式，可以根据式逐次计算，请注意这个式子正确成立！ 不稳定的算法！ 这就是误差传播带来的危害！ 蝴蝶效应拍纽约蝴蝶的翅膀，风和日丽的北京发生台风了吗？ 啊！ 这是一个病态的问题，从问题设定中的递归式(1)可以看出，误差扩大，成为5倍后会传递，因此初始值的误差相对于今后的各步骤，计算结果有很大的失真。 计算结果的影响随着增大而

8、变得越来越严重。 怎样才能解决这个问题呢？ 可以求出I90.017，可以通过改写式依次求出I9I10，因此，I 80.019 I 70.021 I 60.024 I 80.028 I 40.034 I 30.043 I 20.058 I 10.088 I 00.182，是稳定的注意，递归公式(1)的舍入误差以5的幂次增加来传播，因此数值不稳定，但是递归公式(2)的舍入误差在一定范围内以0.2的幂次传播，误差随着n的增大而减少，因此该算法的数值稳定。 因此，可知数值不稳定的算法不能使用，在实际计算中，对于任何输入数据，数值都稳定的算法被称为无条件稳定。 据说某数据的数值稳定，其他数据的数值不稳定

9、的算法，条件稳定。 另一方面，用绝对误差和绝对误差限制，例如：厘米为最小刻度的尺测量桌子长度，约1.45米，求1.45米的绝对误差。 1.45米的绝对误差=？ 不知道！ 是近似值的绝对误差，简称误差。 定义1是正确的值，是的近似值，是3误差的基本概念，但可以推定实际问题不超过某个正数，即绝对误差界限。 如果有绝对误差的界限，知道的范围就包含在其中。在应用上，以下写法经常采用划线的精度。近似值的相对误差、符号、通常为准确值、近似值、一般不知道，怎么办？ 因此，满足正数的相对误差限制。 二、相对误差和相对误差的限制。 其中，是从1到9的数字，是从0到9的数字。当整数，并且是具有近似值误差的比特的一

10、半单位时，从该比特开始的第一比特中除零以外的数字共享比特，有有效的数字。 也就是说，如果三、有效数字取近似值，则有三位有效数字；如果取近似值，则有五位有效数字。 例如，注：(1)例1.2，1.3。 (2)若近似数从真值四舍五入，则必定为有效数。 (3)有效位数越是1位，表示有效位数越多绝对误差越小。 的双曲正切值。 相对于定理1式所示的近似数，如果有有效位数，则其相对误差受以下限制，相反，相对误差被证明如下：如果有有效位数，则为：例1.4 :例如：表示有效位数具有3位近似值的近似值，其相对误差受以下限制四、数值运算的误差估计，是线性函数，近似值，可以用Taylor展开误差限制，1、假定与函数值

11、的误差(自变量有误差的情况下)的比不太大，因为是可忽略的高阶项，所以可计算函数的误差限制对于近似值，函数值的误差由Taylor展开，其中误差限制为(1.3.1)和(1.3.2)，示例1.5:中测得的站点长度的值为广值已知的，并且获得面积的绝对误差限制和相对误差限制。 其中，绝对误差是相对误差是2，四则运算的误差估计，和分别是正确值和的近似值。 (1)加法：如果是指令，则为(2)减法：如果是指令，则为(3)乘法：如果是指令，则为了避免(4)除法：如果是指令，则为了避免1.2个接近数的减法，在数值计算中，在减去2个接近数时会丢失有效数。 y的正确值为0.015880，4数值运算中的误差分析的方法与

12、原则(误差的控制)相似，(2)将原式改写为，y=0.01581，(1)直接减法，有3位有效数字，有效数字只有1位，不要把绝对值过小的数作为分母例如，如果分母只有0.0011，即分母只有0.0001的变化，结果会有这么大的差异！ 3 .不吃小数，准确的说算法1 :利用求根式，例如：单精度计算出的根。 另外，在计算机内，109存在0.1101，1存在0.1101。 相加时，两相加的指数首先与大指数对齐，然后再相加浮点部分。 即，1的指数部分必须为1010:1=0. 00000000011010，取单精度的话，109=0. 100000001010.00000001010=0. 1000000001010，算法2 :先解/从小到大，按从大到小的顺序计算，12340109，4 .简化计算顺序，避免误差的积累。 通常，计算机处理下一个运算的速度是：多项式评价：给定x求出下一个n次多项式的值。 解：1.使用一般的算法，即直接加法，每2 .项的加法，3 .秦九韶方法(即Hornor算法)，x2，x3，xn进行线性组合，需要2n-1次乘法和n次加法。 解法1 :直接加法，解法2 :按项加法，依次计算各项的值并加法，进行n(n 1)/2次乘法和n次加法。 解法3 :秦九韶算法(Horner算法)只要n次乘法和n次加法即可。 可以递归地实现。 约翰冯诺伊曼(Johnvo