天津市和平区2017~2018学年度第二学期高三年级第一次质量调查文科数学学科试卷

1、和平区20172018学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学（文）学科试卷密 封 线学校_ 班级_ 姓名_ 考号_ 温馨提示：本试卷分为第卷（选择题）、第卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！第卷 选择题（共40分）注意事项：1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么P(AB) = P(A) + P(B).

2、 P(AB) = P(A)P(B).柱体的体积公式V = Sh.锥体的体积公式. 其中S表示柱体的底面积 其中S表示锥体的底面积 h表示柱体的高. h表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A = 1, 2, 3, 4, 5，B = x2 x 0，b 0）的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为A. B. C. D. 7.如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ADDC，AD = DC = 2AB，E为AD的中点，若，则 + 的值为A. B. C. 2D. 8.若曲线 与直线y = kx

3、- 1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是A. B. C. D. 第卷 非选择题（共110分）注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效.2. 共卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9.设i是虚数单位，a为实数，若复数是纯虚数，则a = _.10.直线x - y = 1被圆x2 + y2 - 2x + 4y - 3 = 0截得的弦长为_.11.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为_cm3.12.已知定义域为(-1, 1)的奇函数y = f (x)又是减函数，且f (a - 1) +

4、 f (3 - a2) 0，b 0，a + b = m，其中m为常数，则的最小值为_.14.已知函数f (x)在R上满足f (-x) = f (x)，且当x0, +)时，函数，则函数h(x) = f (x) - g(x)在R上的零点个数为_.三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C为三个内角，已知A = 45，.（）求sin C的值；（）若BC = 10，D为AB的中点，求CD的长及ABC的面积.16.（本小题满分13分）某校从参加区高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成6段

5、80, 90)，90, 100)，130, 140)后得到相应的频率分布直方图（如右图），观察图形的信息，回答下列问题：（）求分数在100, 110)内的人数；（）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点作为代表，据此估计本次考试的平均分；（）用分层抽样的方法在分数段为80, 100)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段90, 100)内的概率.17.（本小题满分13分）如图，在三棱锥P - ABC中，PB平面ABC，ACBC，PB = 2，.D为PB的中点，E为AD的中点，点F在线段PC上，且PF = 3FC.（）求证：ACCD；（）求证：

6、EF平面ABC；（）若，求二面角C - AD - B的度数.18.（本小题满分13分）已知数列an的各项均为正数，其前n项和Sn满足（nN*），数列bn是公差为正数的等差数列，且b2 = 5，b1、b3、b11成等比数列.（）求数列an，bn的通项公式；（）设，求数列cn的前n项和Tn.19.（本小题满分14分）已知函数f (x) = ln x - ax，x(0, e，其中e为自然对数的底数.（）若x = 1为f (x)的极值点，求f (x)的单调区间和最大值；（）是否存在实数a，使得f (x)的最大值为-3?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（）设，x(0, e，在（）的条件下，求证：

7、.20.（本小题满分14分）已知椭圆C：（a b 0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（）求椭圆C的方程；（）若A、B为椭圆C上关于x轴对称的任意两点，P点坐标为(4, 0)，连接PB交椭圆C于另一点D，求证：直线AD恒过x轴上的定点；（）在（）的条件下，设x轴上的定点为M，若AB过椭圆C的左焦点，求ABM的面积.高三年级数学（文）试卷 第1页（共4页）高三年级数学（文）试卷 第2页（共4页）和平区20172018学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学（文）学科试卷密 封 线和平区20172018学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学（文）学科试卷参考答案一.

8、 选择题：每小题5分，满分40分.1. B2. A3. B4. C5. A6. C7. B8. D二. 填空题：每小题5分，满分30分.9. -310. 11. 12. 13. 14. 7三. 解答题15.（本小题满分13分）解 （），且B(0, 180)，2分sin C = sin (180 - A - B) = sin (A + B)= sin Acos B + cos Asin B 3分5分（）在ABC中，由正弦定理，得，即. 6分.7分在BCD中，由余弦定理，得8分CD2 = BD2 + BC2 - 2BDBCcos B = 49 + 100 - 2 7 10 = 37 10分. 11

9、分ABC的面积. 13分16.（本小题满分13分）解 （）根据频率分布直方图知，分数在100, 110)内的频率为0.025 10 = 0.25，所求的人数为60 0.25 = 15；3分（）用同一组数据区间的中点值作为代表，计算本次考试的平均分为 6分（）用分层抽样方法在分数段为80, 100)的学生中抽取一个容量为6的样本，则80, 90)应抽取人，记为A、B， 8分90, 100)应抽取4人，记为c、d、e、f， 9分从这6个人中任取2个，10分基本事件为A, B，A, c，A, d，A, e，A, f，B, c，B, d，B, e，B, f，c, d，c, e，c, f，d, e，d,

10、 f，e, f共15种； 11分至多有1人在分数段90, 100)内的基本事件是A, B，A, c，A, d，A, e，A, f，B, c，B, d，B, e，B, f共9种；12分故所求概率为. 13分17.（本小题满分13分）解 （）PB平面ABC，AC平面ABC PBAC1分又ACBC，BC PB = B AC平面PBC2分CD平面PBC ACCD3分（）取AB中点M，在线段BC上取点N使BN = 3NCEM是ABD中位线EMPB，4分CFNCPBFNPB，5分四边形EMNF是平行四边形 EFMN6分EF平面ABC，MN平面ABCEF平面ABC 7分（）过C作CHAB，过H作HKAD，P

11、B平面ABC，PB平面PAB平面PAB平面ABCAB =平面PAB 平面ABCCH平面PAB8分AD平面PAB ADCH又HKAD，CH HK = HAD平面CHKCK平面CHK CKAD10分CKH即二面角C - AD - B的平面角11分，12分所以，二面角C - AD - B的度数为60.13分18.（本小题满分13分）解 （）在（nN*）中，当n = 1时，即a12 - 2a1 - 3 = 0解得a1 = 3或a1 = -1（舍）.1分当n2时， 由-可得，an2 - an-12 - 2an - 2an-1 = 0， 2分即(an + an-1)(an - an-1 - 2) = 0a

12、n 0（nN*）an - an-1 = 24分an是首项为3，公差为2的等差数列.故an = 2n + 1.5分设数列bn的首项为b1，公差为d 0，依题意 解得7分bn = 3n - 1. 8分（）由（）可知，an = 2n + 1，bn = 3n - 1，则10分Tn = c1 + c2 + + cn12分13分19.（本小题满分14分）解 （）f (x) = ln x - ax 1分由f (1) = 0，得a = 12分故f (x) = ln x - x，.若f (x) 0，则0 x 1，若f (x) 0，则1 x e.f (x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e)上单调递减.4分f

13、 (x)的最大值为f (1) = -1.5分（）假设存在实数a，使f (x) = ln x - ax（x(0, e）有最大值-3，. 6分当a0时，f (x)在(0, e上单调递增，f (x)max = f (e) = 1 - ae = -3，（舍）.8分当时，f (x)在(0, e上单调递增，f (x)max = f (e) = 1 - ae = -3，（舍）所以，此时f (x)无最大值.9分当时，f (x)在上单调递增，在上单调递减，则a = e2，满足条件.综上所述，存在实数a = e2，使得当x(0, e时，f (x)有最大值-3. 11分（）f (x)的极大值为-1，即f (x)在(0, e上最大值为-1.f (x) 0，g(x)在区间(0, e上单调递增. 13分f (x) -1，x(0, e，在（）的条件下，. 14分20.（本小题满分14分）解 （）设半焦距为c，由题意，可得， 1分则，即.由点到直线距离公式得，故a2 = 4，b2 = 3. 3分椭圆的方程为. 4分（）由题意可知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y = k(x - 4). 5分将直线PB与椭圆方程联立，消去y，整理得(4k2 + 3)x2 - 32k2x + 64k2 - 12 = 0 6分设点B(x1, y1)，D(x2, y2)