艺术设计图学几何结构

1、艺术设计图学,东北大学张书鸿教授,第二章正投影图,2.1投影基础知识2.2点、直线、平面的正投影2.3点、直线、平面之间的关系2.4立体的正投影2.5点、直线、平面、立体与立体的关系,2.1投影基础知识,211投影法基本概念,212投影法分类,正投影是平行投影的特殊情况，因而它的规律性较强，且具有度量性好、作图简便的突出优点，所以工程上把正投影作为工程图的最主要绘图方法。,213正投影的基本特性,1、显实性：当直线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形，见图2-4（a）、（e）。2、从属性：属于直线上的点，其投影必从属于该直线的投影，见图2-4（b）。3、定比性：点在直线上，点分割线段的

2、比例等于该点的投影分线段的投影所成的比例，见图2-4（b）。4、积聚性：当直线或平面垂直于投影面时，其投影积聚为一点或一直线，见图2-4（c）、（g）。5、平行性：当空间两直线互相平行时，它们的投影也一定平行，且它们的投影长度之比等于空间长度之比，见图2-4（d）、（h）。6、类似性：当直线或平面不平行于投影面时，其正投影小于其实长或实形，但其斜投影则可能大于或小于其实长或实形，见图2-4（b）、（f）,213正投影的基本特性,214正投影图及其特性,1、正投影图的形成(1)形体的单面正投影图：根据单面投影图不能唯一确定一个形体的空间形状,214正投影图及其特性,1、正投影图的形成(2)形体的

3、两面正投影图：根据两个投影面上的投影图来分析空间物体的形状时，有些情况下得到的答案也不是唯一的,214正投影图及其特性,1、正投影图的形成(3)形体的三面正投影图：,214正投影图及其特性,2、正投影图的特点长对正，高平齐，宽相等,2.2点、直线、平面的正投影,221点的投影,例题已知点A的正面投影a和侧面投影a，求其水平投影a。,221点的投影,例题已知空间四点的坐标A（20，20，20），B（30，10，0），C（15，0，30），D（40，0，0），求作四点的三面投影图。,221点的投影,1、直线的确定及表示,222直线的投影,2、一般位置直线一般位置直线的投影特点：（1）一般位置直线的

4、三个投影均为直线，而且投影长度都小于线段的实长。（2）一般位置直线的三个投影都倾斜于投影轴，且与投影轴的夹角均不反映空间直线与投影面倾角的真实大小。,222直线的投影,3、特殊位置直线,（1）投影面的平行线平行于一个投影面，同时倾斜于另两个投影面的直线，称为投影面平行线。平行于水平投影面的直线称为水平线；平行于正立投影面的直线称为正平线；平行于侧立投影面的直线称为侧平线。,3、特殊位置直线,3、特殊位置直线,（2）投影面的垂直线垂直于某一投影面，同时平行于另两个投影面的直线，称为投影面垂直线。垂直于水平投影面的直线称为铅垂线；垂直于正立投影面的直线称为正垂线；垂直于侧立投影面的直线称为侧垂线。

5、,3、特殊位置直线,4、一般位置直线,直角三角形法：求直线的实长和倾角,4、一般位置直线,例题已知直线AB的实长L和ab及a，求水平投影ab。,4、一般位置直线,例题已知直线AB的水平投影ab及a，AB与H面倾角=30，求直线AB的正面投影。,223平面的投影,1、平面的确定及表示平面的空间位置可以用确定该平面的几何元素的投影来确定和表示，常见有五种形式:（1）不在同一直线上的三点（2）一直线和直线外一点（3）两相交直线（4）两平行直线（5）任意一平面图形,平面的五种表达形式,2、一般位置平面,一般位置平面的投影特点：它的三个投影既不反映实形，也不积聚为一直线，图形只具有类似性。,3、特殊位置

6、平面,（1）投影面的平行面平行于一投影面，因而垂直于另两个投影面的平面，称为投影面平行面。平行于水平投影面的平面称为水平面；平行于正立投影面的平面称为正平面；平行于侧立投影面的平面称为侧平面。,3、特殊位置平面,3、特殊位置平面,（2）投影面的垂直面垂直于某一投影面，同时倾斜于另两个投影面的平面，称为投影面垂直面。垂直于水平投影面的平面称为铅垂面；垂直于正立投影面的平面称为正垂面；垂直于侧立投影面的平面称为侧垂面。,3、特殊位置平面,2.3点、直线、平面的关系,231点与点之间的关系,1、两点间的相对位置两点间的相对位置是指两点间上下、前后、左右的位置关系。,2、重影点及其可见性当两点的某两个

7、坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，其对某一投影面的投影会产生重合的现象，则这两点就称为该投影面的重影点。,232点与直线之间的关系,点如果在直线上，则点的投影在直线的同名投影上（从属性），并将直线线段的各个投影分割成和空间相同的比例（定比性）。反之，若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在直线上。,233点与平面之间的关系,属于平面上的点，则必取属于该平面的已知直线。,例题设已知平面由ABC所给定，并知该平面上一点K的水平投影k，试求点K的正面投影k。,234直线与直线之间的关系,空间两直线之间的关系有：平行相交交叉垂直,1、两直线平行若空间两直线相互平行，则其同面投影必相互平行

8、。且保持定比（定比性）关系。,2、两直线相交若空间两直线相交，则其同面投影必相交。且交点符合点的投影规律。,3、两直线交叉空间两直线既不平行又不相交时即为交叉（也可称为交错）。交叉两直线的同面投影可能相交，但各同面投影的交点不符合点的投影规律。,4、两直线垂直空间相互垂直的相交或交叉两直线，若其中一直线为投影面的平行线，则两直线在该投影面上的投影反映直角，此直角投影特性也被称为直角投影定理。,4、两直线垂直直角投影定理也适用于两交叉直线,例题求点C到直线AB距离CD的实长。,235直线与平面、平面与平面之间的关系,直线与平面、平面与平面之间的关系：包含平行相交垂直,1、属于平面上的直线（1）该

9、直线必通过此平面内的两个点或通过该平面内一点且平行于该平面内的另一已知直线,1、属于平面上的直线（2）平面内的投影面平行线平面内的投影面平行线方向是一定的，且有无数条。它们既具有投影面平行线的投影特性，又符合直线在平面内的条件，,2、平行关系（1）直线与平面平行：直线平行于平面内的任一直线,例题判别直线EF是否平行于ABC,2、平行关系（2）平面与平面平行：一平面内相交两直线对应平行于另一平面内的两相交直线，,例题过点D作平面ABC,3、相交关系（1）直线与平面相交：只有一个交点，它既属于直线，又属于平面，它是直线和平面的共有点。特殊位置的平面与直线,例题铅垂面与直线相交,3、相交关系（2）一

10、般位置的平面与特殊位置平面相交,2.4立体的正投影,241立体的正投影,立体根据其表面的几何性质可分为平面立体、曲面立体两类。,242平面立体的投影,（1）棱柱的投影：棱柱的表面是由棱面和上下两个底面组成。底面通常为多边形，相邻两棱面的交线为棱线，且棱线互相平行。,242平面立体的投影,（2）棱锥的投影：棱锥只有一个底面，且所有棱线交于一点，此点称为锥顶点。,243曲面立体的投影,（1）圆柱的投影：圆柱是由圆柱面和两个圆平面所围成的立体。圆柱面可看成是由一条直母线绕与其平行的轴线旋转一周所形成的，圆柱的素线是与轴线相平行的直线。,243曲面立体的投影,（2）圆锥的投影：圆锥是由圆锥面和一个底面

11、圆围成的立体。圆锥面可看成是一条直母线绕与其相交的轴线旋转所形成的曲面。母线与轴线相交点即为圆锥面顶点，圆锥的素线是通过锥顶的直线。,243曲面立体的投影,（3）圆球的投影：圆球是由圆球面围成的立体。圆球面可看成是母线圆绕其直径旋转所形成的曲面。,2.5点、直线、平面、立体与立体的关系,251点、直线与立体之间和关系,1、平面立体表面上取点,251点、直线与立体之间和关系,1、平面立体表面上取点,251点、直线与立体之间和关系,1、曲面立体表面上取点,251点、直线与立体之间和关系,1、曲面立体表面上取点,251点、直线与立体之间和关系,1、曲面立体表面上取点,252平面与立体之间的关系,平面

12、与立体相交，就是立体被平面截切。被平面截切后的立体称为切割体所用的平面称为截平面截平面与立体表面的交线称为截交线因此，研究平面与立体之间的关系问题实质就是研究如何求解截交线的问题。,252平面与立体之间的关系,1、平面立体的截切平面立体截交线的形状是由直线段组成的平面多边形。求解平面与平面立体的截交线问题，实质上是求平面与立体上各表面的交线或求平面与立体上各棱线交点的集合问题。,252平面与立体之间的关系,1、平面立体的截切,252平面与立体之间的关系,2、曲面立体（常见回转体）的截切（1）圆柱的截交线：根据截平面的位置不同，圆柱上的截交线有圆、椭圆、矩形三种,252平面与立体之间的关系,（1

13、）圆柱的截交线,252平面与立体之间的关系,圆柱截交的例子,252平面与立体之间的关系,（2）圆锥的截交线：圆锥体表面上截交线的形状取决与截平面与圆锥的相对位置，截交线的形状有五种:,252平面与立体之间的关系,圆锥的截交线,252平面与立体之间的关系,（3）圆球的截交线,253立体与立体之间的关系,两立体相交又称两立体相贯，相交两立体的表面交线称为相贯线。相贯线上的点称为相贯点。两立体相交可分为两平面立体相交；平面立体与曲面立体相交；两曲面立体相交。,253立体与立体之间的关系,1、平面立体与平面立体相贯当两个立体有公共表面时，其相贯线为非闭合的空间折线。相贯线每段折线是两平面立体表面的交线

14、，折点是一平面立体上参与相交的棱线（或底边）与另一平面立体上参与相交的棱面（或底面）的交点。,253立体与立体之间的关系,平面立体与平面立体相贯屋脊交线,253立体与立体之间的关系,2、平面立体与曲面立体相贯平面立体与曲面立体相贯，相贯线一般情况下是由若干段平面曲线组成的，特殊情况下包含直线段。每段平面曲线或直线均是平面立体的棱面与曲面立体的截交线，相邻平面曲线的连结点是平面立体棱线与曲面立体的交点。因此，平面立体与曲面立体相贯线的求解可归结为曲面立体截交线的求解问题。,253立体与立体之间的关系,3、曲面立体与曲面立体相贯两曲面立体相贯交，其相贯线一般情况下是封闭的光滑的空间曲线，特殊情况下

15、可能为平面曲线或直线段。求两曲面立体相贯线的方法为表面取点法和辅助平面法。,253立体与立体之间的关系,3、曲面立体相贯辅助平面法,253立体与立体之间的关系,3、曲面立体相贯辅助平面法,253立体与立体之间的关系,4、曲面立体相贯线的变化趋势,254立体表面展开,将物体的表面按照它们的实际形状和大小，依次摊平在一个平面上，称作表面展开。展开后的图形称为该物体的表面展开图。表面展开在建筑、装修、产品加工等领域中有着广泛的应用。比如在装修工程中，曲面造型的天花、立体感的墙面等都需要绘出表面展开图，这样才能按图下料、计算成本，这直接影响着工程的质量。立体的表面，有些可以摊平在一个平面上，这种表面称

16、为可展开面，如平面立体及相邻二素线是平行或相交的直纹曲面。而有些立体表面，只能近似地摊平在一个平面上。这种表面称为不可展开面，如球面等。,254立体表面展开,1、平面立体的表面展开平面立体的表面都是多边形，所以表面展开实质是求出各表面的实形并按一定顺序排列摊平。,254立体表面展开,2、可展开曲面的表面展开曲面上两相邻素线平行或相交，则此曲面为可展开曲面，最常见的是圆柱面和圆锥面。,254立体表面展开,2、可展开曲面的表面展开曲面上两相邻素线平行或相交，则此曲面为可展开曲面，最常见的是圆柱面和圆锥面。,本章小结,1、切记正投影的三面视图必须符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。2、利用直角

17、三角形法求一般位置直线的实长和倾角是今后最常用的方法。学会应用直角三角形法中有四个参数，即线段的实长、投影长度、坐标差及直线对投影面的倾角。只要知道其中任两个参数即可作出直角三角形而求出其余两个参数。3、点在直线上要具有两个特性：一个是从属性，另一个是定比性。4、线与线的相对位置关系可分为平行、相交、交错、垂直四种情况。应熟练掌握判别四种关系的几何条件，尤其是直角投影特性（即直角投影定理），利用这个特性可完成过点作投影面平行线的垂线，并求得点到直线距离。5、点、线与立体之间的相对位置关系首先是点、线是否在立体上，即如何在立体表面取点和线的问题，而线是点的集合，所以立体表面取线可归结为取点的问题

18、。其次，直线与立体相交，求交点（也称为贯穿点）的问题，而交点既在线上，又在立体上，所以，此问题如同立体表面取点的问题。因此，点、线与立体之间和关系都可归结为立体表面如何取点的问题。,本章小结,6、曲面立体表面取点，可根据立体投影的积聚性、素线法和纬圆法来求得。7、平面立体的截交线是平面多边形，多边形的每一个顶点是截平面与立体棱线的交点，因此，求平面立体的截交线就是求出截平面与立体上各被截棱线的交点。8、曲面立体的截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，求曲面立体的截交线的方法有素线法、纬圆法和辅助平面法。9、求相贯线的方法有表面取点法和辅助平面法。选择辅助平面法的原则是辅助平面与两立体表面交线的投影应为直线或圆。,本